2023-2024学年初中数学八年级上册 2.1 三角形 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·宁波期末）三角形的两边分别为3，5，那么它的第三边可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，根据题意得
5-3＜x＜5+3即2＜x＜8
故答案为：C
【分析】利用三角形的三边关系定理，设第三边长为x，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集，可得到符合题意的选项.
2．（2023八上·嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°-40°=50°.
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出另一个锐角的度数.
3．（2023八上·宁波期末）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴.
∵是的高，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴的度数为
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE=∠ABC=40°，由三角形高线的概念可得∠ADB=90°，利用内角和定理求出∠ABD的度数，然后根据∠DBE=∠ABE-∠ABD进行计算.
4．（2022八上·柯桥月考）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，令9°n＜90°，求出n的范围，结合n为整数可得n的最大值.
5．（2023八上·澄城期末）长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm的四根木棒，能搭成（首尾连接）三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：能搭成三角形的有：3，5，8；5，7，9；3，7，9，一共3个.
故答案为：C
【分析】利用较小的两边之和大于第三边，可得到能构成的三角形的个数.
6．（2023八上·南充期末）如图，D为边BC延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=，
同理可得
……
以此类推，，
又∵，
∴，∴.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义及三角形外角性质得据此可得规律，从而即可求解.
7．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
8．（2021八上·林口期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
，
，
△ABC的面积等于4cm2，
∴S△BEF=1cm2，
即阴影部分的面积为1cm2，
故答案为：A．
【分析】由D，E分别为边BC， AD中点，可得，从而得出，由F是EC的中点可得，从而得出，继而得解.
二、填空题
9．（2023八上·金东期末）如图，直线，且于点C，若，则的度数为 .
【答案】55°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
.
在中，，
，
，
.
，
.
故答案为：55°.
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD，根据内角和定理可得∠ABC=55°，据此计算.
10．（2022八上·顺义期末）如图，，，点B在射线上，若为钝角三角形，则线段长的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：依题意，，，
当时，且，
，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴当时，，
综 上 所 述 ， 或，
故答案为或.
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再分别画出图象并求解即可。
11．（2021八上·蓬江期末）如图，在锐角三角形中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作于点E，交于点P，过点P作于Q，
∵平分，
∴，
∴，即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】过点B作于点E，交于点P，过点P作于Q，根据，，可得，最后求出，即可得到的最小值为8。
12．（2022八上·大安期末）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是 三角形．
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠A=x°，则∠B=2 x°，∠C=3 x°，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴x°+2 x°+3 x°=180°
∴x°=30°
∴∠C=3 x°=90°
∴△ABC是直角三角形
故答案为直角
【分析】设∠A=x°，则∠B=2 x°，∠C=3 x°，利用三角形的内角和可得x°+2 x°+3 x°=180°，再求出x°=30°，可得∠C=3 x°=90°，即可得到△ABC是直角三角形。
三、解答题
13．（2022八上·义乌月考）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【答案】解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，
∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】 【习题回顾】 根据同角的余角相等得 ∠B＝∠ACD， 根据角平分线的定义得∠CAF＝∠DAF， 根据三角形外角性质得 ∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， 据此即可得出答案；
【变式思考】 根据角平分线的定义得 ∠GAF＝∠DAF， 根据三角形高线定义得∠ADF＝∠ACE＝90°，根据对顶角相等得∠CAE＝∠GAF，根据三角形的内角和定理得∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】根据平角的定义及角平分线的定义得∠EAN＝90°，结合对顶角相等得∠GAN＝∠CAM，
根据直角三角形两锐角互余得∠M+∠CEF＝90°，根据三角形外角性质得∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，结合∠ACD＝∠B，可得∠CEF＝∠CFE，再等量代换即可得出 ∠M+∠CFE＝90° .
14．（2022八上·信阳开学考）学行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：
已知：如图，．
【初步感知】如图1，若，求的度数；
【拓展延伸】如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：；
【类比探究】如图3，若，，若，，直接写出的度数．
【答案】解：【初步感知】解： ，
，
，
，
；
【拓展延伸】证明：过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ， ，
；
【类比探究】102°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】【类比探究】上结论知，如图：
，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
【分析】【初步感知】根据平行线的性质可得∠B+∠C=180°，结合∠C=3∠B就可求出∠B的度数；
【拓展延伸】过点E作EM∥AB，过点F作 FN∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得AB∥CD∥EM∥FN，则∠B+∠BEF+∠FEM=180°，∠EFN+∠EFC+∠C=180°，∠EFN=∠FEM，据此解答；
【类比探究】上结论知∠ABE+∠E=∠CFE+∠C，则∠ABE-∠CFE=∠C-∠E=42°，结合已知条件可得∠EBP-∠EFP=14°，根据内角和定理可得∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°，结合对顶角的性质可得∠EBO+88°=∠P+∠EFP，据此求解.
