2023-2024学年初中数学八年级上册 2.4 线段的垂直平分线 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·青羊期末）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交于D、E两点，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·长春）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·深圳期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
4．（2023·长沙模拟）在中，，，是上的一点，若的周长比的周长大3，根据下列尺规作图痕迹可以得到符合条件的的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八下·南海期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，。作直线，交于点，交于点，连接。若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．20 D．14
6．（2023·攀枝花模拟）如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线，与交于点P，若，则等于（ ）
A．100° B．120° C．132° D．140°
7．（2023·禅城模拟）阅读以下尺规作图的步骤：
（1）作射线，在射线上截取（2）分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、（3）作直线交于点（4）在直线上截取（5）连接，
则可以说明的依据是（ ）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．等腰三角形的“三线合一”
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8．（2023·石家庄月考）对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心，为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接，，过点A作直线n与直线垂直，设是，直线n与所夹的锐角是，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲：，乙：，丙：．
对于三人的答案，下列结论正确的是（ ）
A．只有甲的答案正确 B．甲和乙的答案合在一起才正确
C．甲和丙的答案合在一起才正确 D．甲乙丙的答案合在一起才正确
二、填空题
9．（2023七下·惠来期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，，则 ．
10．（2023七下·成华期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点，，直线交于点，连接．若，，则的周长等于 ．
11．（2023八下·永善期末）如下图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为 。
12．（2022八上·奎文期中）如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则 度．
13．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为 ．
三、解答题
14．（2023八下·南海期中）在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．
15．（2022八上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.
四、综合题
16．（2023八上·安顺期末）如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，，且时，求的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值．
17．（2022八下·太原期末）综合与实践：
已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．
作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴…….. （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为 ，括号中的依据为 ．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择 题．
A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=35°，
又∵∠BAD=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠B=180°-（∠C+∠BAC）=180°-（35°+60°）=85°。
故答案为：D。
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，得出DA=DC，从而得到∠DAC的度数，加上∠BAD即可求得∠BAC的度数，然后根据三角形内角和，求出答案即可。
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得DA=EA，DF=EF，A、C不符合题意；
∵A和F在ED的垂直平分线上，
∴，D不符合题意；
∴不一定成立，B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据作图-角平分线，进而根据垂直平分线的判定对选项逐一分析即可求解。
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，
∴ 该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点上.
故答案为：D
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】∵AC=7，BC=4，
∴AC-BC=3，
∵△ACM的周长比△BCM的周长大3，
∴AC+CM+AM-BC-BM-CM=3，
∴AM-BM=0，
∴当AM=BM时，△ACM的周长比△BCM的周长大3，
根据四个选项的作图痕迹，可得D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：EM为线段BC的垂直平分线，则BD=CD.
∵AB=8，AC=14，
△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+AD+CD=AB+AC=8+14=22.
故答案为：B.
【分析】由作图可得：EM为线段BC的垂直平分线，则BD=CD，据此可将△ABD的周长转化为AB+AC，据此计算.
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】如图，连接AB、AC、BC、BP、PC、PA ，由作法可知MN垂直平分AB，GH垂直平分BC， ∵PA=PB＝PC，∴∠PAB=∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∴∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=∠BAC
∴∠BPC=∠PAB+∠PAC+∠PBA+∠PCA=2∠BAC
∴∠BPC＝2∠BAC＝2×66°=132°。
故答案为：C
【分析】由作法得MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，所以点P为△ABC的外心，所以∠BPC＝2∠BAC＝2×66°＝132°。
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知：EF垂直平分BC，点A在直线EF上，故AB=AC的依据是线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故选：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：当点D在BP的延长线上时，
由作图可知，直线m是线段AB的垂直平分线，
∵点P在直线m上，
∴PA=PB，∠ABP=∠BAP，
∴APD=180°-x°=∠ABP+∠BAP=2∠ABP=2∠BAP，
∴∠ABP=∠BAP=90°-，
∵直线n与直线PB垂直，
∴∠ADP=90°，
∴∠DAP+∠BAP+∠ABP=90°，
∴y°+90°-+90°-=90°，
∴x°-y°=90°，
即x-y=90，
当点D在线段PB上时，如下图所示：
同理可得，x+y=90°，
故答案为：D.
