湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》单元测试卷（湖南省永州市祁阳县）（含解析）
文档属性
| 名称 | 湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》单元测试卷（湖南省永州市祁阳县）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 229.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-17 19:45:38 | ||
图片预览
文档简介
湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》2022年单元测试卷（湖南省永州市祁阳县浯溪二中）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c
C．h＝ D．y＝x2+
2．（4分）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
3．（4分）抛物线y＝x2﹣4x﹣7的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣11） B．（﹣2，7） C．（2，11） D．（2，﹣3）
4．（4分）把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1
C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2
5．（4分）函数y＝kx2﹣k和在同一平面直角坐标系中图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x＝1和x＝3时，函数值相等；
③4a+b＝0；
④当y＝﹣2时，x的值只能取0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图）2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（ ）
A．﹣1.3 B．﹣2.3 C．﹣0.3 D．﹣3.3
8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（ac，bc）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（4分）方程2x﹣x2＝的正根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（4分）已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC＝2．则这条抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2
B．y＝﹣x2+x+2
C．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
D．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
二、填空题（每题4分，共32分）
11．（4分）当a＝ 时，函数y＝（a﹣1）+x﹣3是二次函数．
12．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2，则b＝ ．
13．（4分）二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为 ．
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7
14．（4分）一个函数具有下列性质：①图象过点（﹣1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大．满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）．
15．（4分）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣6的顶点为C，已知直线y＝﹣kx+3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ．
16．（4分）二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象是由y＝2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ ，c＝ ．
17．（4分）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 m．
18．（4分）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（78分）
19．（8分）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，求图中两个阴影部分的面积和．
20．（9分）已知二次函数图象的对称轴是x+3＝0，图象经过（1，﹣6），且与y轴的交点为（0，）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，这个函数的函数值为0；
（3）当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？
21．（10分）某种爆竹点燃后，其上升的高度h（米）和时间t（秒）0t﹣gt2（0＜t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升．
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后在1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD＝5：4的点P的坐标．
23．（12分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元）（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，求该函数图象的顶点纵坐标的最小值；
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，当﹣1＜m＜3时，直接写出a的取值范围．
