2023-2024学年初中数学八年级上册 2.2 命题与证明 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·增城期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．同旁内角互补
C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等
2．（2023八下·温州期末）用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A．a与c不平行 B．
C． D．a与b不平行，b与c不平行
3．（2023七下·凤凰期末）下列是真命题的是（ ）
A．有理数与数轴上的点一一对应
B．内错角相等
C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．负数没有立方根
4．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
5．下列说法中①不相交的两条直线叫做平行线；②对顶角的角平分线在同一直线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④几个有理数相乘，积的符号有负因数的个数确定．正确的个数有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．可以用来证明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是：取这个数为（ ）
A．8 B．4 C．9 D．16
7．（2023八下·海曙期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．两个锐角都小于45° D．有一个锐角大于45°
8．（2023七下·中江期末）下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·丰满期末）命题“如果x2=9，那么x=3”是 命题(填“真”或“假”).
10．（2023七下·张店期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 ．
11．（2023七下·宝应期末）请写出命题“如果，那么”的逆命题是 ．
12．（2023八下·玄武期末）举一个反例说明“”是不成立的，则的值可以是 .
13．（2023七下·三台期中）如图，现有以下3个论断：①；②；③．如果以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 个真命题．
三、解答题
14．（2022九上·寒亭期中）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：，，是的三个内角．
求证：，，中不能有两个角是直角．
15．（2022七下·镇江期中）阅读材料：怎样证实“两直线平行，同位角相等”
本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等” .事实上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实.
如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，∠1与∠2是同位角.
假设∠1∠2，那么可以通过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH=∠2，直线GH与直线AB是两条直线.
根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD.
这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
这说明∠1∠2的假设不正确，于是∠1=∠2.
解决问题：若且，请你用以上方法说明：.
四、综合题
16．（2023七下·连江期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，点在的延长线上，请从①；②；③中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．
小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：
（Ⅰ）
Ⅱ （Ⅱ）
（等量代换）
（1）请帮助小明补全证明过程及推理依据；
（2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．
17．（2022八上·霍邱月考）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角中，， ▲ ；
求证： ▲ ．
（2）证明：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 垂线段最短，是真命题，故不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补 ，原说法是假命题，故符合题意；
C、对顶角相等 ，是真命题，故不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等 ，是真命题，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据线段的性质、平行线的性质、对顶角的性质逐项判断即可.
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“若，则”时，应假设 a与c不平行.
故答案为：A
【分析】反证法的第一步是假设结论的反面，据此可求解.
3．【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】A、实数与数轴上的点一一对应，而不是有理数，故A不符合题意.
B、当条两直线平行时，才会得到内错角相等，故B不符合题意.
C、正确，故C符合题意.
D、负数没有平方根，但有立方根，如，故D不符合题意.
故选C.
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，如果题设成立，结论也一定成立的命题，就是真命题.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；有理数的乘法；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】分别根据平行线的定义、对顶角的定义及有理数的乘法对各小题进行逐一分析即可．
【解答】①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故本小题错误；
②因为有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以对顶角的角平分线在同一直线上，故本小题正确；
③在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；
④几个不为0的有理数相乘，积的符号有负因数的个数确定，故本小题错误．
故选A．
【点评】本题考查的是平行线的定义、对顶角的定义及有理数的乘法，在解答平行线的问题时一定要注意“在同一平面内”这一特殊条件；在解答有理数的乘法时一定要注意：任何数同0相乘都得0．
6．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【分析】所选的答案必须满足条件：是偶数，并且不是8的倍数，据此即可判断．
【解答】证明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例，必须满足条件是偶数，并且不是8的倍数，故满足条件的只有B．
故选B．
【点评】考查了反证法，理解反例的含义是解决本题的关键．
7．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中：两个锐角都大于45°.
故答案为：A.
【分析】用反证法证明时，应先假设结论不成立，据此判断.
8．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：能说明命题"两个锐角的和是锐角"是一个假命题的反例，需求出两锐角的和大于或等于90°，
∵ 都是锐角，
∴∠A+∠B=90°，
∴此项可作为反例；
故答案为：C.
【分析】能说明命题"两个锐角的和是锐角"是一个假命题的反例，需求出两锐角的和大于或等于90°，据此解答即可.
9．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵x2=9，
∴x=±3，
∴命题“如果x2=9，那么x=3”是假命题，
故答案为：假.
【分析】根据题意先求出x=±3，再判断求解即可。
10．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解："对顶角相等"改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
故第1空答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
【分析】按照"如果"后边是已知，"那么"后边是结论，改写成 如果……，那么…… 的形式即可。
11．【答案】如果，那么
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果a>b，那么b-a<0”的逆命题是：如果b-a<0，那么a>b.
