2023-2024学年初中数学八年级上册 2.5 全等三角形 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·普宁期末）如图，≌，、、在同一直线上，且，，则长（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·连平期末）如图，点分别在线段上，与相交于点．若，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·惠来期末）如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．AC＝DF
4．（2023七下·高州期末）如图，已知与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④是等边三角形，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023七下·深圳期末）某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．点与点关于直线对称
6．（2023七下·杨浦期末）下列条件中，能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有一个内角是的两个直角三角形；
B．有一个内角是的两个等腰三角形；
C．有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形
D．有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形．
7．（2023八下·随县期末）如图，在正方形中，点的坐标是，点、分别在边、上，若，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·宝安期末）如图，在中，的高BD、CE交于点，若，则AC的长为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
二、填空题
9．（2023七下·福田期末）如图，点在线段上，，，，若，，则的度数为 ．
10．（2023七下·光明期末）如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ．
11．（2023七下·深圳期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．
12．（2023七下·金牛期末）已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
三、解答题
13．（2023七下·福田期末）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．试说明：，请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
解：，
（ ）．
，
，即 ▲ ．
在和中，，
（ ），
▲ （ ），
（ ）．
14．（2023七下·文山期末）如图，和相交于点为的中点，．
求证：．
四、综合题
15．（2023七下·普宁期末）如图（1），，，垂足分别为、，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为当点运动结束时，点运动随之结束．
（1）AP ， 用含的代数式表示；
（2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（3）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值．
16．（2023八下·潜山期末）如图，和均为等边三角形．
（1）找出与全等的三角形（不需要说明理由）；
（2）若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可知，两三角形全等，根据对应边相等可知；
则；
故答案为：A.
【分析】题目要求BD长，可分段求解，再由三角形全等得到未知长度的BC，最终得解.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠C=15°，
∴∠B=∠C=15°.
∵∠A=65°，
∴∠AEB=180°-∠B-∠A=180°-65°-15°=100°.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠C=15°，然后在△ABE中，利用内角和定理计算即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF，∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF.
∵AB=DE，BC=EF，∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
∵AB=DE，BC=EF，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
故答案为：B.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=EC，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE=120°
在△ACD和△BCE中，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），故①式成立；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CAH=∠CBF
在△ACH和△BCF中
∵∠CAH=∠CBF，AC=BC，∠ACH=∠BCF
∴△ACH≌△BCF（ASA）
∴BF=AH，故②式成立；
（3）在△AFG和△BCF中，
∵∠FAG=∠CBF，∠BFC=∠AFG
∴∠AGB=∠BCF=60°，故③式成立；
（4）由（2）△ACH≌△BCF，可得CH=CF
又∵∠FCH=60°，
∴△FCH为等边三角形，故④式成立.
故答案为：D.
【分析】因为等边△ABC和等边△DCE有公共的顶点C，所以能产生SAS的一对全等三角形△ACD和△BCE，我们称之为“手拉手模型”，由△ACD和△BCE全等，得∠CAH=∠CBE，推导出△ACH≌△BCF，而由△ACH≌△BCF得CH和CF相等，加上中间的夹角∠FCH=60°，得到△CFH为等边三角形，根据“8字形图”由三角形的内角和定理可得∠AGB=∠BCF=60°，从而得证.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，DH=DH，
∴△DEH≌△DFH（SAS），
∴EH=FH，∠DEH=∠DFH，
∵，，
∴DH垂直平分EF，
∴ 点与点关于直线对称 ，
∴A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】证明△DEH≌△DFH（SAS），可得EH=FH，∠DEH=∠DFH，由，，利用等腰三角形的性质可得DH垂直平分EF，据此逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、只知道角的关系，无法判断两个三角形全等，故不符合题意；
B、只知道角的关系，无法判断两个三角形全等，故不符合题意；
C、若这个内角50°，一个是顶角度数，一个是底角度数，则两个三角形不全等，故不符合题意；
D、有一个内角是100°的等腰三角形，则这个100°的内角只能是顶角，
∵腰长相等，
∴根据SAS可证明这两个三角形全等，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】 判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、AAS、ASA，据此逐一判断即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，延长BA至点M，使AM=CE，并连接OM，
∵点B（6，6），∴BC=BA=6，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠C=∠COA=∠OAB=∠OAM=90°，OC=OA=6，
在△OCE与△OAM中，
∵OC=OA，∠C=∠OAM，CE=AM，
∴△OCE≌△OAM（SAS），
∴OE=OM，∠COE=∠AOM，
∵∠EOF=45°，
∴∠COE+∠AOF=∠AOF+∠AOM=∠FOM=45°，
∴∠EOF=∠MOF，
在△EOF与△MOF中，
∵OE=OM，∠EOF=∠MOF，OF=OF，
∴△EOF≌△MOF（SAS），
∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，
设AF=x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得，
∴EF=3+x，EB=3，FB=6-x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即32+（6-x）2=（3+x）2，
解得x=2，即AF=2，
∴点F的纵坐标为2.