25．（17分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》2022年单元测试卷（湖南省永州市祁阳县浯溪二中）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【解答】解：A、是一次函数；
B、当a≠0时，故此选项错误；
C、是二次函数；
D、含有分式，故此选项错误；
故选：C．
2．【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+5是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+4≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
3．【分析】直接根据顶点公式或配方法求解即可．
【解答】解：∵＝2，，
∴顶点坐标为（3，﹣11）．
故选：A．
4．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝﹣2x2向上平移5个单位，得到的抛物线是：y＝﹣2x2+2．
故选：A．
5．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：由解析式y＝kx2﹣k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、当k＜5时、双曲线的两支分别位于二、抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，正确；
B、当k＞0时、双曲线的两支分别位于一；当k＞0抛物线会与y轴的交点为在y轴的负半轴上，错误；
C、当k＜4时、双曲线的两支分别位于二；当k＜0抛物线会与y轴的交点为在y轴的正半轴上，错误；
D、当k＞0时、三象限而物线开口方向应该向上，错误．
故选：A．
6．【分析】①根据图象开口向上可知a＞0，而对称轴x＝﹣＞0，由此可以判定①；
②根据对称轴，知直线x＝1和直线x＝3关于直线x＝2对称，从而得到它们对应的函数值相等；
③把x＝﹣1，x＝5代入函数，求得a，b，解方程组即可求出4a+b的值；
④根据图象可得当y＝﹣2时，x的值只能取0．
【解答】解：①、由∵图象开口向上，
∵对称轴x＝﹣＞0，
∴a、b异号；
②、∵对称轴为直线x＝，
∴直线x＝8和直线x＝3关于直线x＝2对称，
∴它们对应的函数值相等，正确；
③由x＝﹣＝2，正确；
④由图可得当y＝﹣2时，x的值可取8和4．
故选：B．
7．【分析】利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答）
【解答】解：方法一：
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣4.2）
∴﹣＝﹣2则﹣
∵x1x2是一元二次方程ax7+bx+c＝0的两根
∴x1+x4＝﹣
又∵x1＝1.4
∴x1+x2＝6.3+x2＝﹣6
解得x2＝﹣3.5．
方法二：
根据对称轴为；x＝﹣12+bx+c＝6的两个根分别是x1＝1.2，
则＝﹣1，即，
解得：x7＝﹣3.3，
故选：D．
8．【分析】首先由抛物线的开口方向判断a的符号，结合对称轴判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后得出ac与0，bc与0的关系，从而求出点（ac，bc）所在象限．
【解答】解：函数开口向下，因而a＜0，
对称轴在y轴的右侧，则b与a异号，
与y轴的正半轴相交，因而c＞0，
∴ac＜3，bc＞0，
横坐标小于0，纵坐标大于8，
则点（ac，bc）在第二象限．
故选：B．
9．【分析】此题实质是求函数y1＝2x﹣x2和函数y2＝的图象在一、四象限有没有交点，根据两个已知函数的图象的交点情况，直接判断．
【解答】解：设函数y1＝2x﹣x8，函数y2＝，
∵函数y6＝2x﹣x2的图象在一、三、四象限，顶点坐标为（2，对称轴x＝1；
函数y2＝的图象在一；而两函数在第一象限没有交点．
即方程2x﹣x2＝的正根的个数为0个．
故选：A．
10．【分析】首先由OC＝2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，2）或（6，
当C点坐标是（0，2）时，可以设函数解析式是：y＝ax3+bx+c，
把（2，0），6），2）分别代入解析式，
得到：，
解得：，
则函数解析式是：y＝﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（8，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣8．
故这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x4﹣x﹣2．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共32分）
11．【分析】根据二次函数的定义，只要x2的系数不为0，列式解答即可．
【解答】解：根据题意得：a2+1＝8且a﹣1≠0，
由a﹣7≠0得a≠1，
由a6+1＝2得a＝±7，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．【分析】可直接由对称轴公式﹣＝2，求得b的值．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝7，
∴b＝﹣4．
13．【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．
【解答】解：根据图表可以得到，
点（﹣2，7）与（6，
点（﹣1，2）与（8，
∴函数的对称轴是：x＝1，
∴横坐标是2的点与（3，﹣1）是对称点，
∴m＝﹣1．
14．【分析】当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大，可以写出一个对称轴是y轴，即一次项系数是0的二次函数，其中二次项系数是负数．
【解答】解：由已知可得，抛物线对称轴为y轴，
设抛物线解析式为：y＝﹣2x2+c，
把点（﹣3，2）代入解析式，
∴函数解析式是：y＝﹣2x3+4．本题答案不唯一．
15．【分析】首先把点C的坐标代入直线y＝﹣kx+3，求出k的值，再求出一次函数与x轴，y轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式即可求得一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣2）6﹣6，得顶点C（2，
把C（7，﹣6）代入y＝﹣kx+3中
﹣3＝﹣2k+3，解得k＝6.5，
