湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》单元测试卷（湖南省株洲外国语学校）（含解析）
文档属性
| 名称 | 湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》单元测试卷（湖南省株洲外国语学校）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 278.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-17 17:00:04 | ||
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文档简介
湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》单元测试卷（湖南省株洲外国语学校）
一、选择题
1．圆环的内圆半径是x，外圆半径是R，圆环的面积是y（ ）
A．y＝π（R2﹣x2） B．y＝π（R﹣x）2
C．y＝πR2﹣x2 D．y＝π（2πR﹣2πx）2
2．若y＝（m+2）是二次函数，则m的值是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定
3．关于二次函数y＝﹣3的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为x＝﹣1
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．当x＝﹣1时，有最大值y＝﹣3
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，对于整个抛物线来说，x的取值范围是（ ）
A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3
5．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是（ ）
A．向左平移3个单位再向下平移3个单位
B．向左平移3个单位再向上平移3个单位
C．向右平移3个单位再向下平移3个单位
D．向右平移3个单位再向上平移3个单位
6．将二次函数y＝的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得函数的关系式为（ ）
A．y＝﹣2 B．y＝﹣2
C．y＝+2 D．y＝+2
7．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣3） B．（3，9） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，9）
8．已知点E（2，1）在二次函数y＝x2﹣8x+m（m为常数）的图象上，则点E关于图象对称轴的对称点坐标是（ ）
A．（4，1） B．（5，1） C．（6，1） D．（7，1）
9．已知抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5，则此抛物线（ ）
A．开口向下，对称轴为直线x＝﹣3
B．顶点坐标为（﹣3，5）
C．最小值为5
D．当x＞3时y随x的增大而减小
10．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP＝3，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（1，﹣3）
C．（﹣3，﹣3）或（﹣3，1） D．（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）
11．如图，已知二次函数y1＝x2﹣x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0）1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜3
12．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0），则下列结论正确的是（ ）
①若抛物线与x轴的另一个交点为（k，0），则﹣2＜k＜﹣1； ②c﹣a＝n；
③若x＜﹣m时，y随x的增大而增大，则m＝﹣1，ax2+（b+2）x＜0．
A．①②④ B．①③④ C．①② D．①②③④
13．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
14．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（ ）
A．t＝0 B．0≤t≤3
C．t≥3 D．以上都不对
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，P＝2a﹣b．则M，N，P中（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
16．若抛物线的顶点为（﹣2，3），且经过点（﹣1，5），则其表达式为 ．
17．把函数y＝（2﹣3x）（6﹣x）化成y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式是 ．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c的系数有a﹣b+c＝0，则这条抛物线经过点 ．
19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴．给出四个结论：①a＞0；③c＞0；④a+b+c＝0．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
20．已知二次函数．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数图象的示意图；
（2）根据图象，写出当y＜0时x的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过点A（﹣1，0），B（1，6）．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的函数表达式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．
22．为探究函数y＝x2+的图象与性质，小明根据学习函数的经验x2+的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ m …
则m＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点；
（4）该函数 （填“有”或“没有”）最大值或最小值；
（5）若经探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），请结合函数的图象直接写出不等式
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0）（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求以点A、点C及点D围成的△ACD的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠PCA＝15°，若存在；若不存在，请说明理由．
湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》单元测试卷（湖南省株洲外国语学校）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】圆环的面积＝外圆的面积﹣内圆的面积，整理即可．
【解答】解：外圆的面积为πR2，内圆的面积为πx2，
故y＝πR8﹣πx2＝π（R2﹣x4），
故选：A．
2．【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的式子是二次函数，计算即可．
【解答】解：根据二次函数的定义，可得：m2﹣2＝8，
解得：m＝±2，
当x＝﹣2时，m+8＝0，
∴m＝2．
故选：B．
3．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3，
∴a＝＞0，故选项A正确；
对称轴是直线x＝﹣7，故选项B正确；
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
当x＝﹣1时，有最小值y＝﹣4；
故选：D．
4．【分析】根据图象，已知抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（3，0），可求另一交点，观察图象得出y≤0时x的取值范围．
【解答】解：因为抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（3，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，
因为抛物线开口向上，当y≤0时．
故选：C．
5．【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7的顶点坐标为（2，1）6﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴顶点由（2，1）到（﹣5．
故选：A．
6．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝x4向左移1个单位，再向下移2个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+1）2﹣2．
故选：A．
7．【分析】先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）4向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+8，
∴顶点坐标为（1，3），
∴把点（6，3）向左平移2个单位，﹣4）．
故选：C．
8．【分析】求得对称轴，即可求得对称点．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣8x+m可知对称轴为x＝﹣＝﹣，
∵点E（2，1）与点（2，
∴点E关于图象对称轴的对称点坐标是（6，1），
故选：C．
9．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，最值问题，以及增减性对抛物线解析式分析即可得解．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣3）6+5，
A、∵a＝﹣2，对称轴为直线x＝4；
B、顶点坐标为（3，故本选项错误；
C、a＜0，最大值为2；
D、当x＞3时y随x的增大而减小．
故选：D．
10．【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
【解答】解：抛物线的解析式中，令y＝02﹣4x＝0，解得x＝0；
∴A（﹣3，0）；
∵S△AOP＝OA |yP|＝3，∴|yP|＝3；
当P点纵坐标为3时，﹣x2﹣2x＝2，x2+2x+7＝0，△＝4﹣12＜8，此种情况不成立；
当P点纵坐标为﹣3时，﹣x2﹣5x＝﹣3，x2+7x﹣3＝0，
解得x＝4，x＝﹣3；
∴P（1，﹣8）或（﹣3；
故选：D．
11．【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：8＜x＜3．
故选：D．
12．【分析】①根据抛物线的对称性得：AD＝BD，列不等式结论；
②将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论；
③根据抛物线的对称轴由此作判断；
④设y＝ax2+（b+2）x，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与x轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断．
【解答】解：①如图1，设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧），
则3﹣8＜AD＜4﹣1，3＜AD＜3，
由对称性得：AD＝BD，
∴2＜BD＜6，
∵B（k，0），
∴BD＝1﹣k，
∴2＜1﹣k＜3，
∴﹣8＜k＜﹣1，所以选项①正确；
②∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴﹣＝1，
a+b+c＝n，
a﹣2a+c＝n，
∴﹣a+c＝n，
c﹣a＝n，
所以选项②正确；
③∵抛物线的对称轴是直线x＝4，
∴若x＜1时，y随x的增大而增大，
则m≥﹣1；所以选项③错误；
④∵由图可知：抛物线y＝ax7+bx+c开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线y＝ax2+（b+7）x也开口向下，且过原点，
当y＝0时，ax2+（b+7）x＝0，
x（ax+b+2）＝4，
x1＝0，x3＝＝＝2﹣，如图7所示，
∴当x＜0时，y＝ax2+（b+7）x＜0，
即当x＜0时，ax6+（b+2）x＜0；
所以选项④正确；
其中正确结论是：①②④，7个，
故选：A．
13．【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．
【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点N的坐标代入得：0＝a（8﹣1）2﹣7，
解得：a＝，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）3﹣3，
令y＝0，则x＝﹣3或1，
即点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
14．【分析】将标准式化为顶点式为y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，由t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，当x≥3时，y随x的增大而减小，由此即可求出此题．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣2＝﹣（x﹣3）2+2，