【分析】分类讨论，结合图形，利用线段的垂直平分线，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等计算求解即可。
9．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=50°.
同理可得∠GAC=∠GCA=20°.
∵∠B=50°，∠C=20°，
∴∠BAC=110°，
∴∠EAG=∠BAC-(∠GAC+∠EAB)=110°-(50°+20°)=40°.
故答案为：40°.
【分析】由垂直平分线的性质可得EA=EB，则∠EAB=∠EBA=50°，同理可得∠GAC=∠GCA=20°，在△ABC中，由内角和定理可得∠BAC的度数，然后根据∠EAG=∠BAC-(∠GAC+∠EAB)进行计算.
10．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知：DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
△ACD的周长=AD+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=4+3=7.
故第1空答案为：7.
【分析】根据作图过程得知DE是AB的垂直平分线，得到DB=DA，从而得出△ACD的周长为AC+BC。
11．【答案】7
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵△PBD的周长=PB+PD+BD，
欲求△PBD的周长的最小值，由BD的长为定值，所以当PB+PD最小时，△PBD的周长的最小，
连接AP，
∵直线EF垂直平分AB ，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD，
当A、P、D三点共线时，PA+PD的长最小，即为AD的长，
∵ AB=AC，AD⊥BC ， BC=6，△ABC面积为12 ，
∴BD=CD=3，△ABC面积=×6AD=12，
∴AD=4，
∴ △PBD的周长的最小值为 4+3=7；
故答案为：7.
【分析】由分析易得BD=3，故求△PBD的周长的最小即求PB+PD最小，利用对称转换PB+PD=AP+DP≤AD，从而得出当且仅当三点共线时达到最小，计算出AD的长即得△PBD的周长的最小值.
12．【答案】160
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接，
∵在中，，
∴．
∵三内角的角平分线交于点D，
∴平分，
∴，
同理可得，，，
∵在中，
，
又∵，，，
∴，
∵，
∴．
如图2，连接，
∵三边的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，
．
故答案为：160．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
14．【答案】解：∵垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 根据线段垂直平分线的性质得出，， 再根据直角三角形和等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理进行求解。
15．【答案】解：任务一：右；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°.
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°-20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE-∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°.
猜想：∠BAD＝2∠CAE；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x-y，
∴∠BAD＝∠BAC-∠CAD＝2x-2y，
∵∠CAE＝∠DAE-∠CAD＝x-y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧.
故答案为：右；
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE-∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可.
16．【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）解：∵CE⊥AB，
∴·BC·AD＝·AB·CE，
又∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝=．
（3）解：PE+PB的最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接PC，
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理求得∠ACB的度数即可；
（2）利用三角形等面积法可得·BC·AD＝·AB·CE，再代入数据计算即可求解；
（3）连接PC，利用线段垂直平分线性质及轴对称性质，可得到PB+PE＝PE+PC≥CE，即把问题转化为两点之间线段最短，进而求解即可．
17．【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）解：如图，连接BD、DE，
由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=72°，∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=∠ABC ∠DBC=36°，
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE =72°，
∴∠AED=180° ∠BED=108°，
∴∠EDA=180° ∠BAC ∠AED=36°，
∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．
综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°；
如图，连接DE、CE，则BC=BE，∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°，∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°，
连接BD，由上一种裁剪方法知，
BD平分∠ABC，则△BCD≌△BED（SAS），
∴CD=DE，即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180° 2×18°=144°，∴∠ADE=180° ∠EDC=36°=∠BAC，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形，且顶角；
综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°．
（3）解：选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE，则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示；裁剪线段为AD、AE；选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理，PA＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；
（2）根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答；
（3）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 2.4 线段的垂直平分线 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·青羊期末）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交于D、E两点，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=35°，
又∵∠BAD=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠B=180°-（∠C+∠BAC）=180°-（35°+60°）=85°。
故答案为：D。
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，得出DA=DC，从而得到∠DAC的度数，加上∠BAD即可求得∠BAC的度数，然后根据三角形内角和，求出答案即可。
2．（2023·长春）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得DA=EA，DF=EF，A、C不符合题意；
∵A和F在ED的垂直平分线上，
∴，D不符合题意；
∴不一定成立，B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据作图-角平分线，进而根据垂直平分线的判定对选项逐一分析即可求解。
3．（2023八下·深圳期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，
∴ 该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点上.
