2023-2024学年初中数学七年级上册 4.3.1 角与角的大小比较 同步分层训练培优卷(湘教版)

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名称 2023-2024学年初中数学七年级上册 4.3.1 角与角的大小比较 同步分层训练培优卷(湘教版)
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2023-09-10 09:24:20

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2023-2024学年初中数学七年级上册 4.3.1 角与角的大小比较 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1.(2022七上·晋州期中)已知射线在的内部,下列4个表述中:①;②;③;④,能表示射线是的角平分线的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解:射线 OC 在 ∠AOB 的内部,
①∵∠AOC=∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述符合题意.
②∵∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述符合题意;
③∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述符合题意;
④∵∠AOC+∠BOC=∠AOB,
∴假如∠AOC=30°,∠BOC=40°,∠AOB=70°,符合上式,但是OC不是∠AOB的角平分线,此表述不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据OC是∠AOB的平分线,可得∠AOC=∠BOC=∠AOB,据此逐一判断即可.
2.(【初数七年级上学期补题】6.5 角与角的度量 同步练习卷)下列图形中,共有8个角的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】A、此图形中的角的个数有8个,故A符合题意;
B、此图形中的角的个数有11个,故B不符合题意;
C、此图形中的角的个数有16个,故C符合题意;
D、此图形中的角的个数有10个,故D符合题意;
故答案为:A
【分析】利用角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫角;再利用各选项中的图形,分别可得到每一个端点处的角的个数,即可得到每一个选项中角的总个数,即可求解.
3.(【初数七年级上学期补题】6.5 角与角的度量 同步练习卷)如图,O是直线AE上一点,则图中小于平角的角共有(  )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
【答案】C
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解:图形中小于平角的角有∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD,∠COE,∠DOE,一共9个.
故答案为:C
【分析】利用角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,观察图形,分别以OA,OB,OC,OD按一定的方向,可得到小于平角的角的个数.
4.(【初数七年级上学期补题】6.5 角与角的度量 同步练习卷)下列说法中,正确的是(  )
A.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
B.角的边越长,角越大
C.两条射线组成的图形叫做角
D.角的边是两条线段
【答案】A
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解:A、角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,故A符合题意;
B、角的边越长,角的大小不变,故B不符合题意;
C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,故C不符合题意;
D、角的两边是两条射线,故D不符合题意;
故答案为:A
【分析】从运动的观点定义角:角可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形,可对A作出判断;角的大小与边的长短无关,可对B作出判断;有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,可对C作出判断;角的两边是两条射线,可对D作出判断.
5.(2022七上·泰和期末)如下图,下列说法正确的是(  )
A.与表示同一个角 B.
C.图中共有两个角:, D.表示
【答案】A
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解:A.∠1与∠AOB表示同一个角,故本选项符合题意;
B.不一定成立,不符合题意;
C.图中共有三个角:,,∠AOC,不符合题意;
D.表示,不符合题意.
故答案为:A.
【分析】结合所给的图形,对每个选项一一判断即可。
6.(2021七上·汉寿期末)若 , , ,则下列结论正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解:∵ ,
∴ .
故答案为:A.
【分析】将∠A的度数转化为用度表示,再比较大小可得答案.
7.(2020七上·滦南期末) 和 的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且 ,那么 的另一半落在 的(  )
A.另一边上 B.内部;
C.外部 D.以上结论都不对
【答案】C
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解:如图所示:

故答案为:C.
【分析】根据题意画出图形,利用数形结合即可得出结论。
8.(2021七上·南开期末)如图.,、分别是∠AOM和∠MOB的平分线,、分别是和的平分线,、分别是和的平分线,…,、分别是和的平分线,则的度数是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律;角平分线的概念
【解析】【解答】解:,、分别是∠AOM和∠MOB的平分线,
、分别是和的平分线,
、分别是和的平分线,
…,由此规律得
故答案为:C.
【分析】根据角平分线的定义可得,,再求出规律即可。
二、填空题
9.(2023七上·通川期末)如图所示,是直线上一点,是一条射线,平分,在内,,,则的度数是   .
【答案】90°
【知识点】角的大小比较;角平分线的概念
【解析】【解答】解:解:设∠BOE为x°,则∠DOB=60° x°,
∵∴∠EOC=3∠BOE=3x°,
由OD平分∠AOB,
得∠AOB=2∠DOB,
故有3x+x+2(60 x)=180,
解方程得x=30,
所以∠EOC=90°,
故答案为:90°.
【分析】设∠BOE为x°,用含x的式子表示出∠DOB及∠EOC,由角平分线定义得∠AOB=2∠DOB,进而根据平角的定义列方程,求解求出∠BOE,从而即可解决问题.
10.(【初数七年级上学期补题】6.5 角与角的度量 同步练习卷)观察下图,回答下列问题.
(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图①中有   个不同的角;
(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图②中有   个不同的角;
(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图③中有   个不同的角;
(4)在∠AOB内部任意画10条射线OC,OD,…,则共形成   个不同的角.
【答案】(1)3
(2)6
(3)10
(4)66
【知识点】角的概念及表示;探索图形规律
【解析】【解答】解:(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图①中的角有∠AOC,∠AOB,∠COB,一共3个.
故答案为:3
(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图②中有∠AOC,∠AOD,∠AOB,∠COD,∠COB,∠DOB,一共3+2+1=6个,
故答案为:6
(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图③中的角的个数为4+3+2+1=10个
故答案为:10
(4)在∠AOB内部任意画10条射线OC,OD,…,则共形成角的个数为11+10+…+1=(11+1)×11=66.
故答案为:66
【分析】(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,按一定的顺序:以AO为边,以CO为边,逆时针方向,可得到所有的角.
(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,按照一定的顺序:以AO为边,以CO为边,以DO为边,逆时针方向,可得到所有的角.
(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,按照一定的顺序:以AO为边,以CO为边,以DO为边,以OE为边,逆时针方向,可得到所有的角.
(4)根据前面的规律可知在∠AOB内部任意画n条射线,一共有个不同的角,将n=11代入,可求出结果.
11.(2021七上·青龙期中)如图所示,图中小于平角的角有   个.
【答案】9
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解:图中小于平角的角有:∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠DOC、∠DOE、∠DOB、∠COE、∠COB和∠EOB,共有9个
故答案为:9.
【分析】根据小于平角的角,结合图形求解即可。
12.(2021七上·宾阳期末)把一副三角尺按如图所示拼在一起,其中 , , 三点在同一直线上, 平分 , 平分 ,则     .
【答案】127.5
【知识点】角的大小比较;角平分线的概念
【解析】【解答】解:由题可知:

因为CM 平分∠ACB,CN平分∠DCE,

可得
故答案为
【分析】由题意可知∠ACB=45°,∠DCE=60°,∠ACB+∠DCE+∠ACE=180°,则∠ACE可求解,由角平分线定义可得∠ACM=∠BCM=∠ACB,∠ECN=∠DCN=∠ECD,根据角的构成∠MCN=∠ACM+∠ACE+∠ECN可求解.
13.(2021七上·抚顺期末)如图所示,OC是 的平分线,OD平分 ,且 ,则 的度数是   .
【答案】100°
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解: 是 的平分线,

是 的平分线,



.
故答案为:100°.
【分析】根据角平分线的定义得出,,再代入即可算出答案.
三、解答题
14.(2021七上·宝丰期末)如图,已知 为直线 上一点,过点 向直线 上方引三条射线 、 、 ,且 平分 , , ,求 的度数
【答案】设∠1=x,根据题意得到下图
则∠2=3∠1=3x
∵∠COE=∠1+∠3=70°
∴∠3=(70-x)
∵OC平分∠AOD,
∴∠4=∠3=(70-x)
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°