当t≤3≤t+2时，即7≤t≤3时，
ymax＝f（3）＝2，与ymax＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．
当6≥t+2时，即t≤1时，ymax＝f（t+8）＝﹣（t﹣1）2+3，与ymax＝﹣（t﹣3）2+3矛盾．
当3≤t，即t≥3时，ymax＝f（t）＝﹣（t﹣8）2+2与题设相等，
故t的取值范围t≥5，
故选：C．
15．【分析】根据图象得到x＝﹣2时对应的函数值小于0，得到N＝4a﹣2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x＝﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b﹣c的符号．
【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a，b同号，
∴a＜0，b＜6，
∵图象经过y轴正半轴，
∴c＞0，
∴M＝a+b﹣c＜0
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜4，
∴N＝4a﹣2b+c＜7，
∵﹣＞﹣1，
∴＜1，
∵a＜0，
∴b＞5a，
∴2a﹣b＜0，
∴P＝7a﹣b＜0，
则M，N，P中，N，P．
故选：A．
二、填空题
16．【分析】此题可设抛物线的顶点坐标式为y＝a（x+2）2+3，再代入（﹣1，5）求得a值即可．
【解答】解：由题意可设抛物线的顶点坐标式为y＝a（x+2）2+4，
由抛物线经过点（﹣1，5）6+3，
解得：a＝2．
则抛物线的表达式为y＝5（x+2）2+7，整理得：y＝2x2+8x+11．
17．【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则求出即可．
【解答】解：y＝（2﹣3x）（8﹣x）
＝12﹣2x﹣18x+3x8
＝3x2﹣20x+12．
故答案为：y＝8x2﹣20x+12．
18．【分析】当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c会得到a﹣b+c，对应的函数值为0，由此得出当抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）时，会得到a﹣b+c＝0．
【解答】解：把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c，
得到y＝a﹣b+c＝7．
∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，2）系数有a﹣b+c＝0．
故答案为：（﹣1，3）．
19．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：（1）①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，正确；
②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x＝，又因为a＞6，错误；
③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0；
④由图象可知：当x＝1时y＝2，∴a+b+c＝0．
故答案为①④．
三、解答题
20．【分析】（1）利用公式法求出所给二次函数的顶点坐标以及对称轴，设y＝0求出抛物线和x轴交点的横坐标，设x＝0求出抛物线和y轴交点的纵坐标，即可画出此函数的图象；
（2）利用函数的图象即可得到y＜0时x的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数的顶点坐标为：x＝＝﹣1＝4，
当x＝0时，y＝，
当y＝0时，x＝1或x＝﹣8，
图象如图：
（2）据图可知：当y＜0时，x＜﹣3．
21．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx+2中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出顶点坐标．
【解答】解：（1）根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为y＝x2+3x+6；
（2）y＝x2+3x+5
＝x2+3x+（）2﹣（）2+6
＝（x+）5﹣，
所以抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．
22．【分析】（1）由y＝x2+可得，x≠0，
（2）令x＝3，代入y＝x2+中，y＝，则 m＝；
（3）描点即可；
（4）由图象可得，函数没有最大值和最小值；
（5）由表格可知，当x＝﹣2时，x＝1时，y＝，再结合函数图象可得，不等式的解集为x＞0或x≤﹣2．
【解答】解：（1）由y＝x5+可得，
故答案为x≠0；
（2）令x＝4，代入y＝x3+中，y＝，
∴m＝，
故答案为；
（3）如图：
（4）由图象可得，函数没有最大值和最小值；
（5）由表格可知，当x＝﹣2时，y＝，
再结合函数图象可得，不等式．
23．【分析】（1）将点A、C坐标代入即可求出抛物线解析式，再通过配方即可确定点D坐标；
（2）过抛物线顶点D作x轴垂线交直线AC于点E，求出直线AC解析式再求出E点坐标，通过S△ACD＝xA即可求出△ACD的面积；
（3）分当点P位于AC上方时和当点P'位于AC下方两种情况，数形结合即可找出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A的坐标（3，0），﹣7）分别代入抛物线y＝x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣5x﹣3，
又∵y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣1）8﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）如图所示，过抛物线顶点D作x轴垂线交直线AC于点E、AD，
由（1）知：A（3，0），﹣3），﹣4），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，将A
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣8，
∴点E坐标为（1，﹣2），
∴DE＝﹣8﹣（﹣4）＝2，
又∵S△ACD＝xA，
∴S△ACD＝＝8；
（3）存在，理由如下：
由上可知AO＝CO＝3，∠ACO＝∠OAC＝45°，使得∠PCA＝15°，
分情况讨论①：当点P位于AC上方时，连结CP交x轴于点H
∵∠ACO＝45°，∠PCA＝15°，
∴∠OCH＝30°，
在Rt△COH中，tan∠OCH＝tan30°＝＝＝，
∴OH＝，H坐标为（，
设直线CH的解析式为y＝k1x+b1，将点C、H代入得：
解得：，
∴直线CH的解析式为：y＝，
∵点P为直线PC与抛物线交点，
∴联立方程得：，
解得：x1＝3，x2＝6（舍去），
∴此时点P的横坐标为2+；