故答案为：D
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得答案.
4．（2023·长沙模拟）在中，，，是上的一点，若的周长比的周长大3，根据下列尺规作图痕迹可以得到符合条件的的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】∵AC=7，BC=4，
∴AC-BC=3，
∵△ACM的周长比△BCM的周长大3，
∴AC+CM+AM-BC-BM-CM=3，
∴AM-BM=0，
∴当AM=BM时，△ACM的周长比△BCM的周长大3，
根据四个选项的作图痕迹，可得D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质逐项判断即可。
5．（2023八下·南海期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，。作直线，交于点，交于点，连接。若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．20 D．14
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：EM为线段BC的垂直平分线，则BD=CD.
∵AB=8，AC=14，
△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+AD+CD=AB+AC=8+14=22.
故答案为：B.
【分析】由作图可得：EM为线段BC的垂直平分线，则BD=CD，据此可将△ABD的周长转化为AB+AC，据此计算.
6．（2023·攀枝花模拟）如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线，与交于点P，若，则等于（ ）
A．100° B．120° C．132° D．140°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】如图，连接AB、AC、BC、BP、PC、PA ，由作法可知MN垂直平分AB，GH垂直平分BC， ∵PA=PB＝PC，∴∠PAB=∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∴∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=∠BAC
∴∠BPC=∠PAB+∠PAC+∠PBA+∠PCA=2∠BAC
∴∠BPC＝2∠BAC＝2×66°=132°。
故答案为：C
【分析】由作法得MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，所以点P为△ABC的外心，所以∠BPC＝2∠BAC＝2×66°＝132°。
7．（2023·禅城模拟）阅读以下尺规作图的步骤：
（1）作射线，在射线上截取（2）分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、（3）作直线交于点（4）在直线上截取（5）连接，
则可以说明的依据是（ ）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．等腰三角形的“三线合一”
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知：EF垂直平分BC，点A在直线EF上，故AB=AC的依据是线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故选：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解.
8．（2023·石家庄月考）对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心，为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接，，过点A作直线n与直线垂直，设是，直线n与所夹的锐角是，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲：，乙：，丙：．
对于三人的答案，下列结论正确的是（ ）
A．只有甲的答案正确 B．甲和乙的答案合在一起才正确
C．甲和丙的答案合在一起才正确 D．甲乙丙的答案合在一起才正确
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：当点D在BP的延长线上时，
由作图可知，直线m是线段AB的垂直平分线，
∵点P在直线m上，
∴PA=PB，∠ABP=∠BAP，
∴APD=180°-x°=∠ABP+∠BAP=2∠ABP=2∠BAP，
∴∠ABP=∠BAP=90°-，
∵直线n与直线PB垂直，
∴∠ADP=90°，
∴∠DAP+∠BAP+∠ABP=90°，
∴y°+90°-+90°-=90°，
∴x°-y°=90°，
即x-y=90，
当点D在线段PB上时，如下图所示：
同理可得，x+y=90°，
故答案为：D.
【分析】分类讨论，结合图形，利用线段的垂直平分线，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等计算求解即可。
二、填空题
9．（2023七下·惠来期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，，则 ．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=50°.
同理可得∠GAC=∠GCA=20°.
