2023-2024学年初中数学七年级上册 4.3.2 角的度量与计算 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·和平期末）已知一个角是40°，则这个角的余角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2023八下·二七期末）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（ ）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2023·哈尔滨月考）如图，点在直线上，、分别平分、，则图中互为余角的有（ ）对
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023八下·伊川期中）观察图中尺规作图痕迹，下列结论不正确的是（ ）
A．为的平分线 B．
C．点A、B到的距离不相等 D．
5．（2023七下·达州期中）下列说法正确的是（ ）
①等角的余角相等；②若∠AOC＝∠AOB，则射线OC为∠AOB平分线；③若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
6．（2023八下·正定期中）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A、B 同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
7．（2023七下·深圳期中）如图，用尺规作出了，关于作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．弧是以点O为圆心，任意长为半径的弧
B．弧是以点C为圆心，为半径的弧
C．弧是以点E为圆心，为半径的弧
D．弧是以点E为圆心，为半径的弧
8．（2023七下·顺德期中）如图，直线相交于点O，于点O，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·潮阳期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分，∠COE若，则∠DOE= .
10．（2023七下·交城期中）如图，直线相交于点，若，则的度数为 ．
11．（2023七下·乌鲁木齐期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．
12．（2023七下·云浮期末）已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则 ．
13．（2022七上·茂南期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”，如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．
三、解答题
14．（2023七下·白银期中）如图，直线，相交于点O，平分，．若，求的度数．
15．（2023七下·沈北新期中）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数．
四、作图题
16．（2023·朝阳模拟）图①、图②、图③均是由小正方形组成的的网格，的三个顶点A、B、C均在格点（网格线的交点）上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图①中的上确定一点D，连结，使．
（2）在图②中的上确定一点E，连结，使．
（3）在图③中的上确定一点F，连结，使．
五、综合题
17．（2023七下·石阡期中）已知，在内部，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若平分，请说明：；
（3）如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．
18．（2023七上·西安期末）新定义：若α的度数是β的度数的n倍，则α叫做β的n倍角.
（1）若，请直接写出的3倍角的度数；
（2）如图①，若，请直接写出图中的所有2倍角；
（3）如图②，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数.
19．（2022七上·晋州期中）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设．
（1）当n=30时，求的大小；
（2）当恰好平分时，求n的值；
（3）当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，且二人求得的定值相同，均为，老师说，要使两人的说法都正确，需要对n分别附加条件．请你补充这个条件：
当满足 时，；
当满足 时，．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角.
2．【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据点M到AC和BC两边的距离相等可知，点M在的角平分线上，
故答案为：C.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等.
3．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OD、OE分别平分∠AOC与∠BOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOD+∠BOE=∠AOD+∠COE=∠COD+∠BOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°.
∴图中互为余角的有四对.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义得∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，由平角定义得∠AOC+∠BOC=180°，则∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°，进而根据和为90°的两个角互为余角即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：PQ平分∠APB，PA=PB，AQ=BQ.
故答案为：C.
【分析】由基本作图可得PQ平分∠APB，PA=PB，则AB垂直平分PQ，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①因为等角的余角相等，所以①说法正确；
②因为如图，，但射线OC不是∠AOB平分线，所以②说法错误；
③因为根据题意，α+β＝90°，α的补角为180°﹣α，则180°﹣α﹣β＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°，所以③说法正确．
综上说法正确的有①③．
故答案为：C
【分析】①根据余角的性质进行判定即可得出答案；②根据题意画出图形，如图所示即可得出答案；
③根据余角和补角的定义进行求解即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：
A、当乙的航向是北偏东55°时，由于甲和乙等速，故甲、乙两船不会相撞，A不符合题意；
B、当乙的航向是北偏西35°时，由于甲和乙等速，故甲、乙两船会相撞，B符合题意；
C、当乙的航向是北偏东35°时，由于甲和乙等速，故甲、乙两船不会相撞，C不符合题意；
D、当乙的航向是北偏西55°时，由于甲和乙等速，故甲、乙两船不会相撞，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据已知条件直接判断即可求解。
7．【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧，
故答案为：C．
【分析】根据各选项分别判断即可。
8．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出，再利用对顶角的性质可得。
9．【答案】40°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴可设∠BOE=∠DOE=x，则∠COE=180°-x.
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=∠EOF=∠COE=90°-x.
∵∠BOF=∠EOF-∠BOE=30°，
∴90°-x-x=30°，
∴x=40°，
∴∠DOE=x=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据角平分线的概念可设∠BOE=∠DOE=x，由平角的概念可得∠COE=180°-x，再次由角平分线的概念可得∠COF=∠EOF=∠COE=90°-x，然后根据∠BOF=∠EOF-∠BOE=30°进行求解.