四、综合题
15．（2023八上·凤翔期末）综合与探究：
（1）【情境引入】如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由.
（2）【深入探究】
①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 ▲ ；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
故答案为：；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得 ，， 根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠D=180°-（∠1+∠2），从而代入并逆用乘法分配律变形化简得出答案；
（2）①，理由如下：根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和及角平分线的定义可得 ，， 进而根据三角形内角和定理得∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），然后整体代入变形即可得出结论；
②与之间的等量关系是：，理由如下： 根据三角形外角性质及角平分线的定义得∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC=2∠DCE，从而可得∠A=2∠D，据此即可得出结论.
16．（2023八上·郑州期末）
（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程.
【答案】（1）解：∠1=2∠A+∠2，理由如下，
由折叠的性质可知∠AED=∠A1ED，∠ADE=∠A1DE，
∴∠ADE=∠A1DE=，∠2=2∠AED-180°，
∴∠AED=，
∵∠A+∠AED=∠EDB=∠1+∠A1DE，
∴∠A+∠2+90°=∠1+90°-∠1，
∴∠1=2∠A+∠2；
（2）解：∵，，，
∴，
∵的平分线，与的外角平分线交于点N，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下；
由折叠的性质可知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）设AC与A1D交于点F，根据外角的性质可得∠1=∠AFD+∠A，∠AFD=∠A1+∠2，则∠1=∠A1+∠2+∠A，由折叠的性质可得∠A=∠A1，据此解答；
（2）根据（1）的结论结合已知条件可得∠A=30°，根据角平分线的概念可得∠NBC=∠ABC，∠NCH=∠ACH，由外角的性质可得∠A+∠ABC=∠ACH，∠N+∠NBC=∠NCH，则∠A+2∠NBC=2∠N+2∠NBC，推出∠N=∠A，据此计算；
（3）由折叠的性质以及平角的概念可得∠AED=∠A1ED=90°-∠2，∠ADE=∠A1DE=90°-∠1，根据外角的性质以及角的和差关系可得∠A+∠ADE=∠CED=∠A1ED+∠2，则∠A=∠1+∠2，由角平分线的概念可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CB=∠ACB，由内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，则∠BA1C=180°-∠A1BC-∠A1CB=90°+∠1+∠2，化简即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 2.1 三角形 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·宁波期末）三角形的两边分别为3，5，那么它的第三边可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
2．（2023八上·嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．（2023八上·宁波期末）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·柯桥月考）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．（2023八上·澄城期末）长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm的四根木棒，能搭成（首尾连接）三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023八上·南充期末）如图，D为边BC延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021八上·林口期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
二、填空题
9．（2023八上·金东期末）如图，直线，且于点C，若，则的度数为 .
10．（2022八上·顺义期末）如图，，，点B在射线上，若为钝角三角形，则线段长的取值范围是 .
11．（2021八上·蓬江期末）如图，在锐角三角形中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
12．（2022八上·大安期末）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是 三角形．
三、解答题
13．（2022八上·义乌月考）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
14．（2022八上·信阳开学考）学行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：
已知：如图，．
【初步感知】如图1，若，求的度数；
【拓展延伸】如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：；
【类比探究】如图3，若，，若，，直接写出的度数．
四、综合题
15．（2023八上·凤翔期末）综合与探究：
（1）【情境引入】如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由.
（2）【深入探究】
①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是 ▲ ；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由.
16．（2023八上·郑州期末）
（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，根据题意得
5-3＜x＜5+3即2＜x＜8
故答案为：C
【分析】利用三角形的三边关系定理，设第三边长为x，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集，可得到符合题意的选项.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°-40°=50°.
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出另一个锐角的度数.
3．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴.
∵是的高，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴的度数为
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE=∠ABC=40°，由三角形高线的概念可得∠ADB=90°，利用内角和定理求出∠ABD的度数，然后根据∠DBE=∠ABE-∠ABD进行计算.
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，令9°n＜90°，求出n的范围，结合n为整数可得n的最大值.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：能搭成三角形的有：3，5，8；5，7，9；3，7，9，一共3个.
故答案为：C
【分析】利用较小的两边之和大于第三边，可得到能构成的三角形的个数.
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=，
同理可得
……
以此类推，，
又∵，
∴，∴.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义及三角形外角性质得据此可得规律，从而即可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
8．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
，
，
△ABC的面积等于4cm2，
∴S△BEF=1cm2，
即阴影部分的面积为1cm2，
故答案为：A．
【分析】由D，E分别为边BC， AD中点，可得，从而得出，由F是EC的中点可得，从而得出，继而得解.
9．【答案】55°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
.
在中，，
，
，
.
，
.
故答案为：55°.
