2023-2024学年初中数学七年级上册 1.1 分式 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2022八上·西城期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八上·莱西期末）分式的值等于0，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
3．（2021八上·蓬江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·石景山期末）使得分式值为零的的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·淮南期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2019八上·重庆期中）若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
二、填空题
9．（2022八上·延庆期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
10．（2022八上·丰满期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
11．（2022八上·北京月考）分式的值为0，则m= ．
12．（2022八上·蓬莱期中）当 时，式子无意义．
13．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
三、解答题
14．已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零 分式无意义 y的值是正数
四、综合题
15．（2022八上·平谷期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -0.25 -0.5 -1 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
16．（2021八上·房山期中）在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
（1）现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
（2）若分式的值为整数，求出整数m的值；
（3）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，故A不合题意；
的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B不合题意；
，故C不合题意；
，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：．
故答案为：C
【分析】根据分式的值为0的条件可得，再求出a的值即可。
3．【答案】C
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：A、，故A不是“和谐分式”；
B、，故B不是“和谐分式”；
C、，故C是“和谐分式”；
D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故答案为：C．
【分析】根据“和谐分式”的定义逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式值为零，
且，
．
故答案为：A．
【分析】利用分式的值为0的条件可得且，再求出m的值即可。
5．【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：的分子和分母没有公因式，是最简分式，A不合题意；
的分子和分母有公因式，不是最简分式，B符合题意；
的分子和分母没有公因式，是最简分式，C不合题意；
的分子和分母没有公因式，是最简分式，D不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
7．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
8．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
9．【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴．
故答案为：0．
【分析】利用分式的值为0的条件可得，再求出x的值即可。
10．【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，再求出x的取值范围即可。
11．【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意知，，且分母时，
解得，．
即当时，分式的值为零．
故答案是：-1．
【分析】根据分式的值为0的条件可得且，再求出m的值即可。
12．【答案】-2，-3，-4
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解∶∵式子无意义，
∴，，，
解得：，
故答案为：-2，-3，-4
【分析】根据分式无意义的条件可得，，，再求出x的值即可。
13．【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【分析】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
14．【答案】解：x=0时，y的值是零；
x＝时，分式无意义；
x＜且x≠0时，y的值是正数．
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得正的法则，逐个解答即可。
15．【答案】（1）减小；减小
（2）解：∵
∵当时，的值无限接近于0，
∴当时，无限接近于2；
（3）
【知识点】分式的值；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小；
∵当时，随着的增大，的值也随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案为：
【分析】（1）参照题干中的计算方法求解即可；
（2）将代数式变形为，再求解即可；
（3）将代数式变形为，再求解即可。
16．【答案】（1）①④；②
（2）解：分式的值为整数，则的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：；
（3）解：
要使的值为整数，即为整数，则是整数即可，
所以的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：
【知识点】分式的值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②；
【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”的定义求解即可；
（2）根据题意可得的值为或，再求出m的值即可；
（3）先求出，再结合是整数，可得的值为或，最后求出m的值即可。
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一、选择题
1．（2022八上·西城期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，故A不合题意；
的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B不合题意；
，故C不合题意；
，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
2．（2022八上·莱西期末）分式的值等于0，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得：．
故答案为：C
【分析】根据分式的值为0的条件可得，再求出a的值即可。
3．（2021八上·蓬江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：A、，故A不是“和谐分式”；
B、，故B不是“和谐分式”；
C、，故C是“和谐分式”；
D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故答案为：C．
【分析】根据“和谐分式”的定义逐项判断即可。
4．（2022八上·石景山期末）使得分式值为零的的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式值为零，
且，
．
故答案为：A．
【分析】利用分式的值为0的条件可得且，再求出m的值即可。
5．（2022八上·淮南期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：的分子和分母没有公因式，是最简分式，A不合题意；
的分子和分母有公因式，不是最简分式，B符合题意；
的分子和分母没有公因式，是最简分式，C不合题意；
的分子和分母没有公因式，是最简分式，D不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
6．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
7．（2019八上·重庆期中）若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
二、填空题
9．（2022八上·延庆期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴．
故答案为：0．
【分析】利用分式的值为0的条件可得，再求出x的值即可。
10．（2022八上·丰满期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，再求出x的取值范围即可。
11．（2022八上·北京月考）分式的值为0，则m= ．
【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意知，，且分母时，
解得，．
即当时，分式的值为零．
故答案是：-1．
【分析】根据分式的值为0的条件可得且，再求出m的值即可。
12．（2022八上·蓬莱期中）当 时，式子无意义．
【答案】-2，-3，-4
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解∶∵式子无意义，
∴，，，
解得：，
故答案为：-2，-3，-4
【分析】根据分式无意义的条件可得，，，再求出x的值即可。
13．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【分析】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
三、解答题
14．已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零 分式无意义 y的值是正数
【答案】解：x=0时，y的值是零；
x＝时，分式无意义；
x＜且x≠0时，y的值是正数．
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得正的法则，逐个解答即可。
四、综合题
15．（2022八上·平谷期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -0.25 -0.5 -1 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
【答案】（1）减小；减小
（2）解：∵
∵当时，的值无限接近于0，
∴当时，无限接近于2；
（3）
【知识点】分式的值；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小；
∵当时，随着的增大，的值也随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案为：
【分析】（1）参照题干中的计算方法求解即可；
（2）将代数式变形为，再求解即可；
（3）将代数式变形为，再求解即可。
16．（2021八上·房山期中）在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
（1）现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
（2）若分式的值为整数，求出整数m的值；
（3）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
【答案】（1）①④；②
（2）解：分式的值为整数，则的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：；
（3）解：
要使的值为整数，即为整数，则是整数即可，
所以的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：
【知识点】分式的值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②；
【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”的定义求解即可；
（2）根据题意可得的值为或，再求出m的值即可；
（3）先求出，再结合是整数，可得的值为或，最后求出m的值即可。
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