10．【答案】35°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由题意得∠AOC=180°-145°=35°，
故答案为：35°
【分析】根据补角的性质进行运算即可求解。
11．【答案】如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由题意得如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等
【分析】根据余角的性质结合题意即可求解。
12．【答案】100°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
13．【答案】20°或40°或30°
【知识点】角的运算；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得，
当时，
∵，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述或或，
故答案为20°或40°或30°．
【分析】根据 “巧分线” 的定义分三种情况：当时；当时；当时，据此分别解答即可.
14．【答案】解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOD：∠BOE：∠EOC=1：4：4，
∴∠BOD=20°，
∴∠AOC=20°，
又∵，
∠COF=90°，
∴∠AOF=90°-20°=70°．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】先结合 ∠BOD：∠BOE：∠EOC=1：4：4，，求出∠BOD=20°，再结合∠COF=90°，求出∠AOF=90°-20°=70°即可。
15．【答案】解：∵OM平分∠AOC，且∠AOM=35°，
∴∠AOM=∠COM=35°．
∵ ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠COM=90°-35°=55°．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠AOM=∠COM=35°，由垂直的定义可得∠MON=90°，然后根据
∠CON=∠MON-∠COM进行计算.
16．【答案】（1）解：由勾股定理可知： ，则 ，即 为等腰三角形，
∵ ，
∴ 平分 ，则 ，
即： 为 的中点，
则，连接以 为对角线的矩形的对角线，交点即为点 ，如图所示，即为所求；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，即为所求；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由图可知： ， ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 与 交点即为所求点 ，如图所示．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出BC=5，再求出 为等腰三角形， 最后结合题意作图即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后作图即可；
（3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求出 ， 最后作图即可。
17．【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：平分，
，
，，
，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再根据 ，， 计算求解即可。
18．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴图中的所有2倍角有：，；
（3）解：∵是的3倍角，是的4倍角，
∴设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角的大小比较；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据角的运算可求解；
（2）由题意并结合图形可求解；
（3）由题意并结合图形可求解.
19．【答案】（1）解：当时，，
，
，
，
；
（2）解：恰好平分，，
，
，
；
（3）；
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）当时，如图1，，理由如下：
，
，
，
，
；
当时，如图2，理由如下：
，
，
，
，
；
故答案为：，．
【分析】（1）当n=30°时，可求∠POM=∠POB-∠BOM=38°，利用∠POn=∠MON-∠POM即可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠POM=45°，利用n=∠POB-∠POM即可求解；
（3）当时，如图1，，理由：由于，，利用∠AON-∠POM即可求解；当时，如图2，理由：由，，利用∠AON+∠POM即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 4.3.2 角的度量与计算 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·和平期末）已知一个角是40°，则这个角的余角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角.
2．（2023八下·二七期末）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（ ）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据点M到AC和BC两边的距离相等可知，点M在的角平分线上，
故答案为：C.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等.
3．（2023·哈尔滨月考）如图，点在直线上，、分别平分、，则图中互为余角的有（ ）对
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OD、OE分别平分∠AOC与∠BOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOD+∠BOE=∠AOD+∠COE=∠COD+∠BOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°.
∴图中互为余角的有四对.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义得∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，由平角定义得∠AOC+∠BOC=180°，则∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°，进而根据和为90°的两个角互为余角即可判断得出答案.
4．（2023八下·伊川期中）观察图中尺规作图痕迹，下列结论不正确的是（ ）
A．为的平分线 B．
C．点A、B到的距离不相等 D．
【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：PQ平分∠APB，PA=PB，AQ=BQ.
故答案为：C.
【分析】由基本作图可得PQ平分∠APB，PA=PB，则AB垂直平分PQ，据此判断.
5．（2023七下·达州期中）下列说法正确的是（ ）
①等角的余角相等；②若∠AOC＝∠AOB，则射线OC为∠AOB平分线；③若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①因为等角的余角相等，所以①说法正确；
②因为如图，，但射线OC不是∠AOB平分线，所以②说法错误；
③因为根据题意，α+β＝90°，α的补角为180°﹣α，则180°﹣α﹣β＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°，所以③说法正确．
综上说法正确的有①③．
故答案为：C
【分析】①根据余角的性质进行判定即可得出答案；②根据题意画出图形，如图所示即可得出答案；
③根据余角和补角的定义进行求解即可得出答案．
6．（2023八下·正定期中）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A、B 同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：
A、当乙的航向是北偏东55°时，由于甲和乙等速，故甲、乙两船不会相撞，A不符合题意；
B、当乙的航向是北偏西35°时，由于甲和乙等速，故甲、乙两船会相撞，B符合题意；
C、当乙的航向是北偏东35°时，由于甲和乙等速，故甲、乙两船不会相撞，C不符合题意；
D、当乙的航向是北偏西55°时，由于甲和乙等速，故甲、乙两船不会相撞，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据已知条件直接判断即可求解。
7．（2023七下·深圳期中）如图，用尺规作出了，关于作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．弧是以点O为圆心，任意长为半径的弧
B．弧是以点C为圆心，为半径的弧
C．弧是以点E为圆心，为半径的弧
D．弧是以点E为圆心，为半径的弧
【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧，
故答案为：C．
【分析】根据各选项分别判断即可。
8．（2023七下·顺德期中）如图，直线相交于点O，于点O，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出，再利用对顶角的性质可得。
二、填空题
9．（2023七下·潮阳期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分，∠COE若，则∠DOE= .