分情况讨论②：当点P'位于AC下方时，连结CP'交x轴于点K
∵∠ACO＝45°，∠P'CA＝15°，
∴∠OCK＝45°+15°＝60°，
在Rt△COK中，tan∠OCK＝tan60°＝＝＝，
∴OK＝3，K坐标为（3，
设直线CK的解析式为y＝k3x+b2，将点C、K代入得：
解得：，
∴直线CK的解析式为：y＝，
∵点P'为直线CK与抛物线交点，
∴联立方程得：，
解得：x1＝5+，x5＝0（舍去），
∴此时点P'的横坐标为2+，
综上所述：点P的横坐标为2+或2+．
一、选择题
1．圆环的内圆半径是x，外圆半径是R，圆环的面积是y（ ）
A．y＝π（R2﹣x2） B．y＝π（R﹣x）2
C．y＝πR2﹣x2 D．y＝π（2πR﹣2πx）2
2．若y＝（m+2）是二次函数，则m的值是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定
3．关于二次函数y＝﹣3的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为x＝﹣1
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．当x＝﹣1时，有最大值y＝﹣3
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，对于整个抛物线来说，x的取值范围是（ ）
A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3
5．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是（ ）
A．向左平移3个单位再向下平移3个单位
B．向左平移3个单位再向上平移3个单位
C．向右平移3个单位再向下平移3个单位
D．向右平移3个单位再向上平移3个单位
6．将二次函数y＝的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得函数的关系式为（ ）
A．y＝﹣2 B．y＝﹣2
C．y＝+2 D．y＝+2
7．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣3） B．（3，9） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，9）
8．已知点E（2，1）在二次函数y＝x2﹣8x+m（m为常数）的图象上，则点E关于图象对称轴的对称点坐标是（ ）
A．（4，1） B．（5，1） C．（6，1） D．（7，1）
9．已知抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5，则此抛物线（ ）
A．开口向下，对称轴为直线x＝﹣3
B．顶点坐标为（﹣3，5）
C．最小值为5
D．当x＞3时y随x的增大而减小
10．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP＝3，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（1，﹣3）
C．（﹣3，﹣3）或（﹣3，1） D．（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）
11．如图，已知二次函数y1＝x2﹣x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0）1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜3
12．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0），则下列结论正确的是（ ）
①若抛物线与x轴的另一个交点为（k，0），则﹣2＜k＜﹣1； ②c﹣a＝n；
③若x＜﹣m时，y随x的增大而增大，则m＝﹣1，ax2+（b+2）x＜0．
A．①②④ B．①③④ C．①② D．①②③④
13．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
14．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（ ）
A．t＝0 B．0≤t≤3
C．t≥3 D．以上都不对
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，P＝2a﹣b．则M，N，P中（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
16．若抛物线的顶点为（﹣2，3），且经过点（﹣1，5），则其表达式为 ．
17．把函数y＝（2﹣3x）（6﹣x）化成y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式是 ．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c的系数有a﹣b+c＝0，则这条抛物线经过点 ．
19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴．给出四个结论：①a＞0；③c＞0；④a+b+c＝0．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
20．已知二次函数．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数图象的示意图；
（2）根据图象，写出当y＜0时x的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过点A（﹣1，0），B（1，6）．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的函数表达式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．
22．为探究函数y＝x2+的图象与性质，小明根据学习函数的经验x2+的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ m …
则m＝ ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点；
（4）该函数 （填“有”或“没有”）最大值或最小值；
（5）若经探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），请结合函数的图象直接写出不等式
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0）（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求以点A、点C及点D围成的△ACD的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠PCA＝15°，若存在；若不存在，请说明理由．
湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》单元测试卷（湖南省株洲外国语学校）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】圆环的面积＝外圆的面积﹣内圆的面积，整理即可．