故答案为：A.
【分析】连接EF，延长BA至点M，使AM=CE，并连接OM，先利用SAS证出△OCE≌△OAM，得OE=OM，∠COE=∠AOM，推出∠EOF=∠MOF，再用SAS证△EOF≌△MOF，得EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，用勾股定理算出CE，进而用含x的式子表示出EF、FB，在Rt△BEF中，利用勾股定理建立方程，求解可得答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BD，CE分别是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=AE
∴AB-AE=AC-AD
∴BE=CD
在△PBE与△PCD中，
∴△PBE≌△PCD（AAS）
∴PE=PD=6，PB=PC=10
∴DC=
设AD=x，则AC=AD+DC=x+8，AE=AD=x
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+EC2
∴（x+8）2=x2+162
∴x=12
∴AC=12+8=20
故答案为：B.
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE；再证明△PBE≌△PCD，得出PE=PD=6，PB=PC=10，再利用勾股定理求出DC=8.设AD=x，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AC的长.
9．【答案】20
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：设，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20.
【分析】先利用平行线的性质通过SAS判定，再通过全等三角形的性质得到等腰三角形求得的度数，然后利用外角的性质列出方程解得的度数.
10．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠可得∠ABE=∠CBE.
∵∠A=∠D，∠1=∠CED，
∴∠ABD=∠ACD=∠CBD.
∵∠A=∠D，AB=BD，∠ABE=∠CBE，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠2.
∵∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠2=180°.
故答案为：180.
【分析】由折叠可得∠ABE=∠CBE，由已知条件可知∠A=∠D，根据对顶角的性质可得∠1=∠CED，结合内角和定理可得∠ABD=∠ACD=∠CBD，利用ASA证明△ABE≌△DBC，得到BE=BC，则∠BEC=∠2，由邻补角的性质可得∠1+∠BEC=180°，据此解答.
11．【答案】
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分别延长BA、CE交于点F，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∵为的角平分线 ，
∴∠CBE=∠FBE，
∵BE=BE，
∴△CBE≌△FBE（ASA），
∴EF=CE=，即CF=，
∵∠BAC=∠DEC=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠ADB=∠ECD，
∵∠BAD=∠FAC=90°，AB=AC，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴BD=CF=，
故答案为：.
【分析】分别延长BA、CE交于点F，先证△CBE≌△FBE（ASA），可得EF=CE=，即CF=，再证△BAD≌△CAF（ASA），可得BD=CF=.
