2023-2024学年初中数学八年级上册 2.3 等腰三角形 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·泉州期末）已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2023八上·邻水期末）如图等边边长为，D、E分别是、上两点，将沿直线折叠，点A落在处，在外，则阴影部分图形周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·平桂期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
4．（2022八上·宝应期中）如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为（ ）．
A． B．10 C．12 D．13
6．（2022八上·汾阳期末）如图，A，是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点，测得的长为6米，的长为6米，，则A，两点之间的距离是（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
7．（2022八上·安徽期末）如图，等边和等腰，，点E，F分别为边，的中点，若的面积为16，，点M是CE上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
8．（2022八上·淮南期末）已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边BC上的中线所在的直线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边AB的垂直平分线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
二、填空题
9．（2023八上·江北期末）若等腰三角形的一个内角为，则底角为 .
10．（2023八上·温州期末）一张小凳子的结构如图所示，AC=BC，∠1=100°， 则∠2= °．
11．（2022八上·长兴月考）已知等腰三角形的顶角和底角的度数分别为x，y，则y与x的函数关系是 ．
12．（2023八上·韩城期末）如图，等腰的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 .
13．（2023八上·凤凰期末）已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为 .
三、解答题
14．（2023八上·宁强期末）如图，点D、E在的边上，，，求证：.
15．（2023八上·吴忠期末）如图，在中，，D是边上的中点，于点E，于点F.求证：点D在的角平分线上.
四、综合题
16．（2023八上·韩城期末）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC.
（1）求证：ABC是等腰三角形
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数.
17．（2023八上·慈溪期末）如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和均为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点.
（1）如图1，等边的边长为4，边的中点P是完美点，写出完美翻折线的长.
（2）如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点.当，都为等腰三角形顶角时，求此时的度数.
（3）已知在中，，，
①在（2）的条件下，求的长.
②如图3，为的完美翻折线，P为完美点，当，为顶角时，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当70°角为等腰三角形的底角时，底角为70°；
②当70°角为等腰三角形的顶角时，底角=.
故底角为55°或70°.
故答案为：C.
【分析】由于70°角是锐角，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，需要分两类讨论：①当70°角为等腰三角形的底角时，②当70°角为等腰三角形的顶角时.
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵等边△ABC的边长为1cm，
∴，
将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A'处，
所以，，
则阴影部分图形的周长为：，
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质得AB=BC=AC=1cm，根据折叠得AD=A'D，AE=A'E，进而根据周长的计算方法、等量代换及线段的和差即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°-80°-80°＝20°.
故答案为：C.
【分析】由于80°的角是锐角，故可以做为底角，也可以作为顶角，从而根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C=70°
∴∠DBC=180°-70°×2=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，分别求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】解答：
作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝ ＝12，
∴S△ABC＝ ×BC×AD＝ ×AB×CN，
∴CN＝ ＝ ＝ ，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF＋EF≥ ，
即CF＋EF的最小值是 ，
故答案为：A．
分析：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CF＋EF＝CM，根据垂线段最短得出CF＋EF≥ ，即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：B．
【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接交于点，连接
∵是等边三角形，点E为边的中点，
∴关于对称，
∴，
∴，
即：当三点共线时，的周长最短，
∵是等腰三角形，F为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
故答案为：D．
【分析】连接交于点，连接，当三点共线时，的周长最短，根据，求出，再求出的周长的最小值为即可。
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∴AB=AC，
∴△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴；
故答案为：A．
【分析】利用三角形的周长公式及线段的和差求出AB=AC，即可得到△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴。
9．【答案】85°或47.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意知，分两种情况：
①当这个85°的角为底角时，则另一底角也为85°；
②当这个85°的角为顶角时，则底角.
故答案为：85°或47.5°.
【分析】由于85°的角是锐角，需要分类讨论：①当这个85°的角为底角时，②当这个85°的角为顶角时，分别根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出答案.
10．【答案】50
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2+∠CAB=2∠2，
又∵∠1=100°，
∴∠2=50°.
故答案为：50.
【分析】根据等边对等角得∠CAB=∠2，根据三角形外角性质得∠1=2∠2，进而代入∠1的度数即可求出∠2的度数.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2y=180，
∴.
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和等于180°建立二元一次方程，进而将方程变形用含x的式子表示出y即可.
12．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AM，如图，
∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D为BC边的中点，
∴，
解得；
∵点A与点C关于EF对称，
连接AD交EF于点H，连接CH，
∴当点M与点H重合时，△CDM的周长取得最小值，且为
，
∴周长的最小值为，
故答案为：10.
【分析】连接AM，根据等腰三角形的三线合一得结合三角形的面积公式建立方程可算出AD的长，连接AD交EF于点H，连接CH，易得点A与点C关于EF对称，当点M与点H重合时，△CDM的周长取得最小值，且为AD+CD，据此就可求出答案了.
13．【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意得：
x+x+4x=180
解得：x=30.
当x=30时，顶角=4x=4×30°=120°.
故答案为120°.
【分析】设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得x+x+4x=180，求出x的度数，进而可得顶角的度数.
