2023-2024学年初中数学七年级上册 3.3 一元一次方程的解法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2022七下·忻城期中）形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 ，那么当 时，则 为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．（2021七上·韶关期末）下列变形正确的是（ ）
A．由去分母，得
B．由去括号，得
C．由移项，得
D．由系数化为1，
3．（2022七上·河东期末）下列方程的变形正确的是（ ）
A．由移项，得
B．由去括号，得
C．由系数化为1，得
D．由去分母，得
4．（2021七上·昆明期末）若与的值相等，则x的值为（ ）
A． B．3 C． D．
5．根据流程右边图中的程序，当输出数值y为1时，输入数值x为（ ）
A．-8 B．8 C．-8或8 D．不存在
6．（2021七上·虎林期末）代数式与的差是0，则m等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2021七上·平原月考）下列解方程的步骤中，正确的是（ ）
A．变形得
B．变形得
C．变形得
D．变形得
8．（2022七上·义乌月考）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是 （ ）．
A．15 B．17 C．19 D．21
二、填空题
9．（2023·长清模拟）若与的值相等，则x的值为 ．
10．（2022七上·余杭月考）若－2减去一个有理数的差是－5，则这个有理数是 ．
11．（2022·广州模拟）如图，在关于x的方程（a，b为常数）中，x的值可以理解为：在数轴上，到A点的距离等于b的点X对应的数．例如：因为到实数1对应的点A距离为3的点X对应的数为4和-2，所以方程的解为，．用上述理解，可得方程的解为 ．
12．（2022七上·青州期中）若，则a= ．
13．（2022七上·长沙开学考）如果关于的方程有正整数解，那么正整数的所有可能取值之和为 ．
三、解答题
14．（2021七上·东莞月考）等于什么数时，式子与的值相等？
15．（2022七下·龙岗月考）已知方程有两个不同的解，试求 的值．
四、综合题
16．（2023七上·凤翔期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.
例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示 3 与-1 的两点之间的距离.
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和-3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） .
根据以上阅读材料探索下列问题：
（1）数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和-5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）
（2）①若数轴上表示的数 x 和-2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；
②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 .
17．（2022七上·平谷期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程的解是，方程的解是
所以：方程是方程的“2—后移方程”．
（1）判断方程是否为方程的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程是关于 x 的方程的“2—后移方程”，求n的值
（3）当时，如果方程是方程的“3—后移方程”求代数式的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，由 可得
（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，
m2-1-m2+3m-2m+6=25，
3m-2m=25+1-6，
m=20.
故答案为：D.
【分析】根据定义的新运算可得(m-1)(m+1)-(m+2)(m-3)=25，求解就可得到m的值.
2．【答案】C
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：A、由，去分母得：5（x 5） 15＝3（2x＋1），不符合题意；
B、由3（2x 1） 2（x＋5）＝4，去括号得：6x 3 2x 10＝4，不符合题意；
C、由 6x 1＝2x，移项得： 6x 2x＝1，符合题意；
D、由2x＝3，系数化为1，得：x＝ ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据等式的性质逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】等式的性质；解一元一次方程
【解析】【解答】A．由移项，得，不符合题意；
B．由去括号，得，不符合题意；
C．由系数化为1，得，不符合题意；
D．由去分母，得，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用等式的性质及解方程的计算方法逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：∵与的值相等，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据题意列出方程，再求解方程即可。
5．【答案】D
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】分别把y=1代入左右两边的算式求出x的值，哪边的x的值满足取值范围，则哪边求出的x的值就是输入的x的值．
【解答】∵输出数值y为1，
∴x+5=1时，解得x=-8，
-x+5=1时，解得x=8，
∵-8＜1，8＞1，
都不符合题意，故不存在．
故选D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，题目比较新颖，有创意，需要先求出x的值再根据条件判断是否符合．
6．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
故答案为：B．
【分析】根据题意列出方程，再求出m的值即可。
7．【答案】C
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：A、4x-5=3x+2变形得4x-3x=2+5，故本选项不符合题意．
B、3（x-1）=2（x+3）变形得3x-3=2x+6，故本选项不符合题意．
C、变形得4x-6=3x+18，故本选项符合题意．
D、3x=2变形得，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据等式的性质及解一元一次方程的解法逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】等式的性质；解一元一次方程；探索图形规律；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意得：y+1=4+x，
∴y=3+x，
又∵4+1=-3+y，
∴x=5，
∴y=8，
∴x+2y=5+2×8=21.
故答案为：D.
【分析】由每行每列每条对角线上的三个数之和相等得y+1=4+x，从而得y=3+x，又有4+1=-3+y，从而求得x=5，则y=8，再代入x+2y中计算求解.
9．【答案】
【知识点】解一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得=，
∴8x-10=2x-1
8x-2x=-1+10
6x=9
解得x=，
故答案为：．
【分析】根据题意求出=，再解方程即可。
10．【答案】3
【知识点】解一元一次方程；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：设这个有理数为x，
∴-2-x=-5，
∴x=3．
故答案为：3．
【分析】设这个有理数为x，由-2减去一个有理数的差是-5列出方程，解之即可.