解得:x=20
∴∠2=3x=60°
∴∠BOE的度数为60°.
【知识点】角的运算;角平分线的概念
【解析】【分析】 设∠1=x,然后根据角平分线的定义和角的倍数关系分别把∠2、∠3、∠4用含x的代数式表示出来, 根据∠1+∠2+∠3+∠4=180° 列方程求解即可.
15.如图,∠AOB=90°,∠AOC=30°,且OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,
(1)求∠MON的度数;
(2)若∠AOB=α其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)若∠AOC=β(β为锐角)其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)从上面结果中看出有什么规律?
【答案】解:(1)∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=60°,∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°.(2)∵∠AOB=α,∠AOC=30°,∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=+15°,∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=.(3)∵∠AOB=90°,∠AOC=β,∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=45°+,∠CON= .∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°.(4)从上面的结果中,发现:∠MON的大小只和∠AOB得大小有关,与∠A0C的大小无关.
【知识点】角平分线的概念
【解析】【分析】(1)要求∠MON,即求∠COM﹣∠CON,再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得;
(2)和(3)均根据(1)的计算方法进行推导即可.
(4)根据(2)和(3)中的结论进行总结.
四、综合题
16.(2023七上·江北期末)如图,已知,射线在内部,射线绕点O逆时针旋转得到,是的角平分线.
(1)如图1,若是的角平分线,且时,求.
(2)如图2,若是的角平分线,则   .(用含有n的代数式表示)
(3)在(1)的条件下,若射线从出发绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转,射线从出发绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转.若射线、同时开始旋转,直至第一次重合,旋转停止.在旋转的过程中,何时满足,请直接写出答案.
【答案】(1)解:∵,
∴,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
∴.
(2)
(3)解:或
【知识点】角的大小比较;一元一次方程的实际应用-行程问题;角平分线的概念
【解析】【解答】解:(2)∵平分,
∴,
∵平分,
∴,
∴.
故答案为: ;
(3)如图,当OQ在∠AOD内部时,
由题意可得:,,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得:;
当OQ在∠AOD外部时,
,,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得:;
综上:当或时,.
【分析】(1)由垂直的定义及角平分线的定义得∠AOD=45°,由旋转知∠COD=85°,由角的和差可算出∠AOC的度数,再由角平分线的定义求出∠AOE的度数,最后根据∠DOE=∠AOE-∠AOD算出答案;
(2)根据角平分线的定义得,,然后表示出∠AOE与∠AOF的差,进而根据乘法分配律的逆用进行变形,并结合角的和差化简即可;
(3)分类讨论:①当OQ在∠AOD内部时,当OQ在∠AOD外部时,分别用含t的式子表示出∠EOP、∠DOQ及∠AOQ,进而根据建立方程,求解即可.
17.(2023七上·嘉兴期末)定义:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成1:2两部分,这条射线叫做这个角的内倍分线.
(1)如图1,OM是∠AOB的一条内倍分线,满足∠BOM=2∠AOM,若∠AOB =45°,求∠AOM的度数.
(2)已知∠AOB=60°,把一块含有60角的三角板COD按如图2叠放.将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转秒(0①t为何值时,射线OC是∠AOD的内倍分线;
②在三角板COD转动的同时,射线OB以每秒n(0【答案】(1)解:∵∠BOM= 2∠AOM,∠AOM+∠BOM=∠AOB=45°,
∴∠AOM+2∠AOM=45°,
∴∠AOM= ∠AOB=15°
(2)解:①如图1,当∠AOC= ∠COD时
即2t= ×60,
∴t=15
如图2,当∠AOC=2∠COD时
即2t=2×60,∴t=60 .
答: t =15s或t=60s;
②∵∠AOC=(2t)°,∠BOB'=nt°,∠AOB'=∠AOB-∠BOB'=60°-nt°,
∠AOC=60°+2t,
由题意可知,∠AOB’<60°,∠AOD>60°,为满足点OB'同时在∠AOC和∠AOD内,且OB'恰好同时是∠AOD,∠AOC的内倍分线
∴需满足,
即,
或,即,解得t=30,代入解得n=.
【知识点】角的运算;定义新运算;一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据已知及角的和差可得∠AOM+2∠AOM=45°,求解即可;
(2)①分类讨论:如图1,当∠AOC= ∠COD时如图2,如图2,当∠AOC=2∠COD时,分别根据角的和差建立方程,求解即可;