14．【答案】证明：如图，过点A作于P，
∵，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】 过点A作AP⊥BC于P ，根据等腰三角形的三线合一得BP=PC，DP=PE，进而根据等量减去等量，差相等即可得出BD=CE.
15．【答案】证明：如图，连接.
∵，点D是边上的中点，
∴是等腰底边上的中线，
∴平分.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，从而即可得出结论.
16．【答案】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线
∴∠DAF=∠CAF
又∵
∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴是等腰三角形
（2）解：∵CG是∠ACE的角平分线
∴∠ACG=∠ECG
又∵，∠ACB=∠B
∴
∴∠ACG=∠ECG=
又∵∠CAG=∠ACB
∴∠AGC=
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠DAF=∠CAF，由平行线的性质可得∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，则∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，据此证明；
（2）根据角平分线的概念可得∠ACG=∠ECG，由（1）可得∠ACB=∠B=40°，结合邻补角的性质可得∠ACG=∠ECG=70°，然后根据内角和定理进行计算.
17．【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵P为的完美点，
∴，和是等腰三角形，
∵
∴和是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
（2）解：连接，设，，
∵为的完美翻折线，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵和是等腰三角形，且，都为顶角
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即.
（3）解：①过B作于点M，
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，又
∴.
②连接，过P作于点H，于点N，
∵为的完美翻折线，
∴，和是等腰三角形，
设，，
∴，，
∴，，
∵，为顶角，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，为的平分线，
∴，
又，，
∴.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；定义新运算
【解析】【分析】（1） 根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=4，根据P为△ABC的完美点可得△ADE≌△PDE，进而推出△BDP和△PEC是等边三角形，则BD=DP，PE=CE，由折叠的性质可得AD=DP，AE=PE，则AD=BD=AB，AE=CE=AC，结合AB的值可得AE=AD=2，推出△ADE是等边三角形，据此解答；
（2）连接AP，设∠DAP=α，∠EAP=β，由题意可得△ADE≌△PDE，则AD=DP，AE=PE，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠BDP=2α，∠PEC=2β，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得α+β=60°，据此解答；
（3）①过B作BM⊥AC于点M，由（2）得∠A=60°，则∠ABM=30°，求出AM、BM、CM的值，然后根据勾股定理进行计算；
②连接AP，过P作PH⊥AB于点H，PN⊥AC于点N，由题意可得△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形，设∠DAP=α，∠EAP=β，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠BDP=2α，∠PEC=2β，利用平角的概念可得α=β，推出PH=PN，然后根据三角形的面积公式进行求解.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 2.3 等腰三角形 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·泉州期末）已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当70°角为等腰三角形的底角时，底角为70°；
②当70°角为等腰三角形的顶角时，底角=.
故底角为55°或70°.
故答案为：C.
【分析】由于70°角是锐角，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，需要分两类讨论：①当70°角为等腰三角形的底角时，②当70°角为等腰三角形的顶角时.
2．（2023八上·邻水期末）如图等边边长为，D、E分别是、上两点，将沿直线折叠，点A落在处，在外，则阴影部分图形周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵等边△ABC的边长为1cm，
∴，
将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A'处，
所以，，
则阴影部分图形的周长为：，
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质得AB=BC=AC=1cm，根据折叠得AD=A'D，AE=A'E，进而根据周长的计算方法、等量代换及线段的和差即可求出答案.
3．（2023八上·平桂期末）已知等腰三角形ABC的一个角为80°，则该三角形的顶角为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．以上都不对
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角＝180°-80°-80°＝20°.
故答案为：C.
【分析】由于80°的角是锐角，故可以做为底角，也可以作为顶角，从而根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理即可求出答案.
4．（2022八上·宝应期中）如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C=70°
∴∠DBC=180°-70°×2=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，分别求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为（ ）．
A． B．10 C．12 D．13
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】解答：
作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝ ＝12，
∴S△ABC＝ ×BC×AD＝ ×AB×CN，
∴CN＝ ＝ ＝ ，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF＋EF≥ ，
即CF＋EF的最小值是 ，
故答案为：A．
分析：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CF＋EF＝CM，根据垂线段最短得出CF＋EF≥ ，即可得出答案．
6．（2022八上·汾阳期末）如图，A，是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点，测得的长为6米，的长为6米，，则A，两点之间的距离是（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：B．
【分析】先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。
7．（2022八上·安徽期末）如图，等边和等腰，，点E，F分别为边，的中点，若的面积为16，，点M是CE上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接交于点，连接
∵是等边三角形，点E为边的中点，
∴关于对称，
∴，
∴，
即：当三点共线时，的周长最短，
∵是等腰三角形，F为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
故答案为：D．
【分析】连接交于点，连接，当三点共线时，的周长最短，根据，求出，再求出的周长的最小值为即可。
8．（2022八上·淮南期末）已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边BC上的中线所在的直线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边AB的垂直平分线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∴AB=AC，
∴△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴；
故答案为：A．
【分析】利用三角形的周长公式及线段的和差求出AB=AC，即可得到△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴。
二、填空题
9．（2023八上·江北期末）若等腰三角形的一个内角为，则底角为 .