11．【答案】x=5，x=1
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：
表示x对应的点到实数3对应的点距离为2
到实数3对应的点距离为2的点对应的数是5和1
∴的解为x=5，x=1．
故答案为：x=5，x=1
【分析】根据题干中的定义及两点之间的距离公式求解即可。
12．【答案】或
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得当时，，
解得，
当时，，
则无解，
当时，，
解得，
故答案为：或．
【分析】分情况讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可。
13．【答案】23
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由 是整数知， 或 ．
若为前者，由于 ，
故知 只能为 ．
此时， ，
解得： ，因此 ，2，3，但一一验证知均不成立，
若为后者，设 ，其中 是正整数．
则 ，
故 时取到 或 时取到 ．
因此所求答案为 ．
故答案为：23.
【分析】根据题意可得7|k或7|x，若为前者，根据 可得k只能为7，此时x=>-3，求出x的范围，然后验证即可；若为后者，同理求解即可.
14．【答案】解：若要两式相等，则有，
∴当时，两式相等．
【知识点】解一元一次方程；根据数量关系列方程
【解析】【分析】先求出 ， 再解方程即可。
15．【答案】解：移项得：，
合并同类项得：，
∵方程有两个不同的解，
∴，
解得：，
∴
【知识点】代数式求值；解一元一次方程
【解析】【分析】将方程变形为，再根据题意可得求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
16．【答案】（1）6；7
（2）－6或2；4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：数轴上表示3和9的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示 2 和-5 的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，
故答案为：6，7；
（2）解：①根据题意，得：｜x－（－2）｜=4，
∴｜x+2｜=4，
∴x+2=－4或x+2=4，
解得：x=－6或x=2，
故答案为：－6或2；
②∵表示x到－1和3的距离之和，
∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4.
故答案为：4.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值计算即可；
（2）①根据（1）求距离的方法列出方程，求解即可；
②由题意易得表示x到－1和3的距离之和，根据两点之间线段最短，故当x在－1和3之间时距离和最小，最小值就是-1与3之间的距离，据此计算即可.
17．【答案】（1）是
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程是关于x的方程的“2—后移方程”，
∴，
∴；
（3）解：解方程，得，
解方程，得，
∵方程是方程的“3—后移方程”，
∴，
∴，
把代入，
∴原式
．
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵，
∴方程是方程的1—后移方程；
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“k—后移方程”的定义求解即可；
（2）先求出方程的解，再根据“2—后移方程”的定义可得，再求出即可；
（3）先求出方程的解，再根据“3—后移方程”的定义可得，求出，再将其代入计算即可。
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 3.3 一元一次方程的解法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2022七下·忻城期中）形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 ，那么当 时，则 为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】D
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，由 可得
（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，
m2-1-m2+3m-2m+6=25，
3m-2m=25+1-6，
m=20.
故答案为：D.
【分析】根据定义的新运算可得(m-1)(m+1)-(m+2)(m-3)=25，求解就可得到m的值.
2．（2021七上·韶关期末）下列变形正确的是（ ）
A．由去分母，得
B．由去括号，得
C．由移项，得
D．由系数化为1，
【答案】C
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：A、由，去分母得：5（x 5） 15＝3（2x＋1），不符合题意；
B、由3（2x 1） 2（x＋5）＝4，去括号得：6x 3 2x 10＝4，不符合题意；
C、由 6x 1＝2x，移项得： 6x 2x＝1，符合题意；
D、由2x＝3，系数化为1，得：x＝ ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据等式的性质逐项判断即可。
3．（2022七上·河东期末）下列方程的变形正确的是（ ）
A．由移项，得
B．由去括号，得
C．由系数化为1，得
D．由去分母，得
【答案】D
【知识点】等式的性质；解一元一次方程
【解析】【解答】A．由移项，得，不符合题意；
B．由去括号，得，不符合题意；
C．由系数化为1，得，不符合题意；
D．由去分母，得，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用等式的性质及解方程的计算方法逐项判断即可。
4．（2021七上·昆明期末）若与的值相等，则x的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：∵与的值相等，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据题意列出方程，再求解方程即可。
5．根据流程右边图中的程序，当输出数值y为1时，输入数值x为（ ）
A．-8 B．8 C．-8或8 D．不存在
【答案】D
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】分别把y=1代入左右两边的算式求出x的值，哪边的x的值满足取值范围，则哪边求出的x的值就是输入的x的值．
【解答】∵输出数值y为1，
∴x+5=1时，解得x=-8，
-x+5=1时，解得x=8，
∵-8＜1，8＞1，
都不符合题意，故不存在．
故选D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，题目比较新颖，有创意，需要先求出x的值再根据条件判断是否符合．
6．（2021七上·虎林期末）代数式与的差是0，则m等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
故答案为：B．
【分析】根据题意列出方程，再求出m的值即可。
7．（2021七上·平原月考）下列解方程的步骤中，正确的是（ ）
A．变形得
B．变形得
C．变形得
D．变形得
【答案】C
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：A、4x-5=3x+2变形得4x-3x=2+5，故本选项不符合题意．
B、3（x-1）=2（x+3）变形得3x-3=2x+6，故本选项不符合题意．
C、变形得4x-6=3x+18，故本选项符合题意．
D、3x=2变形得，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据等式的性质及解一元一次方程的解法逐项判断即可。
8．（2022七上·义乌月考）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是 （ ）．
A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】D
【知识点】等式的性质；解一元一次方程；探索图形规律；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意得：y+1=4+x，
∴y=3+x，
又∵4+1=-3+y，
∴x=5，
∴y=8，
∴x+2y=5+2×8=21.