故答案为：如果b-a<0，那么a>b.
【分析】原命题的条件为：a>b，结论为b-a<0，将条件与结论互换即可得到逆命题.
12．【答案】
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵=x，
∴x≥0
∴可以举一个反例，使x=-1.
故答案为：-1.
【分析】由二次根式的性质可得=|x|，结合题意可得x≥0，据此解答.
13．【答案】3
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由题意得可以构造三个命题：
（1）①②为条件，③为命题；（2）①③为条件，②为命题；（3）②③为条件，①为命题；
（1）∵，
∴∠B=∠CDF，
∵，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴，故（1）中命题为真命题；
（2）∵，
∴∠B=∠CDF，
∵CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴，故（2）中命题为真命题；
（3）∵，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵，
∴∠B=∠CDF，
∴，故（3）中命题为真命题；
综上所述：共有3个真命题，
故答案为：3
【分析】先根据题意判断出三个命题，分别运用平行线的判定与性质求解即可命题的正误。
14．【答案】证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，
则，这与三角形内角和为相矛盾，
不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
【知识点】反证法
【解析】【分析】 反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理、论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确.
15．【答案】解：假设，
∵，
∴，
即x=0或y=0，
这与且相矛盾，
∴假设不成立，
于是：.
【知识点】完全平方公式及运用；反证法
【解析】【分析】假设x2+y2=(x+y)2，根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+2xy+y2，则2xy=0，据此可得x=0或y=0，这与x≠0且y≠0相矛盾，故假设不成立，据此解答.
16．【答案】（1）解：两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等
（2）解：选取①③作为题设，②作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：∵
∴
∵
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题；证明过程
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补求证，再根据两直线平行，同位角相等求证，最后利用等量代换即可证明么；
（2）根据两直线平行同旁内角互补求证，利用及等量代换即可证明.
17．【答案】（1）解：已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD=∠A．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°∠A，
∴∠BCD=∠ACB∠ACD=（90°∠A）（90°∠A）=∠A．
【知识点】角的运算；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）根据命题的定义求解即可；
（2）先求出∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，再利用角的运算和等量代换可得∠BCD=∠A。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 2.2 命题与证明 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·增城期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．同旁内角互补
C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 垂线段最短，是真命题，故不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补 ，原说法是假命题，故符合题意；
C、对顶角相等 ，是真命题，故不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等 ，是真命题，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据线段的性质、平行线的性质、对顶角的性质逐项判断即可.
2．（2023八下·温州期末）用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A．a与c不平行 B．
C． D．a与b不平行，b与c不平行
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“若，则”时，应假设 a与c不平行.
故答案为：A
【分析】反证法的第一步是假设结论的反面，据此可求解.
3．（2023七下·凤凰期末）下列是真命题的是（ ）
A．有理数与数轴上的点一一对应
B．内错角相等
C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．负数没有立方根
【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】A、实数与数轴上的点一一对应，而不是有理数，故A不符合题意.
B、当条两直线平行时，才会得到内错角相等，故B不符合题意.
C、正确，故C符合题意.
D、负数没有平方根，但有立方根，如，故D不符合题意.
故选C.
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，如果题设成立，结论也一定成立的命题，就是真命题.
4．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
5．下列说法中①不相交的两条直线叫做平行线；②对顶角的角平分线在同一直线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④几个有理数相乘，积的符号有负因数的个数确定．正确的个数有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行线的性质；有理数的乘法；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】分别根据平行线的定义、对顶角的定义及有理数的乘法对各小题进行逐一分析即可．
【解答】①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故本小题错误；
②因为有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以对顶角的角平分线在同一直线上，故本小题正确；
③在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；
④几个不为0的有理数相乘，积的符号有负因数的个数确定，故本小题错误．
故选A．
【点评】本题考查的是平行线的定义、对顶角的定义及有理数的乘法，在解答平行线的问题时一定要注意“在同一平面内”这一特殊条件；在解答有理数的乘法时一定要注意：任何数同0相乘都得0．
6．可以用来证明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是：取这个数为（ ）
A．8 B．4 C．9 D．16
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【分析】所选的答案必须满足条件：是偶数，并且不是8的倍数，据此即可判断．
【解答】证明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例，必须满足条件是偶数，并且不是8的倍数，故满足条件的只有B．
故选B．
【点评】考查了反证法，理解反例的含义是解决本题的关键．
7．（2023八下·海曙期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．两个锐角都小于45° D．有一个锐角大于45°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中：两个锐角都大于45°.