∵∠B=50°，∠C=20°，
∴∠BAC=110°，
∴∠EAG=∠BAC-(∠GAC+∠EAB)=110°-(50°+20°)=40°.
故答案为：40°.
【分析】由垂直平分线的性质可得EA=EB，则∠EAB=∠EBA=50°，同理可得∠GAC=∠GCA=20°，在△ABC中，由内角和定理可得∠BAC的度数，然后根据∠EAG=∠BAC-(∠GAC+∠EAB)进行计算.
10．（2023七下·成华期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点，，直线交于点，连接．若，，则的周长等于 ．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知：DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
△ACD的周长=AD+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=4+3=7.
故第1空答案为：7.
【分析】根据作图过程得知DE是AB的垂直平分线，得到DB=DA，从而得出△ACD的周长为AC+BC。
11．（2023八下·永善期末）如下图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为 。
【答案】7
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵△PBD的周长=PB+PD+BD，
欲求△PBD的周长的最小值，由BD的长为定值，所以当PB+PD最小时，△PBD的周长的最小，
连接AP，
∵直线EF垂直平分AB ，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD，
当A、P、D三点共线时，PA+PD的长最小，即为AD的长，
∵ AB=AC，AD⊥BC ， BC=6，△ABC面积为12 ，
∴BD=CD=3，△ABC面积=×6AD=12，
∴AD=4，
∴ △PBD的周长的最小值为 4+3=7；
故答案为：7.
【分析】由分析易得BD=3，故求△PBD的周长的最小即求PB+PD最小，利用对称转换PB+PD=AP+DP≤AD，从而得出当且仅当三点共线时达到最小，计算出AD的长即得△PBD的周长的最小值.
12．（2022八上·奎文期中）如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则 度．
【答案】160
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接，
∵在中，，
∴．
∵三内角的角平分线交于点D，
∴平分，
∴，
同理可得，，，
∵在中，
，
又∵，，，
∴，
∵，
∴．
如图2，连接，
∵三边的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，
．
故答案为：160．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。
13．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
三、解答题
14．（2023八下·南海期中）在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．
【答案】解：∵垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 根据线段垂直平分线的性质得出，， 再根据直角三角形和等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理进行求解。
15．（2022八上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.
【答案】解：任务一：右；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°.
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°-20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE-∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°.
猜想：∠BAD＝2∠CAE；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x-y，
∴∠BAD＝∠BAC-∠CAD＝2x-2y，
∵∠CAE＝∠DAE-∠CAD＝x-y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧.
故答案为：右；
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE-∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可.
四、综合题
16．（2023八上·安顺期末）如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，，且时，求的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）解：∵CE⊥AB，
∴·BC·AD＝·AB·CE，
又∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝=．
（3）解：PE+PB的最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接PC，
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理求得∠ACB的度数即可；
（2）利用三角形等面积法可得·BC·AD＝·AB·CE，再代入数据计算即可求解；
（3）连接PC，利用线段垂直平分线性质及轴对称性质，可得到PB+PE＝PE+PC≥CE，即把问题转化为两点之间线段最短，进而求解即可．
17．（2022八下·太原期末）综合与实践：
已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．
作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴…….. （依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为 ，括号中的依据为 ．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择 题．
A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）．
【答案】（1）PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
（2）解：如图，连接BD、DE，
由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形，
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=72°，∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=∠ABC ∠DBC=36°，
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE =72°，
∴∠AED=180° ∠BED=108°，
∴∠EDA=180° ∠BAC ∠AED=36°，
∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．
综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°；
如图，连接DE、CE，则BC=BE，∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°，∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°，
连接BD，由上一种裁剪方法知，
BD平分∠ABC，则△BCD≌△BED（SAS），
∴CD=DE，即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180° 2×18°=144°，∴∠ADE=180° ∠EDC=36°=∠BAC，
∴AE=DE，即△AED是等腰三角形，且顶角；
综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°．
（3）解：选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE，则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示；裁剪线段为AD、AE；选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理，PA＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；
（2）根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答；
（3）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质解答。
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