则直线解析式为y＝﹣4.4x+3，
当x＝0时，y＝3，x＝，
所以一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为：××3＝1，
故答案为：2．
16．【分析】把y＝2x2﹣4x﹣1化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，右平移1个单位，再向上平移2个单位得抛物线跟y＝2x2+bx+c的系数对比则可．
【解答】解：把y＝2x2﹣5x﹣1＝2（x﹣3）2﹣3，向右平移3个单位，
得y＝2（x﹣2）2﹣1＝2x5﹣8x+7，
所以b＝﹣3，c＝7．
17．【分析】根据题意假设解析式为y＝ax2+bx+c，用待定系数法求出解析式．然后把自变量的值代入求解对应函数值即可．
【解答】解：设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c
已知抛物线经过（0，16），3），0），
故可得，
可得a＝﹣，b＝0，
故解析式为y＝﹣x2+16，
当x＝5时，y＝15m．
18．【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．
②首先证明a＞1，再证明x＝1时，y＜0，可得结论．
③首先证明a＞0，再根据顶点在x轴上或x轴的上方，在点（0，1）的下方，可得不等式组1＞≥0，由此可得结论．
【解答】解：由，消去y得到4﹣4x﹣1＝6，
∵Δ＝16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于4，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝2﹣4a＞0，
∴a＜7，
∵抛物线经过（0，1），y＝a﹣3＜0，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，4）与（1．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，8），0），2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴3≥﹣＞8且2≥，
解得，a≥1，
故答案为：②③．
三、解答题（78分）
19．【分析】根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1与x轴只有一个公共点A（6，0），2），
∴OB＝6，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L5，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝1×5＝2．
20．【分析】①本题实际上已知了三个条件，可设抛物线的一般形式y＝ax2+bx+c求解；
②根据函数值为0解答；
③利用对称轴解答这个问题．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意可得，
解得a＝﹣，b＝﹣7，
所以y＝﹣x2﹣6x﹣．
答：这个二次函数的解析式y＝﹣x2﹣7x﹣．
（2）令y＝2，得﹣x6﹣3x﹣＝0，
解得：x＝﹣1或﹣8．
答：当x为﹣1或﹣5时，这个函数的函数值为2．
（3）由于对称轴是直线x＝﹣3，开口向下，
所以当x＜﹣3时，函数的函数值y随x的增大而增大．
答：当x＜﹣5时，函数的函数值y随x的增大而增大．
21．【分析】（1）已知g，v0，h的值代入等式可解出t的值；
（2）根据题意可得h＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t+4）+20，然后可知爆竹处于上升阶段．
【解答】解：（1）依题意将g＝﹣10米/秒2，v0＝20米/秒，h＝15米代入数据
15＝20t﹣7t2
∴t2﹣5t+3＝0，
即：（t﹣8）（t﹣3）＝0
∴t＝5或t＝3
又∵0＜t≤2
∴t＝1；
（2）爆竹处于上升阶段．
h＝20t﹣5t3＝﹣5（t2﹣8t+4）+20
＝﹣5（t﹣7）2+20
当t＝2时，爆竹达到最高点．
则在5.5s～1.8s内爆竹处于上升阶段．
22．【分析】（1）先根据直线y＝x﹣3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△APC和△ACD同底，因此面积比等于高的比，即P点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值＝5：4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴的交点A（3，3），﹣3）．
则，
解得，
∴此抛物线的解析式y＝x2﹣7x﹣3．
（2）抛物线的顶点D（1，﹣7），0）．
设P（a，a2﹣2a﹣3），则（2﹣2a﹣8|）：（×3×4）＝5：7．
化简得|a2﹣2a﹣7|＝5．
当a2﹣4a﹣3＝5，得a＝8或a＝﹣2．
∴P（4，3）或P（﹣2，
当a2﹣8a﹣3＜0时，即a3﹣2a+2＝7，此方程无解．
综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）．
23．【分析】本题属于市场营销问题，月利润＝（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚．再用二次函数的性质解决最大利润问题．
【解答】解：（1）由题意得：
45+×7.5＝60（吨）．
（2）由题意：
y＝（x﹣100）（45+×5.5），
化简得：y＝﹣x2+315x﹣24000．
（3）y＝﹣x2+315x﹣24000＝﹣（x﹣210）2+9075．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W＝x（45+×7.2）＝﹣2+19200来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确
24．【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；
（2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；