故答案为：A.
【分析】用反证法证明时，应先假设结论不成立，据此判断.
8．（2023七下·中江期末）下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：能说明命题"两个锐角的和是锐角"是一个假命题的反例，需求出两锐角的和大于或等于90°，
∵ 都是锐角，
∴∠A+∠B=90°，
∴此项可作为反例；
故答案为：C.
【分析】能说明命题"两个锐角的和是锐角"是一个假命题的反例，需求出两锐角的和大于或等于90°，据此解答即可.
二、填空题
9．（2023七下·丰满期末）命题“如果x2=9，那么x=3”是 命题(填“真”或“假”).
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵x2=9，
∴x=±3，
∴命题“如果x2=9，那么x=3”是假命题，
故答案为：假.
【分析】根据题意先求出x=±3，再判断求解即可。
10．（2023七下·张店期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 ．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解："对顶角相等"改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
故第1空答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
【分析】按照"如果"后边是已知，"那么"后边是结论，改写成 如果……，那么…… 的形式即可。
11．（2023七下·宝应期末）请写出命题“如果，那么”的逆命题是 ．
【答案】如果，那么
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果a>b，那么b-a<0”的逆命题是：如果b-a<0，那么a>b.
故答案为：如果b-a<0，那么a>b.
【分析】原命题的条件为：a>b，结论为b-a<0，将条件与结论互换即可得到逆命题.
12．（2023八下·玄武期末）举一个反例说明“”是不成立的，则的值可以是 .
【答案】
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵=x，
∴x≥0
∴可以举一个反例，使x=-1.
故答案为：-1.
【分析】由二次根式的性质可得=|x|，结合题意可得x≥0，据此解答.
13．（2023七下·三台期中）如图，现有以下3个论断：①；②；③．如果以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 个真命题．
【答案】3
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由题意得可以构造三个命题：
（1）①②为条件，③为命题；（2）①③为条件，②为命题；（3）②③为条件，①为命题；
（1）∵，
∴∠B=∠CDF，
∵，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴，故（1）中命题为真命题；
（2）∵，
∴∠B=∠CDF，
∵CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴，故（2）中命题为真命题；
（3）∵，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵，
∴∠B=∠CDF，
∴，故（3）中命题为真命题；
综上所述：共有3个真命题，
故答案为：3
【分析】先根据题意判断出三个命题，分别运用平行线的判定与性质求解即可命题的正误。
三、解答题
14．（2022九上·寒亭期中）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：，，是的三个内角．
求证：，，中不能有两个角是直角．
【答案】证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，
则，这与三角形内角和为相矛盾，
不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
【知识点】反证法
【解析】【分析】 反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理、论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确.
15．（2022七下·镇江期中）阅读材料：怎样证实“两直线平行，同位角相等”
本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等” .事实上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实.
如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，∠1与∠2是同位角.
假设∠1∠2，那么可以通过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH=∠2，直线GH与直线AB是两条直线.
根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD.
这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
这说明∠1∠2的假设不正确，于是∠1=∠2.
解决问题：若且，请你用以上方法说明：.
【答案】解：假设，
∵，
∴，
即x=0或y=0，
这与且相矛盾，
∴假设不成立，
于是：.
【知识点】完全平方公式及运用；反证法
【解析】【分析】假设x2+y2=(x+y)2，根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+2xy+y2，则2xy=0，据此可得x=0或y=0，这与x≠0且y≠0相矛盾，故假设不成立，据此解答.
四、综合题
16．（2023七下·连江期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，点在的延长线上，请从①；②；③中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．
小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：
（Ⅰ）
Ⅱ （Ⅱ）
（等量代换）
（1）请帮助小明补全证明过程及推理依据；
（2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．
【答案】（1）解：两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等
（2）解：选取①③作为题设，②作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：∵
∴
∵
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题；证明过程
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补求证，再根据两直线平行，同位角相等求证，最后利用等量代换即可证明么；
（2）根据两直线平行同旁内角互补求证，利用及等量代换即可证明.
17．（2022八上·霍邱月考）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角中，， ▲ ；
求证： ▲ ．
（2）证明：
【答案】（1）解：已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD=∠A．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°∠A，
∴∠BCD=∠ACB∠ACD=（90°∠A）（90°∠A）=∠A．
【知识点】角的运算；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）根据命题的定义求解即可；
（2）先求出∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，再利用角的运算和等量代换可得∠BCD=∠A。
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