②用含n和t的式子表示旋转后的角,即∠AOC=(2t)°,∠BOB'=nt°,∠AOB'=60°-nt°,∠AOC=60°+2t,进而根据定义分析内倍分线对应角的比例,列出方程求解即可.
18.(2021七上·成都期末)如图1,点O,M在直线AB上,∠AOC=30°,∠MON=60°,将∠MON绕着点O以12°/s的速度逆时针旋转,设旋转时间为ts(0≤t≤30).
(1)如图2,当OC平分∠AON时,求t的值.
(2)如图3,当0<t<7.5,OD平分∠BOM,OF平分∠CON时,求∠DOF的度数.
(3)在∠MON绕着点O逆时针旋转过程中,当∠AON=∠COM时,请画出图形,并求出t的值.
【答案】(1)解:如图2中,
∵OC平分∠AON,
∴∠AOC=∠CON=30°,
∴∠BOM=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴12t=60,
解得t=5.
故t的值为5s;
(2)解:如图3中,
∵∠AOC=30°,∠MON=60°,∠BOM=(12t) °,
∴∠CON=(90﹣12t)°,
∵OD平分∠BOM,OF平分∠CON,
∴∠FON= (90﹣12t)°=(45-6t)°,∠MOD= ×(12t)°=(6t)°
∴∠DOF=∠FON+∠MON+∠MOD=(45﹣6t)°+60°+(6t)°=105°;
(3)解:如图3﹣1中,
当∠AON=∠COM时,
∵∠AOC=30°,∠MON=60°,
∴∠AON=∠COM=15°,
∴∠BOM=135°,
∴t=135÷12=11.25.
如图3﹣2中,
当∠AON=∠COM时,则∠CON=∠AOM,
∵∠AOC=30°,∠MON=60°,
∴∠CON=∠AOM=135°,
∴∠BON=180°-30°-135°=15°,
∴∠BOM=45°,
∴12t=360﹣45,
解得t=26.25.
故t的值为11.25或26.25s.
【知识点】角的大小比较;角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据∠BOM=60°,构建方程即可解决问题;
(2)根据∠DOF=∠FON+∠MON+∠MOD,结合角平分线的定义解决问题即可;
(3)分 当∠AON=∠COM时与 当∠AON=∠COM时两种情形分别画出图形,构建方程解决问题即可.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 4.3.1 角与角的大小比较 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1.(2022七上·晋州期中)已知射线在的内部,下列4个表述中:①;②;③;④,能表示射线是的角平分线的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(【初数七年级上学期补题】6.5 角与角的度量 同步练习卷)下列图形中,共有8个角的是(  )
A. B.
C. D.
3.(【初数七年级上学期补题】6.5 角与角的度量 同步练习卷)如图,O是直线AE上一点,则图中小于平角的角共有(  )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
4.(【初数七年级上学期补题】6.5 角与角的度量 同步练习卷)下列说法中,正确的是(  )
A.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
B.角的边越长,角越大
C.两条射线组成的图形叫做角
D.角的边是两条线段
5.(2022七上·泰和期末)如下图,下列说法正确的是(  )
A.与表示同一个角 B.
C.图中共有两个角:, D.表示
6.(2021七上·汉寿期末)若 , , ,则下列结论正确的是(  )
A. B. C. D.
7.(2020七上·滦南期末) 和 的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且 ,那么 的另一半落在 的(  )
A.另一边上 B.内部;
C.外部 D.以上结论都不对
8.(2021七上·南开期末)如图.,、分别是∠AOM和∠MOB的平分线,、分别是和的平分线,、分别是和的平分线,…,、分别是和的平分线,则的度数是(  )
A. B. C. D.
二、填空题
9.(2023七上·通川期末)如图所示,是直线上一点,是一条射线,平分,在内,,,则的度数是   .
10.(【初数七年级上学期补题】6.5 角与角的度量 同步练习卷)观察下图,回答下列问题.
(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图①中有   个不同的角;
(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图②中有   个不同的角;
(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图③中有   个不同的角;
(4)在∠AOB内部任意画10条射线OC,OD,…,则共形成   个不同的角.
11.(2021七上·青龙期中)如图所示,图中小于平角的角有   个.
12.(2021七上·宾阳期末)把一副三角尺按如图所示拼在一起,其中 , , 三点在同一直线上, 平分 , 平分 ,则     .
13.(2021七上·抚顺期末)如图所示,OC是 的平分线,OD平分 ,且 ,则 的度数是   .
三、解答题
14.(2021七上·宝丰期末)如图,已知 为直线 上一点,过点 向直线 上方引三条射线 、 、 ,且 平分 , , ,求 的度数
15.如图,∠AOB=90°,∠AOC=30°,且OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,
(1)求∠MON的度数;