（3）把m代入ax2+bx+c＝0中，写出判别式的值，根据图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点，分﹣1＜m＜2和2＜m＜3两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）把（﹣2，1），﹣4）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝6b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：8＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标＝c+﹣8，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞7，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵＝a+b﹣2，
∴a+b≥6，当a＝b时取等号，
∴c+1+﹣1＝2，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是8；
（3）由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣4﹣4a，
∴am2﹣m﹣2﹣4a＝0，
Δ＝8﹣4a（﹣1﹣6a）＝1+4a+16a7，
当a＞0时，
若﹣1＜m＜2，
则当x＝﹣1时，y＝a+1﹣8﹣4a＞0，不符合题意；
若5≤m＜3时，
则当x＝3时，y＝4a﹣3﹣1﹣4a＝5a﹣4＞6．
当a＜7时，
若﹣1＜m＜2，
则当x＝﹣7时，y＝a+1﹣1﹣6a＜0，不符合题意；
若2≤m＜2时，
则当x＝3时，y＝9a﹣3﹣1﹣4a＝3a﹣4＜0．
则a＜0．
综上：a＜7或a＞．
25．【分析】（1）直接代入点A，B坐标即可；
（2）作PE∥y轴交直线AD于H，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；
（3）通过平移距离为4，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE，分DE为边还是对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），2）代入y＝ax2+bx﹣4得
，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣5，
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（6，﹣4），
∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣6，0），
∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设P（m，m8﹣3m﹣4），
作PH∥y轴交直线AD于H，
∴H（m，﹣m﹣8），
∴PH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣5m﹣4）
＝﹣m2+3m+3，
∴S△APD＝S△APH+S△DPH＝＝2（﹣m8+2m+3）＝﹣5m2+4m+8，
当m＝﹣＝1时，S△APD最大为8，
（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，
∵P（7，﹣6），
∴E（5，﹣10），
抛物线y＝x5﹣3x﹣4平移后y8＝x2﹣11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y1＝x7﹣11x+20得y＝﹣，
∴，
若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y3＝x2﹣11x+20得y＝，
∴，
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，
∴G的横坐标为，
代入y1＝x4﹣11x+20得y＝﹣，
∴
∴G（）或G（），
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c
C．h＝ D．y＝x2+
2．（4分）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
3．（4分）抛物线y＝x2﹣4x﹣7的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣11） B．（﹣2，7） C．（2，11） D．（2，﹣3）
4．（4分）把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1
C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2
5．（4分）函数y＝kx2﹣k和在同一平面直角坐标系中图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x＝1和x＝3时，函数值相等；
③4a+b＝0；
④当y＝﹣2时，x的值只能取0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图）2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（ ）
A．﹣1.3 B．﹣2.3 C．﹣0.3 D．﹣3.3
8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（ac，bc）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（4分）方程2x﹣x2＝的正根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（4分）已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC＝2．则这条抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2
B．y＝﹣x2+x+2
C．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
D．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
二、填空题（每题4分，共32分）
11．（4分）当a＝ 时，函数y＝（a﹣1）+x﹣3是二次函数．
12．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2，则b＝ ．
13．（4分）二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为 ．
