2023-2024学年初中数学八年级上册 1.4 分式的加法和减法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·顺庆期末）已知，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C． D．－
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴==
故答案为：D.
【分析】由可得，然后整体代入即可.
2．（2023八上·华蓥期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式的乘除法；分式的加减法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据一个不为0的数的负整数指数幂，等于这个数的正整数指数幂的倒数可判断A；根据分式的基本性质，将一个分式的分子、分母及分式本身的符号，同时改变其中的任意两处的符号，分式值不变，可判断B；根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减进行计算可判断C；根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，进而根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加进行计算即可判断D.
3．（2022八上·张店期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（ ）
A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一样 D．无法确定
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：设第一次购粮时的单价是x元/千克，第二次购粮时的单价是y元/千克，
甲两次购粮共花费：，一共购买了粮食：千克，甲购粮的平均单价是：；
乙两次购粮共花费：100+100=200元，一共购买粮食：（千克），乙购粮的平均单价是：；
甲乙购粮的平均单价的差是：，
即，
所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，
故答案为：B．
【分析】分别算出两次购粮的平均单价，用做差法比较即可。
4．（2022八上·通州期中）若，其中，则下列分式的值一定比的值大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A． ，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再逐项判断即可。
5．（2022八上·曹县期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】利用分式的减法计算方法求解即可。
6．（2022八上·高昌期中）下列运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不一定相等，不符合题意；
B、，符合题意；
C、与不一定相等，不符合题意；
D、与不一定相等，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】直接通分计算即可判断A；根据分式乘法法则，将第一个分式的分子分解因式，然后约分化简即可判断B；根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，再根据分式乘法法则，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，进行计算即可判断C；将分子分解因式，然后约分化简即可判断D.
7．（2021八上·永兴月考）已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
【分析】分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（1）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式加减法运算；
（2）分式的乘法：用分母的积做分母，分子的积做分子；
（3）分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，再按照分式的乘法法则进行运算；
本题先化简前几个式子，即可发现规律：这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，从而利用2021÷3，看余数即可得出答案.
8．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
二、填空题
9．（2023八上·安顺期末）对于代数式，，定义运算“”：，例如：若，则 ．
【答案】-5
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：（x-1）※（x+2）＝=，
又∵（x-1）※（x+2）＝+，
∴＝+===，
∴2x-5=（A+B）x+2A-B，
∴2A-B=-5.
故答案为：-5．
【分析】（x-1）※（x+2）＝=，从而得（x-1）※（x+2）＝+，将等式右边同分后得2x-5=（A+B）x+2A-B，进而可得到2A-B=-5.
10．（2022八上·广州期末）计算：（x+2+）·＝ ．
【答案】2x+6
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
=2（x+3）
=2x+6
故答案为：2x+6
【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再进行分式的乘法计算即可.
11．（2022八上·河北期末）化简，结果等于 ．
【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：2
【分析】利用分式的加减法则计算求解即可。
12．（2022八上·宝安期末）某药品原来每盒p元，现在每盒提高3元，用200元买这种药品现在比原来少买 盒．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】由题意可得：
故答案为：.
【分析】根据题意列出算式，再利用分式的减法计算方法求解即可。
13．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
三、解答题
14．（2023八上·南充期末）先化简，再求值：
，其中满足，取一个整数即可.
【答案】解：原式 .
由 ，符合条件的整数 的值只能取2或-2.
当 时，原式 .
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并将除法转变为乘法，然后约分化简，进而根据同分母分式的加法法则算出结果；最后代入使原分式有意义的m的值到化简结果中即可算出答案.
15．（2023八上·如东期末）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
，
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
四、计算题
16．（2020八上·铜仁月考）已知 ，且 ，求： 的值.
【答案】解：
=
=
∵
∴
∴原式= = 1 1 1=-3.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案.
五、综合题
17．（2022八上·中山期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．
（1）已知分式，试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ．
②若是的“关联分式”，则的值为 ．
【答案】（1）解：∵，
，
∴是的关联分式．
（2）解：设的关联分式是N，则：，
∴，
∴，
∴．
（3）；
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）①根据解析（2）可知，的关联分式为：
；
故答案为：；
②∵是的“关联分式”，
∴，
由①得，
由②得：，
即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据“关联分式”的定义求解即可；
（2）参照 “关联分式” 的计算方法求解即可；
（3）①根据“关联分式”的定义求解即可；
②根据“关联分式”的定义可得，再求出即可。
18．（2022八上·张店期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
（2）【拓展延伸】
已知，，，求的值．
【答案】（1）解：由知，
所以，
即，
所以
所以
故：的值为．
（2）解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
故，的值为．
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得出，将所求分式取倒数，利用配方法和整体法代入的方法求出式子的值，最后取倒数即可得解；
（2）将已知三个等式的左右两边相加得出，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论。
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一、选择题
1．（2023八上·顺庆期末）已知，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C． D．－
2．（2023八上·华蓥期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022八上·张店期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（ ）
A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一样 D．无法确定
4．（2022八上·通州期中）若，其中，则下列分式的值一定比的值大的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·曹县期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八上·高昌期中）下列运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·永兴月考）已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
8．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
二、填空题
9．（2023八上·安顺期末）对于代数式，，定义运算“”：，例如：若，则 ．
10．（2022八上·广州期末）计算：（x+2+）·＝ ．
11．（2022八上·河北期末）化简，结果等于 ．
12．（2022八上·宝安期末）某药品原来每盒p元，现在每盒提高3元，用200元买这种药品现在比原来少买 盒．
13．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
三、解答题
14．（2023八上·南充期末）先化简，再求值：
，其中满足，取一个整数即可.