【解答】解：外圆的面积为πR2，内圆的面积为πx2，
故y＝πR8﹣πx2＝π（R2﹣x4），
故选：A．
2．【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的式子是二次函数，计算即可．
【解答】解：根据二次函数的定义，可得：m2﹣2＝8，
解得：m＝±2，
当x＝﹣2时，m+8＝0，
∴m＝2．
故选：B．
3．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3，
∴a＝＞0，故选项A正确；
对称轴是直线x＝﹣7，故选项B正确；
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
当x＝﹣1时，有最小值y＝﹣4；
故选：D．
4．【分析】根据图象，已知抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（3，0），可求另一交点，观察图象得出y≤0时x的取值范围．
【解答】解：因为抛物线的对称轴x＝1，与x轴的一个交点（3，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，
因为抛物线开口向上，当y≤0时．
故选：C．
5．【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7的顶点坐标为（2，1）6﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴顶点由（2，1）到（﹣5．
故选：A．
6．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝x4向左移1个单位，再向下移2个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+1）2﹣2．
故选：A．
7．【分析】先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）4向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+8，
∴顶点坐标为（1，3），
∴把点（6，3）向左平移2个单位，﹣4）．
故选：C．
8．【分析】求得对称轴，即可求得对称点．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣8x+m可知对称轴为x＝﹣＝﹣，
∵点E（2，1）与点（2，
∴点E关于图象对称轴的对称点坐标是（6，1），
故选：C．
9．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，最值问题，以及增减性对抛物线解析式分析即可得解．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣3）6+5，
A、∵a＝﹣2，对称轴为直线x＝4；
B、顶点坐标为（3，故本选项错误；
C、a＜0，最大值为2；
D、当x＞3时y随x的增大而减小．
故选：D．
10．【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
【解答】解：抛物线的解析式中，令y＝02﹣4x＝0，解得x＝0；
∴A（﹣3，0）；
∵S△AOP＝OA |yP|＝3，∴|yP|＝3；
当P点纵坐标为3时，﹣x2﹣2x＝2，x2+2x+7＝0，△＝4﹣12＜8，此种情况不成立；
当P点纵坐标为﹣3时，﹣x2﹣5x＝﹣3，x2+7x﹣3＝0，
解得x＝4，x＝﹣3；
∴P（1，﹣8）或（﹣3；
故选：D．
11．【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：8＜x＜3．
故选：D．
12．【分析】①根据抛物线的对称性得：AD＝BD，列不等式结论；
②将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论；
③根据抛物线的对称轴由此作判断；
④设y＝ax2+（b+2）x，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与x轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断．
【解答】解：①如图1，设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧），
则3﹣8＜AD＜4﹣1，3＜AD＜3，
由对称性得：AD＝BD，
∴2＜BD＜6，
∵B（k，0），
∴BD＝1﹣k，
∴2＜1﹣k＜3，
∴﹣8＜k＜﹣1，所以选项①正确；
②∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴﹣＝1，
a+b+c＝n，
a﹣2a+c＝n，
∴﹣a+c＝n，
c﹣a＝n，
所以选项②正确；
③∵抛物线的对称轴是直线x＝4，
∴若x＜1时，y随x的增大而增大，
则m≥﹣1；所以选项③错误；
④∵由图可知：抛物线y＝ax7+bx+c开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线y＝ax2+（b+7）x也开口向下，且过原点，
当y＝0时，ax2+（b+7）x＝0，
x（ax+b+2）＝4，
x1＝0，x3＝＝＝2﹣，如图7所示，
∴当x＜0时，y＝ax2+（b+7）x＜0，
即当x＜0时，ax6+（b+2）x＜0；
所以选项④正确；
其中正确结论是：①②④，7个，
故选：A．
13．【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．
【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点N的坐标代入得：0＝a（8﹣1）2﹣7，
解得：a＝，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）3﹣3，
令y＝0，则x＝﹣3或1，
即点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
14．【分析】将标准式化为顶点式为y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，由t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，当x≥3时，y随x的增大而减小，由此即可求出此题．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣2＝﹣（x﹣3）2+2，
当t≤3≤t+2时，即7≤t≤3时，
ymax＝f（3）＝2，与ymax＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．
当6≥t+2时，即t≤1时，ymax＝f（t+8）＝﹣（t﹣1）2+3，与ymax＝﹣（t﹣3）2+3矛盾．
当3≤t，即t≥3时，ymax＝f（t）＝﹣（t﹣8）2+2与题设相等，