【答案】85°或47.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意知，分两种情况：
①当这个85°的角为底角时，则另一底角也为85°；
②当这个85°的角为顶角时，则底角.
故答案为：85°或47.5°.
【分析】由于85°的角是锐角，需要分类讨论：①当这个85°的角为底角时，②当这个85°的角为顶角时，分别根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出答案.
10．（2023八上·温州期末）一张小凳子的结构如图所示，AC=BC，∠1=100°， 则∠2= °．
【答案】50
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2+∠CAB=2∠2，
又∵∠1=100°，
∴∠2=50°.
故答案为：50.
【分析】根据等边对等角得∠CAB=∠2，根据三角形外角性质得∠1=2∠2，进而代入∠1的度数即可求出∠2的度数.
11．（2022八上·长兴月考）已知等腰三角形的顶角和底角的度数分别为x，y，则y与x的函数关系是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2y=180，
∴.
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和等于180°建立二元一次方程，进而将方程变形用含x的式子表示出y即可.
12．（2023八上·韩城期末）如图，等腰的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 .
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AM，如图，
∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D为BC边的中点，
∴，
解得；
∵点A与点C关于EF对称，
连接AD交EF于点H，连接CH，
∴当点M与点H重合时，△CDM的周长取得最小值，且为
，
∴周长的最小值为，
故答案为：10.
【分析】连接AM，根据等腰三角形的三线合一得结合三角形的面积公式建立方程可算出AD的长，连接AD交EF于点H，连接CH，易得点A与点C关于EF对称，当点M与点H重合时，△CDM的周长取得最小值，且为AD+CD，据此就可求出答案了.
13．（2023八上·凤凰期末）已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为 .
【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意得：
x+x+4x=180
解得：x=30.
当x=30时，顶角=4x=4×30°=120°.
故答案为120°.
【分析】设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得x+x+4x=180，求出x的度数，进而可得顶角的度数.
三、解答题
14．（2023八上·宁强期末）如图，点D、E在的边上，，，求证：.
【答案】证明：如图，过点A作于P，
∵，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】 过点A作AP⊥BC于P ，根据等腰三角形的三线合一得BP=PC，DP=PE，进而根据等量减去等量，差相等即可得出BD=CE.
15．（2023八上·吴忠期末）如图，在中，，D是边上的中点，于点E，于点F.求证：点D在的角平分线上.
【答案】证明：如图，连接.
∵，点D是边上的中点，
∴是等腰底边上的中线，
∴平分.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，从而即可得出结论.
四、综合题
16．（2023八上·韩城期末）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC.
（1）求证：ABC是等腰三角形
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数.
【答案】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线
∴∠DAF=∠CAF
又∵
∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴是等腰三角形
（2）解：∵CG是∠ACE的角平分线
∴∠ACG=∠ECG
又∵，∠ACB=∠B
∴
∴∠ACG=∠ECG=
又∵∠CAG=∠ACB
∴∠AGC=
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠DAF=∠CAF，由平行线的性质可得∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，则∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，据此证明；
（2）根据角平分线的概念可得∠ACG=∠ECG，由（1）可得∠ACB=∠B=40°，结合邻补角的性质可得∠ACG=∠ECG=70°，然后根据内角和定理进行计算.
17．（2023八上·慈溪期末）如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和均为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点.
（1）如图1，等边的边长为4，边的中点P是完美点，写出完美翻折线的长.
（2）如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点.当，都为等腰三角形顶角时，求此时的度数.
（3）已知在中，，，
①在（2）的条件下，求的长.
②如图3，为的完美翻折线，P为完美点，当，为顶角时，求的值.
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵P为的完美点，
∴，和是等腰三角形，
∵
∴和是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
（2）解：连接，设，，
∵为的完美翻折线，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵和是等腰三角形，且，都为顶角
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即.
（3）解：①过B作于点M，
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，又
∴.
②连接，过P作于点H，于点N，
∵为的完美翻折线，
∴，和是等腰三角形，
设，，
∴，，
∴，，
∵，为顶角，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，为的平分线，
∴，
又，，
∴.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；定义新运算
【解析】【分析】（1） 根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=4，根据P为△ABC的完美点可得△ADE≌△PDE，进而推出△BDP和△PEC是等边三角形，则BD=DP，PE=CE，由折叠的性质可得AD=DP，AE=PE，则AD=BD=AB，AE=CE=AC，结合AB的值可得AE=AD=2，推出△ADE是等边三角形，据此解答；
（2）连接AP，设∠DAP=α，∠EAP=β，由题意可得△ADE≌△PDE，则AD=DP，AE=PE，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠BDP=2α，∠PEC=2β，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得α+β=60°，据此解答；
（3）①过B作BM⊥AC于点M，由（2）得∠A=60°，则∠ABM=30°，求出AM、BM、CM的值，然后根据勾股定理进行计算；
②连接AP，过P作PH⊥AB于点H，PN⊥AC于点N，由题意可得△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形，设∠DAP=α，∠EAP=β，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠BDP=2α，∠PEC=2β，利用平角的概念可得α=β，推出PH=PN，然后根据三角形的面积公式进行求解.
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