故答案为：D.
【分析】由每行每列每条对角线上的三个数之和相等得y+1=4+x，从而得y=3+x，又有4+1=-3+y，从而求得x=5，则y=8，再代入x+2y中计算求解.
二、填空题
9．（2023·长清模拟）若与的值相等，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得=，
∴8x-10=2x-1
8x-2x=-1+10
6x=9
解得x=，
故答案为：．
【分析】根据题意求出=，再解方程即可。
10．（2022七上·余杭月考）若－2减去一个有理数的差是－5，则这个有理数是 ．
【答案】3
【知识点】解一元一次方程；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：设这个有理数为x，
∴-2-x=-5，
∴x=3．
故答案为：3．
【分析】设这个有理数为x，由-2减去一个有理数的差是-5列出方程，解之即可.
11．（2022·广州模拟）如图，在关于x的方程（a，b为常数）中，x的值可以理解为：在数轴上，到A点的距离等于b的点X对应的数．例如：因为到实数1对应的点A距离为3的点X对应的数为4和-2，所以方程的解为，．用上述理解，可得方程的解为 ．
【答案】x=5，x=1
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：
表示x对应的点到实数3对应的点距离为2
到实数3对应的点距离为2的点对应的数是5和1
∴的解为x=5，x=1．
故答案为：x=5，x=1
【分析】根据题干中的定义及两点之间的距离公式求解即可。
12．（2022七上·青州期中）若，则a= ．
【答案】或
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得当时，，
解得，
当时，，
则无解，
当时，，
解得，
故答案为：或．
【分析】分情况讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可。
13．（2022七上·长沙开学考）如果关于的方程有正整数解，那么正整数的所有可能取值之和为 ．
【答案】23
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由 是整数知， 或 ．
若为前者，由于 ，
故知 只能为 ．
此时， ，
解得： ，因此 ，2，3，但一一验证知均不成立，
若为后者，设 ，其中 是正整数．
则 ，
故 时取到 或 时取到 ．
因此所求答案为 ．
故答案为：23.
【分析】根据题意可得7|k或7|x，若为前者，根据 可得k只能为7，此时x=>-3，求出x的范围，然后验证即可；若为后者，同理求解即可.
三、解答题
14．（2021七上·东莞月考）等于什么数时，式子与的值相等？
【答案】解：若要两式相等，则有，
∴当时，两式相等．
【知识点】解一元一次方程；根据数量关系列方程
【解析】【分析】先求出 ， 再解方程即可。
15．（2022七下·龙岗月考）已知方程有两个不同的解，试求 的值．
【答案】解：移项得：，
合并同类项得：，
∵方程有两个不同的解，
∴，
解得：，
∴
【知识点】代数式求值；解一元一次方程
【解析】【分析】将方程变形为，再根据题意可得求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
四、综合题
16．（2023七上·凤翔期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.
例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示 3 与-1 的两点之间的距离.
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和-3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） .
根据以上阅读材料探索下列问题：
（1）数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和-5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）
（2）①若数轴上表示的数 x 和-2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；
②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 .
【答案】（1）6；7
（2）－6或2；4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：数轴上表示3和9的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示 2 和-5 的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，
故答案为：6，7；
（2）解：①根据题意，得：｜x－（－2）｜=4，
∴｜x+2｜=4，
∴x+2=－4或x+2=4，
解得：x=－6或x=2，
故答案为：－6或2；
②∵表示x到－1和3的距离之和，
∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4.
故答案为：4.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值计算即可；
（2）①根据（1）求距离的方法列出方程，求解即可；
②由题意易得表示x到－1和3的距离之和，根据两点之间线段最短，故当x在－1和3之间时距离和最小，最小值就是-1与3之间的距离，据此计算即可.
17．（2022七上·平谷期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程的解是，方程的解是
所以：方程是方程的“2—后移方程”．
（1）判断方程是否为方程的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程是关于 x 的方程的“2—后移方程”，求n的值
（3）当时，如果方程是方程的“3—后移方程”求代数式的值．
【答案】（1）是
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程是关于x的方程的“2—后移方程”，
∴，
∴；
（3）解：解方程，得，
解方程，得，
∵方程是方程的“3—后移方程”，
∴，
∴，
把代入，
∴原式
．
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵，
∴方程是方程的1—后移方程；
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“k—后移方程”的定义求解即可；
（2）先求出方程的解，再根据“2—后移方程”的定义可得，再求出即可；
（3）先求出方程的解，再根据“3—后移方程”的定义可得，求出，再将其代入计算即可。
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