15．（2023八上·如东期末）先化简，再求值：，其中.
四、计算题
16．（2020八上·铜仁月考）已知 ，且 ，求： 的值.
五、综合题
17．（2022八上·中山期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．
（1）已知分式，试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ．
②若是的“关联分式”，则的值为 ．
18．（2022八上·张店期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
（2）【拓展延伸】
已知，，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴==
故答案为：D.
【分析】由可得，然后整体代入即可.
2．【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式的乘除法；分式的加减法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据一个不为0的数的负整数指数幂，等于这个数的正整数指数幂的倒数可判断A；根据分式的基本性质，将一个分式的分子、分母及分式本身的符号，同时改变其中的任意两处的符号，分式值不变，可判断B；根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减进行计算可判断C；根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，进而根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加进行计算即可判断D.
3．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：设第一次购粮时的单价是x元/千克，第二次购粮时的单价是y元/千克，
甲两次购粮共花费：，一共购买了粮食：千克，甲购粮的平均单价是：；
乙两次购粮共花费：100+100=200元，一共购买粮食：（千克），乙购粮的平均单价是：；
甲乙购粮的平均单价的差是：，
即，
所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，
故答案为：B．
【分析】分别算出两次购粮的平均单价，用做差法比较即可。
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A． ，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】利用分式的减法计算方法求解即可。
6．【答案】B
【知识点】分式的约分；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不一定相等，不符合题意；
B、，符合题意；
C、与不一定相等，不符合题意；
D、与不一定相等，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】直接通分计算即可判断A；根据分式乘法法则，将第一个分式的分子分解因式，然后约分化简即可判断B；根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，再根据分式乘法法则，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，进行计算即可判断C；将分子分解因式，然后约分化简即可判断D.
7．【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
【分析】分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（1）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式加减法运算；
（2）分式的乘法：用分母的积做分母，分子的积做分子；
（3）分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，再按照分式的乘法法则进行运算；
本题先化简前几个式子，即可发现规律：这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，从而利用2021÷3，看余数即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
9．【答案】-5
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：（x-1）※（x+2）＝=，
又∵（x-1）※（x+2）＝+，
∴＝+===，
∴2x-5=（A+B）x+2A-B，
∴2A-B=-5.
故答案为：-5．
【分析】（x-1）※（x+2）＝=，从而得（x-1）※（x+2）＝+，将等式右边同分后得2x-5=（A+B）x+2A-B，进而可得到2A-B=-5.
10．【答案】2x+6
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
=2（x+3）
=2x+6
故答案为：2x+6
【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再进行分式的乘法计算即可.
11．【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：2
【分析】利用分式的加减法则计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】由题意可得：
故答案为：.
【分析】根据题意列出算式，再利用分式的减法计算方法求解即可。
13．【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
14．【答案】解：原式 .
由 ，符合条件的整数 的值只能取2或-2.
当 时，原式 .
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并将除法转变为乘法，然后约分化简，进而根据同分母分式的加法法则算出结果；最后代入使原分式有意义的m的值到化简结果中即可算出答案.
15．【答案】解：原式
，
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
16．【答案】解：
=
=
∵
∴
∴原式= = 1 1 1=-3.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∵，
，
∴是的关联分式．
（2）解：设的关联分式是N，则：，
∴，
∴，
∴．
（3）；
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）①根据解析（2）可知，的关联分式为：
；
故答案为：；
②∵是的“关联分式”，
∴，
由①得，
由②得：，
即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据“关联分式”的定义求解即可；
（2）参照 “关联分式” 的计算方法求解即可；
（3）①根据“关联分式”的定义求解即可；
②根据“关联分式”的定义可得，再求出即可。
18．【答案】（1）解：由知，
所以，
即，
所以
所以
故：的值为．
（2）解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
故，的值为．
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得出，将所求分式取倒数，利用配方法和整体法代入的方法求出式子的值，最后取倒数即可得解；
（2）将已知三个等式的左右两边相加得出，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论。
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