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7
14．（4分）一个函数具有下列性质：①图象过点（﹣1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大．满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）．
15．（4分）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣6的顶点为C，已知直线y＝﹣kx+3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ．
16．（4分）二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象是由y＝2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ ，c＝ ．
17．（4分）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 m．
18．（4分）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（78分）
19．（8分）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，求图中两个阴影部分的面积和．
20．（9分）已知二次函数图象的对称轴是x+3＝0，图象经过（1，﹣6），且与y轴的交点为（0，）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，这个函数的函数值为0；
（3）当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？
21．（10分）某种爆竹点燃后，其上升的高度h（米）和时间t（秒）0t﹣gt2（0＜t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升．
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后在1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD＝5：4的点P的坐标．
23．（12分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元）（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，求该函数图象的顶点纵坐标的最小值；
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，当﹣1＜m＜3时，直接写出a的取值范围．
25．（17分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》2022年单元测试卷（湖南省永州市祁阳县浯溪二中）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【解答】解：A、是一次函数；
B、当a≠0时，故此选项错误；
C、是二次函数；
D、含有分式，故此选项错误；
故选：C．
2．【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+5是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+4≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
3．【分析】直接根据顶点公式或配方法求解即可．
【解答】解：∵＝2，，
∴顶点坐标为（3，﹣11）．
故选：A．
4．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝﹣2x2向上平移5个单位，得到的抛物线是：y＝﹣2x2+2．
故选：A．
5．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：由解析式y＝kx2﹣k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、当k＜5时、双曲线的两支分别位于二、抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，正确；
B、当k＞0时、双曲线的两支分别位于一；当k＞0抛物线会与y轴的交点为在y轴的负半轴上，错误；
C、当k＜4时、双曲线的两支分别位于二；当k＜0抛物线会与y轴的交点为在y轴的正半轴上，错误；
D、当k＞0时、三象限而物线开口方向应该向上，错误．
故选：A．
6．【分析】①根据图象开口向上可知a＞0，而对称轴x＝﹣＞0，由此可以判定①；
②根据对称轴，知直线x＝1和直线x＝3关于直线x＝2对称，从而得到它们对应的函数值相等；
③把x＝﹣1，x＝5代入函数，求得a，b，解方程组即可求出4a+b的值；
④根据图象可得当y＝﹣2时，x的值只能取0．
【解答】解：①、由∵图象开口向上，
∵对称轴x＝﹣＞0，
∴a、b异号；
②、∵对称轴为直线x＝，
∴直线x＝8和直线x＝3关于直线x＝2对称，
∴它们对应的函数值相等，正确；
③由x＝﹣＝2，正确；
④由图可得当y＝﹣2时，x的值可取8和4．
故选：B．
7．【分析】利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答）
【解答】解：方法一：
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣4.2）
∴﹣＝﹣2则﹣
∵x1x2是一元二次方程ax7+bx+c＝0的两根
∴x1+x4＝﹣
又∵x1＝1.4
∴x1+x2＝6.3+x2＝﹣6
解得x2＝﹣3.5．
方法二：
根据对称轴为；x＝﹣12+bx+c＝6的两个根分别是x1＝1.2，
则＝﹣1，即，
解得：x7＝﹣3.3，
故选：D．
8．【分析】首先由抛物线的开口方向判断a的符号，结合对称轴判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后得出ac与0，bc与0的关系，从而求出点（ac，bc）所在象限．
【解答】解：函数开口向下，因而a＜0，
对称轴在y轴的右侧，则b与a异号，
与y轴的正半轴相交，因而c＞0，
∴ac＜3，bc＞0，
横坐标小于0，纵坐标大于8，
则点（ac，bc）在第二象限．
故选：B．
9．【分析】此题实质是求函数y1＝2x﹣x2和函数y2＝的图象在一、四象限有没有交点，根据两个已知函数的图象的交点情况，直接判断．