【答案】40°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴可设∠BOE=∠DOE=x，则∠COE=180°-x.
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=∠EOF=∠COE=90°-x.
∵∠BOF=∠EOF-∠BOE=30°，
∴90°-x-x=30°，
∴x=40°，
∴∠DOE=x=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据角平分线的概念可设∠BOE=∠DOE=x，由平角的概念可得∠COE=180°-x，再次由角平分线的概念可得∠COF=∠EOF=∠COE=90°-x，然后根据∠BOF=∠EOF-∠BOE=30°进行求解.
10．（2023七下·交城期中）如图，直线相交于点，若，则的度数为 ．
【答案】35°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由题意得∠AOC=180°-145°=35°，
故答案为：35°
【分析】根据补角的性质进行运算即可求解。
11．（2023七下·乌鲁木齐期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．
【答案】如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由题意得如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等
【分析】根据余角的性质结合题意即可求解。
12．（2023七下·云浮期末）已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则 ．
【答案】100°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
13．（2022七上·茂南期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”，如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．
【答案】20°或40°或30°
【知识点】角的运算；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得，
当时，
∵，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述或或，
故答案为20°或40°或30°．
【分析】根据 “巧分线” 的定义分三种情况：当时；当时；当时，据此分别解答即可.
三、解答题
14．（2023七下·白银期中）如图，直线，相交于点O，平分，．若，求的度数．
【答案】解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOD：∠BOE：∠EOC=1：4：4，
∴∠BOD=20°，
∴∠AOC=20°，
又∵，
∠COF=90°，
∴∠AOF=90°-20°=70°．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】先结合 ∠BOD：∠BOE：∠EOC=1：4：4，，求出∠BOD=20°，再结合∠COF=90°，求出∠AOF=90°-20°=70°即可。
15．（2023七下·沈北新期中）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数．
【答案】解：∵OM平分∠AOC，且∠AOM=35°，
∴∠AOM=∠COM=35°．
∵ ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠COM=90°-35°=55°．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠AOM=∠COM=35°，由垂直的定义可得∠MON=90°，然后根据
∠CON=∠MON-∠COM进行计算.
四、作图题
16．（2023·朝阳模拟）图①、图②、图③均是由小正方形组成的的网格，的三个顶点A、B、C均在格点（网格线的交点）上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图①中的上确定一点D，连结，使．
（2）在图②中的上确定一点E，连结，使．
（3）在图③中的上确定一点F，连结，使．
【答案】（1）解：由勾股定理可知： ，则 ，即 为等腰三角形，
∵ ，
∴ 平分 ，则 ，
即： 为 的中点，
则，连接以 为对角线的矩形的对角线，交点即为点 ，如图所示，即为所求；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，即为所求；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由图可知： ， ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 与 交点即为所求点 ，如图所示．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出BC=5，再求出 为等腰三角形， 最后结合题意作图即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后作图即可；
（3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求出 ， 最后作图即可。
五、综合题
17．（2023七下·石阡期中）已知，在内部，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若平分，请说明：；
（3）如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．
【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：平分，
，
，，
，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再根据 ，， 计算求解即可。
18．（2023七上·西安期末）新定义：若α的度数是β的度数的n倍，则α叫做β的n倍角.
（1）若，请直接写出的3倍角的度数；
（2）如图①，若，请直接写出图中的所有2倍角；
（3）如图②，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数.
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴图中的所有2倍角有：，；
（3）解：∵是的3倍角，是的4倍角，
∴设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角的大小比较；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据角的运算可求解；
（2）由题意并结合图形可求解；
（3）由题意并结合图形可求解.
19．（2022七上·晋州期中）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设．
（1）当n=30时，求的大小；
（2）当恰好平分时，求n的值；
（3）当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，且二人求得的定值相同，均为，老师说，要使两人的说法都正确，需要对n分别附加条件．请你补充这个条件：
当满足 时，；
当满足 时，．
【答案】（1）解：当时，，
，
，
，
；
（2）解：恰好平分，，
，
，
；
（3）；
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）当时，如图1，，理由如下：
，
，
，
，
；
当时，如图2，理由如下：
，
，
，
，
；
故答案为：，．
【分析】（1）当n=30°时，可求∠POM=∠POB-∠BOM=38°，利用∠POn=∠MON-∠POM即可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠POM=45°，利用n=∠POB-∠POM即可求解；
（3）当时，如图1，，理由：由于，，利用∠AON-∠POM即可求解；当时，如图2，理由：由，，利用∠AON+∠POM即可求解.
1 / 1