故t的取值范围t≥5，
故选：C．
15．【分析】根据图象得到x＝﹣2时对应的函数值小于0，得到N＝4a﹣2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x＝﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b﹣c的符号．
【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a，b同号，
∴a＜0，b＜6，
∵图象经过y轴正半轴，
∴c＞0，
∴M＝a+b﹣c＜0
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜4，
∴N＝4a﹣2b+c＜7，
∵﹣＞﹣1，
∴＜1，
∵a＜0，
∴b＞5a，
∴2a﹣b＜0，
∴P＝7a﹣b＜0，
则M，N，P中，N，P．
故选：A．
二、填空题
16．【分析】此题可设抛物线的顶点坐标式为y＝a（x+2）2+3，再代入（﹣1，5）求得a值即可．
【解答】解：由题意可设抛物线的顶点坐标式为y＝a（x+2）2+4，
由抛物线经过点（﹣1，5）6+3，
解得：a＝2．
则抛物线的表达式为y＝5（x+2）2+7，整理得：y＝2x2+8x+11．
17．【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则求出即可．
【解答】解：y＝（2﹣3x）（8﹣x）
＝12﹣2x﹣18x+3x8
＝3x2﹣20x+12．
故答案为：y＝8x2﹣20x+12．
18．【分析】当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c会得到a﹣b+c，对应的函数值为0，由此得出当抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）时，会得到a﹣b+c＝0．
【解答】解：把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c，
得到y＝a﹣b+c＝7．
∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，2）系数有a﹣b+c＝0．
故答案为：（﹣1，3）．
19．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：（1）①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，正确；
②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x＝，又因为a＞6，错误；
③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0；
④由图象可知：当x＝1时y＝2，∴a+b+c＝0．
故答案为①④．
三、解答题
20．【分析】（1）利用公式法求出所给二次函数的顶点坐标以及对称轴，设y＝0求出抛物线和x轴交点的横坐标，设x＝0求出抛物线和y轴交点的纵坐标，即可画出此函数的图象；
（2）利用函数的图象即可得到y＜0时x的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数的顶点坐标为：x＝＝﹣1＝4，
当x＝0时，y＝，
当y＝0时，x＝1或x＝﹣8，
图象如图：
（2）据图可知：当y＜0时，x＜﹣3．
21．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx+2中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出顶点坐标．
【解答】解：（1）根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为y＝x2+3x+6；
（2）y＝x2+3x+5
＝x2+3x+（）2﹣（）2+6
＝（x+）5﹣，
所以抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．
22．【分析】（1）由y＝x2+可得，x≠0，
（2）令x＝3，代入y＝x2+中，y＝，则 m＝；
（3）描点即可；
（4）由图象可得，函数没有最大值和最小值；
（5）由表格可知，当x＝﹣2时，x＝1时，y＝，再结合函数图象可得，不等式的解集为x＞0或x≤﹣2．
【解答】解：（1）由y＝x5+可得，
故答案为x≠0；
（2）令x＝4，代入y＝x3+中，y＝，
∴m＝，
故答案为；
（3）如图：
（4）由图象可得，函数没有最大值和最小值；
（5）由表格可知，当x＝﹣2时，y＝，
再结合函数图象可得，不等式．
23．【分析】（1）将点A、C坐标代入即可求出抛物线解析式，再通过配方即可确定点D坐标；
（2）过抛物线顶点D作x轴垂线交直线AC于点E，求出直线AC解析式再求出E点坐标，通过S△ACD＝xA即可求出△ACD的面积；
（3）分当点P位于AC上方时和当点P'位于AC下方两种情况，数形结合即可找出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A的坐标（3，0），﹣7）分别代入抛物线y＝x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣5x﹣3，
又∵y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣1）8﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）如图所示，过抛物线顶点D作x轴垂线交直线AC于点E、AD，
由（1）知：A（3，0），﹣3），﹣4），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，将A
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣8，
∴点E坐标为（1，﹣2），
∴DE＝﹣8﹣（﹣4）＝2，
又∵S△ACD＝xA，
∴S△ACD＝＝8；
（3）存在，理由如下：
由上可知AO＝CO＝3，∠ACO＝∠OAC＝45°，使得∠PCA＝15°，
分情况讨论①：当点P位于AC上方时，连结CP交x轴于点H
∵∠ACO＝45°，∠PCA＝15°，
∴∠OCH＝30°，
在Rt△COH中，tan∠OCH＝tan30°＝＝＝，
∴OH＝，H坐标为（，
设直线CH的解析式为y＝k1x+b1，将点C、H代入得：
解得：，
∴直线CH的解析式为：y＝，
∵点P为直线PC与抛物线交点，
∴联立方程得：，
解得：x1＝3，x2＝6（舍去），
∴此时点P的横坐标为2+；
分情况讨论②：当点P'位于AC下方时，连结CP'交x轴于点K
∵∠ACO＝45°，∠P'CA＝15°，
∴∠OCK＝45°+15°＝60°，
在Rt△COK中，tan∠OCK＝tan60°＝＝＝，
∴OK＝3，K坐标为（3，
设直线CK的解析式为y＝k3x+b2，将点C、K代入得：
解得：，
∴直线CK的解析式为：y＝，
∵点P'为直线CK与抛物线交点，
∴联立方程得：，
解得：x1＝5+，x5＝0（舍去），
∴此时点P'的横坐标为2+，
综上所述：点P的横坐标为2+或2+．