(2)若∠AOB=α其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)若∠AOC=β(β为锐角)其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)从上面结果中看出有什么规律?
四、综合题
16.(2023七上·江北期末)如图,已知,射线在内部,射线绕点O逆时针旋转得到,是的角平分线.
(1)如图1,若是的角平分线,且时,求.
(2)如图2,若是的角平分线,则   .(用含有n的代数式表示)
(3)在(1)的条件下,若射线从出发绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转,射线从出发绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转.若射线、同时开始旋转,直至第一次重合,旋转停止.在旋转的过程中,何时满足,请直接写出答案.
17.(2023七上·嘉兴期末)定义:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成1:2两部分,这条射线叫做这个角的内倍分线.
(1)如图1,OM是∠AOB的一条内倍分线,满足∠BOM=2∠AOM,若∠AOB =45°,求∠AOM的度数.
(2)已知∠AOB=60°,把一块含有60角的三角板COD按如图2叠放.将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转秒(0①t为何值时,射线OC是∠AOD的内倍分线;
②在三角板COD转动的同时,射线OB以每秒n(018.(2021七上·成都期末)如图1,点O,M在直线AB上,∠AOC=30°,∠MON=60°,将∠MON绕着点O以12°/s的速度逆时针旋转,设旋转时间为ts(0≤t≤30).
(1)如图2,当OC平分∠AON时,求t的值.
(2)如图3,当0<t<7.5,OD平分∠BOM,OF平分∠CON时,求∠DOF的度数.
(3)在∠MON绕着点O逆时针旋转过程中,当∠AON=∠COM时,请画出图形,并求出t的值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解:射线 OC 在 ∠AOB 的内部,
①∵∠AOC=∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述符合题意.
②∵∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述符合题意;
③∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,此表述符合题意;
④∵∠AOC+∠BOC=∠AOB,
∴假如∠AOC=30°,∠BOC=40°,∠AOB=70°,符合上式,但是OC不是∠AOB的角平分线,此表述不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据OC是∠AOB的平分线,可得∠AOC=∠BOC=∠AOB,据此逐一判断即可.
2.【答案】A
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】A、此图形中的角的个数有8个,故A符合题意;
B、此图形中的角的个数有11个,故B不符合题意;
C、此图形中的角的个数有16个,故C符合题意;
D、此图形中的角的个数有10个,故D符合题意;
故答案为:A
【分析】利用角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫角;再利用各选项中的图形,分别可得到每一个端点处的角的个数,即可得到每一个选项中角的总个数,即可求解.
3.【答案】C
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解:图形中小于平角的角有∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD,∠COE,∠DOE,一共9个.
故答案为:C
【分析】利用角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,观察图形,分别以OA,OB,OC,OD按一定的方向,可得到小于平角的角的个数.
4.【答案】A
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解:A、角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,故A符合题意;
B、角的边越长,角的大小不变,故B不符合题意;
C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,故C不符合题意;
D、角的两边是两条射线,故D不符合题意;
故答案为:A
【分析】从运动的观点定义角:角可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形,可对A作出判断;角的大小与边的长短无关,可对B作出判断;有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,可对C作出判断;角的两边是两条射线,可对D作出判断.
5.【答案】A
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解:A.∠1与∠AOB表示同一个角,故本选项符合题意;
B.不一定成立,不符合题意;
C.图中共有三个角:,,∠AOC,不符合题意;
D.表示,不符合题意.
故答案为:A.
【分析】结合所给的图形,对每个选项一一判断即可。
6.【答案】A
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解:∵ ,
∴ .
故答案为:A.
【分析】将∠A的度数转化为用度表示,再比较大小可得答案.
7.【答案】C
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解:如图所示:

故答案为:C.
【分析】根据题意画出图形,利用数形结合即可得出结论。
8.【答案】C
【知识点】探索数与式的规律;角平分线的概念
【解析】【解答】解:,、分别是∠AOM和∠MOB的平分线,
、分别是和的平分线,
、分别是和的平分线,
…,由此规律得
故答案为:C.
【分析】根据角平分线的定义可得,,再求出规律即可。
9.【答案】90°
【知识点】角的大小比较;角平分线的概念
【解析】【解答】解:解:设∠BOE为x°,则∠DOB=60° x°,
∵∴∠EOC=3∠BOE=3x°,
由OD平分∠AOB,
得∠AOB=2∠DOB,
故有3x+x+2(60 x)=180,
解方程得x=30,
所以∠EOC=90°,
故答案为:90°.
【分析】设∠BOE为x°,用含x的式子表示出∠DOB及∠EOC,由角平分线定义得∠AOB=2∠DOB,进而根据平角的定义列方程,求解求出∠BOE,从而即可解决问题.
10.【答案】(1)3
(2)6
(3)10
(4)66
【知识点】角的概念及表示;探索图形规律
【解析】【解答】解:(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图①中的角有∠AOC,∠AOB,∠COB,一共3个.
故答案为:3
(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图②中有∠AOC,∠AOD,∠AOB,∠COD,∠COB,∠DOB,一共3+2+1=6个,
故答案为:6
(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图③中的角的个数为4+3+2+1=10个
故答案为:10
(4)在∠AOB内部任意画10条射线OC,OD,…,则共形成角的个数为11+10+…+1=(11+1)×11=66.
故答案为:66
【分析】(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,按一定的顺序:以AO为边,以CO为边,逆时针方向,可得到所有的角.
(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,按照一定的顺序:以AO为边,以CO为边,以DO为边,逆时针方向,可得到所有的角.
(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,按照一定的顺序:以AO为边,以CO为边,以DO为边,以OE为边,逆时针方向,可得到所有的角.
(4)根据前面的规律可知在∠AOB内部任意画n条射线,一共有个不同的角,将n=11代入,可求出结果.
11.【答案】9
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解:图中小于平角的角有:∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠DOC、∠DOE、∠DOB、∠COE、∠COB和∠EOB,共有9个
故答案为:9.
【分析】根据小于平角的角,结合图形求解即可。
12.【答案】127.5
【知识点】角的大小比较;角平分线的概念
【解析】【解答】解:由题可知:

因为CM 平分∠ACB,CN平分∠DCE,

可得
故答案为
【分析】由题意可知∠ACB=45°,∠DCE=60°,∠ACB+∠DCE+∠ACE=180°,则∠ACE可求解,由角平分线定义可得∠ACM=∠BCM=∠ACB,∠ECN=∠DCN=∠ECD,根据角的构成∠MCN=∠ACM+∠ACE+∠ECN可求解.
13.【答案】100°
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解: 是 的平分线,

是 的平分线,



.
故答案为:100°.
【分析】根据角平分线的定义得出,,再代入即可算出答案.
14.【答案】设∠1=x,根据题意得到下图
则∠2=3∠1=3x
∵∠COE=∠1+∠3=70°
∴∠3=(70-x)
∵OC平分∠AOD,
∴∠4=∠3=(70-x)
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°

解得:x=20
∴∠2=3x=60°
∴∠BOE的度数为60°.
【知识点】角的运算;角平分线的概念
【解析】【分析】 设∠1=x,然后根据角平分线的定义和角的倍数关系分别把∠2、∠3、∠4用含x的代数式表示出来, 根据∠1+∠2+∠3+∠4=180° 列方程求解即可.
15.【答案】解:(1)∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=60°,∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°.(2)∵∠AOB=α,∠AOC=30°,∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=+15°,∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=.(3)∵∠AOB=90°,∠AOC=β,∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=45°+,∠CON= .∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°.(4)从上面的结果中,发现:∠MON的大小只和∠AOB得大小有关,与∠A0C的大小无关.
【知识点】角平分线的概念
【解析】【分析】(1)要求∠MON,即求∠COM﹣∠CON,再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得;
(2)和(3)均根据(1)的计算方法进行推导即可.
(4)根据(2)和(3)中的结论进行总结.
16.【答案】(1)解:∵,
∴,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
∴.
(2)
(3)解:或
【知识点】角的大小比较;一元一次方程的实际应用-行程问题;角平分线的概念
【解析】【解答】解:(2)∵平分,
∴,
∵平分,
∴,
∴.
故答案为: ;
(3)如图,当OQ在∠AOD内部时,
由题意可得:,,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得:;
当OQ在∠AOD外部时,
,,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得:;
综上:当或时,.
【分析】(1)由垂直的定义及角平分线的定义得∠AOD=45°,由旋转知∠COD=85°,由角的和差可算出∠AOC的度数,再由角平分线的定义求出∠AOE的度数,最后根据∠DOE=∠AOE-∠AOD算出答案;
(2)根据角平分线的定义得,,然后表示出∠AOE与∠AOF的差,进而根据乘法分配律的逆用进行变形,并结合角的和差化简即可;
(3)分类讨论:①当OQ在∠AOD内部时,当OQ在∠AOD外部时,分别用含t的式子表示出∠EOP、∠DOQ及∠AOQ,进而根据建立方程,求解即可.
17.【答案】(1)解:∵∠BOM= 2∠AOM,∠AOM+∠BOM=∠AOB=45°,
∴∠AOM+2∠AOM=45°,
∴∠AOM= ∠AOB=15°
(2)解:①如图1,当∠AOC= ∠COD时
即2t= ×60,
∴t=15
如图2,当∠AOC=2∠COD时
即2t=2×60,∴t=60 .
答: t =15s或t=60s;
②∵∠AOC=(2t)°,∠BOB'=nt°,∠AOB'=∠AOB-∠BOB'=60°-nt°,
∠AOC=60°+2t,
由题意可知,∠AOB’<60°,∠AOD>60°,为满足点OB'同时在∠AOC和∠AOD内,且OB'恰好同时是∠AOD,∠AOC的内倍分线
∴需满足,
即,
或,即,解得t=30,代入解得n=.
【知识点】角的运算;定义新运算;一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据已知及角的和差可得∠AOM+2∠AOM=45°,求解即可;
(2)①分类讨论:如图1,当∠AOC= ∠COD时如图2,如图2,当∠AOC=2∠COD时,分别根据角的和差建立方程,求解即可;
②用含n和t的式子表示旋转后的角,即∠AOC=(2t)°,∠BOB'=nt°,∠AOB'=60°-nt°,∠AOC=60°+2t,进而根据定义分析内倍分线对应角的比例,列出方程求解即可.
18.【答案】(1)解:如图2中,
∵OC平分∠AON,
∴∠AOC=∠CON=30°,
∴∠BOM=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴12t=60,
解得t=5.
故t的值为5s;
(2)解:如图3中,
∵∠AOC=30°,∠MON=60°,∠BOM=(12t) °,
∴∠CON=(90﹣12t)°,
∵OD平分∠BOM,OF平分∠CON,
∴∠FON= (90﹣12t)°=(45-6t)°,∠MOD= ×(12t)°=(6t)°
∴∠DOF=∠FON+∠MON+∠MOD=(45﹣6t)°+60°+(6t)°=105°;
(3)解:如图3﹣1中,
当∠AON=∠COM时,
∵∠AOC=30°,∠MON=60°,
∴∠AON=∠COM=15°,
∴∠BOM=135°,
∴t=135÷12=11.25.
如图3﹣2中,
当∠AON=∠COM时,则∠CON=∠AOM,
∵∠AOC=30°,∠MON=60°,
∴∠CON=∠AOM=135°,
∴∠BON=180°-30°-135°=15°,
∴∠BOM=45°,
∴12t=360﹣45,
解得t=26.25.
故t的值为11.25或26.25s.
【知识点】角的大小比较;角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据∠BOM=60°,构建方程即可解决问题;
(2)根据∠DOF=∠FON+∠MON+∠MOD,结合角平分线的定义解决问题即可;
(3)分 当∠AON=∠COM时与 当∠AON=∠COM时两种情形分别画出图形,构建方程解决问题即可.
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