2023-2024学年初中数学八年级上册 1.4 分式的加法和减法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·广东）计算的结果为 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·南开模拟）化简的结果为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2023七下·柯桥期末）对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3
C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
4．（2023七下·嘉兴期末）若关于x，y的方程组的解为，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．1
5．（2023·邵阳）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·武汉）已知，计算的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2023·衡水模拟）以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④．
则正确化简步骤的顺序是（ ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→②
C．③→④→①→② D．①→④→③→②
二、填空题
8．（2023七下·温州期末）计算： .
9．（2023·衡阳）已知，则代数式的值为 ．
10．（2023·上海）化简：的结果为 ．
11．（2023七下·瑶海期末）已知，则的值等于 ．
12．（2023八下·宿城期末）如果，则 ．
三、解答题
13．（2023七下·东阳期末）先化简，再求值：，再从，，，，选择一个你喜欢的数代入求值．
14．（2023八下·南海期末）先化简，再求值：，其中．
四、计算题
15．（2023七下·鄞州期末）先化简，再求值：，其中．
五、综合题
16．（2023七下·柯桥期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式N是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”．
（1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：
设的“互联分式”为，则，
，．
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”．
17．（2023八下·西安期末）阅读理解：已知，，试比较与的大小．
想法：求当，则；当，则；当，则．
解：，．
用你学到的方法解决下列问题：
（1）已知且，，试比较与的大小．
（2）甲、乙两地相距，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是、，；小宇去时和返回时的速度都是请问二者一个来回中，谁用时更短？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，即可求出结果.
2．【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
=
=
=2
【分析】先提通分，再合并。
3．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
∴M+N=2，2N-M=7，
解得M=-1，N=3.
故答案为：B.
【分析】对进行通分可得，结合已知条件可得M+N=2，2N-M=7，联立求解就可得到M、N的值.
4．【答案】C
【知识点】分式的化简求值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解为 ，
∴
由①+②得，3m-n=6a，
由①-②得，m+3n=4a，
∴.
故答案为：C
【分析】将x，y代入方程组，可得到关于m，n的方程组，由①+②得，3m-n=6a，由①-②得，m+3n=4a，然后整体代入求值即可.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；分式的混合运算；零指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的化简、零指数幂进行运算，进而即可求解。
6．【答案】A
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式= ，
∵x2-x-1=0，
∴x+1=x2，
∴原式=.
故答案为：A
【分析】先利用分式的减法法则将括号里的运算通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将方程转化为x+1=x2，整体代入求值即可.
7．【答案】C
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】
解：
③
④
①
②
故答案为：C
【分析】
根据分式的运算方法可得出正确的顺序
8．【答案】－1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：-1.
【分析】根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减，进行计算，然后约分化简即可.
9．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解： 代数式，
∴当x=5时，原式，
故答案为：.
【分析】根据题意先化简分式，再将x=5代入计算求解即可。
10．【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：2.
【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。
11．【答案】1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴b-a=-3ab，
∴，
故答案为：1.
【分析】根据题意先求出，再求出b-a=-3ab，最后代入计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴a=2b，
把a=2b代入要求的分式得：
===
故答案为：.
【分析】由可得a=2b，将a=2b代入要求分式分子分母分别计算后约分即可．
13．【答案】解：原式
，
当，，时，原式没有意义；
当时，原式；
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】被除式的分式中分母先因式分解，然后原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，进而把适合题意的a的值代入化简结果计算即可求值.
14．【答案】解：方法一：解：原式
或，
当时，原式
．
方法二：解：原式
或，
当时，原式
．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先利用分式的四则远算法则化简，化简后将代入即可.
15．【答案】解：
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先将分式进行因式分解，因式分解完成以后，可以将同一项相互抵消，再按照分式的混合运算顺序化简，最后将x=7代入方程节即可.
16．【答案】（1）解：分式与分式是“互联分式”，理由如下：
∵，，
∴分式是分式的“互联分式”，
（2）解：设的“互联分式”为，则，
∴，
∴．
（3）解：由（1）（2）可得，的“互联分式”是，
∵是的“互联分式”
∴，
整理得
解得．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用分式的减法法则化简，根据分式的乘法法则计算，然后结合“互联分式”的概念进行判断；
（2）设的“互联分式”为N，则-N=×N，代入求解即可；
（3）由（1）（2）可得：的“互联分式”是，结合题意可得4b+2=4a-2且bx+b=bx+a+4b+2，联立求解可得a、b的值.
17．【答案】（1）解：，
且，
，，，
，
．
；
（2）解：甲的用时为，乙的用时为，
，
，
答；乙用时更短．
【知识点】分式的加减法；有理数的除法
【解析】【分析】（1）由已知条件可得m-n=，然后结合x的范围确定出m-n的符号，据此进行比较；
（2）由题意可得甲的用时为t1，=，乙的用时为t2=2s÷=，然后利用作差法比较出t1、t2的大小，据此解答.