【解答】解：设函数y1＝2x﹣x8，函数y2＝，
∵函数y6＝2x﹣x2的图象在一、三、四象限，顶点坐标为（2，对称轴x＝1；
函数y2＝的图象在一；而两函数在第一象限没有交点．
即方程2x﹣x2＝的正根的个数为0个．
故选：A．
10．【分析】首先由OC＝2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，2）或（6，
当C点坐标是（0，2）时，可以设函数解析式是：y＝ax3+bx+c，
把（2，0），6），2）分别代入解析式，
得到：，
解得：，
则函数解析式是：y＝﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（8，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣8．
故这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x4﹣x﹣2．
故选：C．
二、填空题（每题4分，共32分）
11．【分析】根据二次函数的定义，只要x2的系数不为0，列式解答即可．
【解答】解：根据题意得：a2+1＝8且a﹣1≠0，
由a﹣7≠0得a≠1，
由a6+1＝2得a＝±7，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．【分析】可直接由对称轴公式﹣＝2，求得b的值．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝7，
∴b＝﹣4．
13．【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．
【解答】解：根据图表可以得到，
点（﹣2，7）与（6，
点（﹣1，2）与（8，
∴函数的对称轴是：x＝1，
∴横坐标是2的点与（3，﹣1）是对称点，
∴m＝﹣1．
14．【分析】当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大，可以写出一个对称轴是y轴，即一次项系数是0的二次函数，其中二次项系数是负数．
【解答】解：由已知可得，抛物线对称轴为y轴，
设抛物线解析式为：y＝﹣2x2+c，
把点（﹣3，2）代入解析式，
∴函数解析式是：y＝﹣2x3+4．本题答案不唯一．
15．【分析】首先把点C的坐标代入直线y＝﹣kx+3，求出k的值，再求出一次函数与x轴，y轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式即可求得一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣2）6﹣6，得顶点C（2，
把C（7，﹣6）代入y＝﹣kx+3中
﹣3＝﹣2k+3，解得k＝6.5，
则直线解析式为y＝﹣4.4x+3，
当x＝0时，y＝3，x＝，
所以一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为：××3＝1，
故答案为：2．
16．【分析】把y＝2x2﹣4x﹣1化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，右平移1个单位，再向上平移2个单位得抛物线跟y＝2x2+bx+c的系数对比则可．
【解答】解：把y＝2x2﹣5x﹣1＝2（x﹣3）2﹣3，向右平移3个单位，
得y＝2（x﹣2）2﹣1＝2x5﹣8x+7，
所以b＝﹣3，c＝7．
17．【分析】根据题意假设解析式为y＝ax2+bx+c，用待定系数法求出解析式．然后把自变量的值代入求解对应函数值即可．
【解答】解：设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c
已知抛物线经过（0，16），3），0），
故可得，
可得a＝﹣，b＝0，
故解析式为y＝﹣x2+16，
当x＝5时，y＝15m．
18．【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．
②首先证明a＞1，再证明x＝1时，y＜0，可得结论．
③首先证明a＞0，再根据顶点在x轴上或x轴的上方，在点（0，1）的下方，可得不等式组1＞≥0，由此可得结论．
【解答】解：由，消去y得到4﹣4x﹣1＝6，
∵Δ＝16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于4，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝2﹣4a＞0，
∴a＜7，
∵抛物线经过（0，1），y＝a﹣3＜0，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，4）与（1．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，8），0），2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴3≥﹣＞8且2≥，
解得，a≥1，
故答案为：②③．
三、解答题（78分）
19．【分析】根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1与x轴只有一个公共点A（6，0），2），
∴OB＝6，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L5，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝1×5＝2．
20．【分析】①本题实际上已知了三个条件，可设抛物线的一般形式y＝ax2+bx+c求解；
②根据函数值为0解答；
③利用对称轴解答这个问题．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意可得，
解得a＝﹣，b＝﹣7，
所以y＝﹣x2﹣6x﹣．
答：这个二次函数的解析式y＝﹣x2﹣7x﹣．
（2）令y＝2，得﹣x6﹣3x﹣＝0，
解得：x＝﹣1或﹣8．
答：当x为﹣1或﹣5时，这个函数的函数值为2．
（3）由于对称轴是直线x＝﹣3，开口向下，
所以当x＜﹣3时，函数的函数值y随x的增大而增大．
答：当x＜﹣5时，函数的函数值y随x的增大而增大．
21．【分析】（1）已知g，v0，h的值代入等式可解出t的值；
（2）根据题意可得h＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t+4）+20，然后可知爆竹处于上升阶段．