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD，根据内角和定理可得∠ABC=55°，据此计算.
10．【答案】或
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：依题意，，，
当时，且，
，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴当时，，
综 上 所 述 ， 或，
故答案为或.
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再分别画出图象并求解即可。
11．【答案】8
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作于点E，交于点P，过点P作于Q，
∵平分，
∴，
∴，即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】过点B作于点E，交于点P，过点P作于Q，根据，，可得，最后求出，即可得到的最小值为8。
12．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠A=x°，则∠B=2 x°，∠C=3 x°，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴x°+2 x°+3 x°=180°
∴x°=30°
∴∠C=3 x°=90°
∴△ABC是直角三角形
故答案为直角
【分析】设∠A=x°，则∠B=2 x°，∠C=3 x°，利用三角形的内角和可得x°+2 x°+3 x°=180°，再求出x°=30°，可得∠C=3 x°=90°，即可得到△ABC是直角三角形。
13．【答案】解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，
∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】 【习题回顾】 根据同角的余角相等得 ∠B＝∠ACD， 根据角平分线的定义得∠CAF＝∠DAF， 根据三角形外角性质得 ∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， 据此即可得出答案；
【变式思考】 根据角平分线的定义得 ∠GAF＝∠DAF， 根据三角形高线定义得∠ADF＝∠ACE＝90°，根据对顶角相等得∠CAE＝∠GAF，根据三角形的内角和定理得∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】根据平角的定义及角平分线的定义得∠EAN＝90°，结合对顶角相等得∠GAN＝∠CAM，
根据直角三角形两锐角互余得∠M+∠CEF＝90°，根据三角形外角性质得∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，结合∠ACD＝∠B，可得∠CEF＝∠CFE，再等量代换即可得出 ∠M+∠CFE＝90° .
14．【答案】解：【初步感知】解： ，
，
，
，
；
【拓展延伸】证明：过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ， ，
；
【类比探究】102°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】【类比探究】上结论知，如图：
，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
【分析】【初步感知】根据平行线的性质可得∠B+∠C=180°，结合∠C=3∠B就可求出∠B的度数；
【拓展延伸】过点E作EM∥AB，过点F作 FN∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得AB∥CD∥EM∥FN，则∠B+∠BEF+∠FEM=180°，∠EFN+∠EFC+∠C=180°，∠EFN=∠FEM，据此解答；
【类比探究】上结论知∠ABE+∠E=∠CFE+∠C，则∠ABE-∠CFE=∠C-∠E=42°，结合已知条件可得∠EBP-∠EFP=14°，根据内角和定理可得∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°，结合对顶角的性质可得∠EBO+88°=∠P+∠EFP，据此求解.
15．【答案】（1）解：∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
故答案为：；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得 ，， 根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠D=180°-（∠1+∠2），从而代入并逆用乘法分配律变形化简得出答案；
（2）①，理由如下：根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和及角平分线的定义可得 ，， 进而根据三角形内角和定理得∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），然后整体代入变形即可得出结论；
②与之间的等量关系是：，理由如下： 根据三角形外角性质及角平分线的定义得∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC=2∠DCE，从而可得∠A=2∠D，据此即可得出结论.
16．【答案】（1）解：∠1=2∠A+∠2，理由如下，
由折叠的性质可知∠AED=∠A1ED，∠ADE=∠A1DE，
∴∠ADE=∠A1DE=，∠2=2∠AED-180°，
∴∠AED=，
∵∠A+∠AED=∠EDB=∠1+∠A1DE，
∴∠A+∠2+90°=∠1+90°-∠1，
∴∠1=2∠A+∠2；
（2）解：∵，，，
∴，
∵的平分线，与的外角平分线交于点N，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下；
由折叠的性质可知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）设AC与A1D交于点F，根据外角的性质可得∠1=∠AFD+∠A，∠AFD=∠A1+∠2，则∠1=∠A1+∠2+∠A，由折叠的性质可得∠A=∠A1，据此解答；
（2）根据（1）的结论结合已知条件可得∠A=30°，根据角平分线的概念可得∠NBC=∠ABC，∠NCH=∠ACH，由外角的性质可得∠A+∠ABC=∠ACH，∠N+∠NBC=∠NCH，则∠A+2∠NBC=2∠N+2∠NBC，推出∠N=∠A，据此计算；
（3）由折叠的性质以及平角的概念可得∠AED=∠A1ED=90°-∠2，∠ADE=∠A1DE=90°-∠1，根据外角的性质以及角的和差关系可得∠A+∠ADE=∠CED=∠A1ED+∠2，则∠A=∠1+∠2，由角平分线的概念可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CB=∠ACB，由内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，则∠BA1C=180°-∠A1BC-∠A1CB=90°+∠1+∠2，化简即可.
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