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一、选择题
1．（2023·广东）计算的结果为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，即可求出结果.
2．（2023·南开模拟）化简的结果为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
=
=
=2
【分析】先提通分，再合并。
3．（2023七下·柯桥期末）对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3
C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
∴M+N=2，2N-M=7，
解得M=-1，N=3.
故答案为：B.
【分析】对进行通分可得，结合已知条件可得M+N=2，2N-M=7，联立求解就可得到M、N的值.
4．（2023七下·嘉兴期末）若关于x，y的方程组的解为，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】分式的化简求值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解为 ，
∴
由①+②得，3m-n=6a，
由①-②得，m+3n=4a，
∴.
故答案为：C
【分析】将x，y代入方程组，可得到关于m，n的方程组，由①+②得，3m-n=6a，由①-②得，m+3n=4a，然后整体代入求值即可.
5．（2023·邵阳）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；分式的混合运算；零指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的化简、零指数幂进行运算，进而即可求解。
6．（2023·武汉）已知，计算的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式= ，
∵x2-x-1=0，
∴x+1=x2，
∴原式=.
故答案为：A
【分析】先利用分式的减法法则将括号里的运算通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将方程转化为x+1=x2，整体代入求值即可.
7．（2023·衡水模拟）以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④．
则正确化简步骤的顺序是（ ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→②
C．③→④→①→② D．①→④→③→②
【答案】C
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】
解：
③
④
①
②
故答案为：C
【分析】
根据分式的运算方法可得出正确的顺序
二、填空题
8．（2023七下·温州期末）计算： .
【答案】－1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：-1.
【分析】根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减，进行计算，然后约分化简即可.
9．（2023·衡阳）已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解： 代数式，
∴当x=5时，原式，
故答案为：.
【分析】根据题意先化简分式，再将x=5代入计算求解即可。
10．（2023·上海）化简：的结果为 ．
【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：2.
【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。
11．（2023七下·瑶海期末）已知，则的值等于 ．
【答案】1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴b-a=-3ab，
∴，
故答案为：1.
【分析】根据题意先求出，再求出b-a=-3ab，最后代入计算求解即可。
12．（2023八下·宿城期末）如果，则 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴a=2b，
把a=2b代入要求的分式得：
===
故答案为：.
【分析】由可得a=2b，将a=2b代入要求分式分子分母分别计算后约分即可．
三、解答题
13．（2023七下·东阳期末）先化简，再求值：，再从，，，，选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：原式
，
当，，时，原式没有意义；
当时，原式；
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】被除式的分式中分母先因式分解，然后原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，进而把适合题意的a的值代入化简结果计算即可求值.
14．（2023八下·南海期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：方法一：解：原式
或，
当时，原式
．
方法二：解：原式
或，
当时，原式
．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先利用分式的四则远算法则化简，化简后将代入即可.
四、计算题
15．（2023七下·鄞州期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先将分式进行因式分解，因式分解完成以后，可以将同一项相互抵消，再按照分式的混合运算顺序化简，最后将x=7代入方程节即可.
五、综合题
16．（2023七下·柯桥期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式N是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”．
（1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：
设的“互联分式”为，则，
，．
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”．
【答案】（1）解：分式与分式是“互联分式”，理由如下：
∵，，
∴分式是分式的“互联分式”，
（2）解：设的“互联分式”为，则，
∴，
∴．
（3）解：由（1）（2）可得，的“互联分式”是，
∵是的“互联分式”
∴，
整理得
解得．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用分式的减法法则化简，根据分式的乘法法则计算，然后结合“互联分式”的概念进行判断；
（2）设的“互联分式”为N，则-N=×N，代入求解即可；
（3）由（1）（2）可得：的“互联分式”是，结合题意可得4b+2=4a-2且bx+b=bx+a+4b+2，联立求解可得a、b的值.
17．（2023八下·西安期末）阅读理解：已知，，试比较与的大小．
想法：求当，则；当，则；当，则．
解：，．
用你学到的方法解决下列问题：
（1）已知且，，试比较与的大小．
（2）甲、乙两地相距，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是、，；小宇去时和返回时的速度都是请问二者一个来回中，谁用时更短？
【答案】（1）解：，
且，
，，，
，
．
；
（2）解：甲的用时为，乙的用时为，
，
，
答；乙用时更短．
【知识点】分式的加减法；有理数的除法
【解析】【分析】（1）由已知条件可得m-n=，然后结合x的范围确定出m-n的符号，据此进行比较；
（2）由题意可得甲的用时为t1，=，乙的用时为t2=2s÷=，然后利用作差法比较出t1、t2的大小，据此解答.
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