【解答】解：（1）依题意将g＝﹣10米/秒2，v0＝20米/秒，h＝15米代入数据
15＝20t﹣7t2
∴t2﹣5t+3＝0，
即：（t﹣8）（t﹣3）＝0
∴t＝5或t＝3
又∵0＜t≤2
∴t＝1；
（2）爆竹处于上升阶段．
h＝20t﹣5t3＝﹣5（t2﹣8t+4）+20
＝﹣5（t﹣7）2+20
当t＝2时，爆竹达到最高点．
则在5.5s～1.8s内爆竹处于上升阶段．
22．【分析】（1）先根据直线y＝x﹣3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△APC和△ACD同底，因此面积比等于高的比，即P点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值＝5：4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴的交点A（3，3），﹣3）．
则，
解得，
∴此抛物线的解析式y＝x2﹣7x﹣3．
（2）抛物线的顶点D（1，﹣7），0）．
设P（a，a2﹣2a﹣3），则（2﹣2a﹣8|）：（×3×4）＝5：7．
化简得|a2﹣2a﹣7|＝5．
当a2﹣4a﹣3＝5，得a＝8或a＝﹣2．
∴P（4，3）或P（﹣2，
当a2﹣8a﹣3＜0时，即a3﹣2a+2＝7，此方程无解．
综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）．
23．【分析】本题属于市场营销问题，月利润＝（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚．再用二次函数的性质解决最大利润问题．
【解答】解：（1）由题意得：
45+×7.5＝60（吨）．
（2）由题意：
y＝（x﹣100）（45+×5.5），
化简得：y＝﹣x2+315x﹣24000．
（3）y＝﹣x2+315x﹣24000＝﹣（x﹣210）2+9075．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W＝x（45+×7.2）＝﹣2+19200来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确
24．【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；
（2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；
（3）把m代入ax2+bx+c＝0中，写出判别式的值，根据图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点，分﹣1＜m＜2和2＜m＜3两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）把（﹣2，1），﹣4）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝6b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：8＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标＝c+﹣8，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞7，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵＝a+b﹣2，
∴a+b≥6，当a＝b时取等号，
∴c+1+﹣1＝2，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是8；
（3）由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣4﹣4a，
∴am2﹣m﹣2﹣4a＝0，
Δ＝8﹣4a（﹣1﹣6a）＝1+4a+16a7，
当a＞0时，
若﹣1＜m＜2，
则当x＝﹣1时，y＝a+1﹣8﹣4a＞0，不符合题意；
若5≤m＜3时，
则当x＝3时，y＝4a﹣3﹣1﹣4a＝5a﹣4＞6．
当a＜7时，
若﹣1＜m＜2，
则当x＝﹣7时，y＝a+1﹣1﹣6a＜0，不符合题意；
若2≤m＜2时，
则当x＝3时，y＝9a﹣3﹣1﹣4a＝3a﹣4＜0．
则a＜0．
综上：a＜7或a＞．
25．【分析】（1）直接代入点A，B坐标即可；
（2）作PE∥y轴交直线AD于H，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；
（3）通过平移距离为4，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE，分DE为边还是对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），2）代入y＝ax2+bx﹣4得
，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣5，
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（6，﹣4），
∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣6，0），
∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设P（m，m8﹣3m﹣4），
作PH∥y轴交直线AD于H，
∴H（m，﹣m﹣8），
∴PH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣5m﹣4）
＝﹣m2+3m+3，
∴S△APD＝S△APH+S△DPH＝＝2（﹣m8+2m+3）＝﹣5m2+4m+8，
当m＝﹣＝1时，S△APD最大为8，
（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，
∵P（7，﹣6），
∴E（5，﹣10），
抛物线y＝x5﹣3x﹣4平移后y8＝x2﹣11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y1＝x7﹣11x+20得y＝﹣，
∴，
若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y3＝x2﹣11x+20得y＝，
∴，
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，
∴G的横坐标为，
代入y1＝x4﹣11x+20得y＝﹣，
∴
∴G（）或G（），