12．【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵和都是等腰三角形，且，顶角，
∴FD=ED，∠CAB=72°，∠FDE=36°，∠EAD=108°，
由旋转得GD=AD，∠GDA=36°，
∴∠FDG=∠EDA，
易证△FDG≌△EDA（SAS），
∴∠FGD=∠EAD=108°，GF=EA，
当GF=EG时，如图所示：
易证△FGD≌△EGD（SSS），
∴∠EGD=108°，
∴∠FGE=144°；
当GF=EF时，如图所示：
∵GD=AD，∠GDA=36°，
∴∠AGD=∠GAD=72°，
∴∠FGD+∠AGD=180°，∠EAG=36°，
∴A、F、G共线，
∵GF=EF，GF=EA，
∴EF=EA，
∴∠EFG=∠EAG=36°，
∴∠FGE=72°，
综上所述，或，
故答案为：或
【分析】先根据三角形全等的性质结合等腰三角形的性质即可得到FD=ED，∠CAB=72°，∠FDE=36°，∠EAD=108°，进而根据旋转的性质得到GD=AD，∠GDA=36°，从而得到∠FDG=∠EDA，再根据三角形全等的判定与性质证明△FDG≌△EDA（SAS）即可得到∠FGD=∠EAD=108°，GF=EA，分类讨论：当GF=EG时，易证△FGD≌△EGD（SSS），进而结合题意即可求解；当GF=EF时，根据等腰三角形的性质结合题意得到∠AGD=∠GAD=72°，∠FGD+∠AGD=180°，∠EAG=36°，进而得到A、F、G共线，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
13．【答案】解：，
（两直线平行，内错角相等）．
，，即．
在和中，，
（），
（全等三角形的对应角相等），
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行线的性质通过AAS判定，再由全等三角形的性质得到内错角相等，进而证得.
14．【答案】证明：，
，
在与中，
．
是的中点
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】本题利用角角边(AAS）判定两个三角形全等，也可以用角边角（ASA）判定全等.
15．【答案】（1）2t；（7-2t）
（2）解：△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：
证明：点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
当t=1时，AP=BQ=2cm，BP=7-2=5cm，
∵AC=5cm，
∴AC=BP，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△CAP与△PBQ中，
∵AC=PB，∠A=∠B=90°，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∵∠ACP+∠CPA=90°，
∴∠BPQ+∠CPA=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（3）解：由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，
分类讨论：
①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，
∴5=7-2t且2t=tx，
解得x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
∴5=xt且2t=7-2t，
解得t=，x=，
综上当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm；
故答案为：2t，（7-2t）；
【分析】（1）根据路程=速度×时间可表示出AP的长，进而根据BP=AB-AP可表示出BP；
（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：由题意易得AP=BQ，AC=BP，由垂直定义得∠A=∠B=90°，用SAS判断出△CAP≌△PBQ，得∠ACP=∠BPQ，从而由直角三角形两锐角互余、等量代换及平角定义可得∠CPQ=90°，根据垂直定义可得答案；
（3）由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，分别列出方程，求解可得答案.
16．【答案】（1）解：，理由如下：
∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据SAS可以判定△EBC≌△DAC；
（2）首先根据（1）的结论△EBC≌△DAC，可得出∠ADC=∠BEC，从而把∠ADB=82°，代换成∠BEC+∠CDB=82°，然后在△ECD中，根据三角形内角和等于180°，求出∠BDE+∠BED的度数，再在△BDE中，根据三角形内角和求出∠DBE即可。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 2.5 全等三角形 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·普宁期末）如图，≌，、、在同一直线上，且，，则长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可知，两三角形全等，根据对应边相等可知；
则；
故答案为：A.
【分析】题目要求BD长，可分段求解，再由三角形全等得到未知长度的BC，最终得解.
2．（2023七下·连平期末）如图，点分别在线段上，与相交于点．若，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠C=15°，
∴∠B=∠C=15°.
∵∠A=65°，
∴∠AEB=180°-∠B-∠A=180°-65°-15°=100°.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠C=15°，然后在△ABE中，利用内角和定理计算即可.
3．（2023七下·惠来期末）如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．AC＝DF
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF，∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF.
∵AB=DE，BC=EF，∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
∵AB=DE，BC=EF，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
故答案为：B.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理进行判断即可.
4．（2023七下·高州期末）如图，已知与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④是等边三角形，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=EC，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE=120°
在△ACD和△BCE中，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），故①式成立；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CAH=∠CBF
在△ACH和△BCF中
∵∠CAH=∠CBF，AC=BC，∠ACH=∠BCF
∴△ACH≌△BCF（ASA）
∴BF=AH，故②式成立；
（3）在△AFG和△BCF中，
∵∠FAG=∠CBF，∠BFC=∠AFG
∴∠AGB=∠BCF=60°，故③式成立；
（4）由（2）△ACH≌△BCF，可得CH=CF
又∵∠FCH=60°，
∴△FCH为等边三角形，故④式成立.
故答案为：D.
【分析】因为等边△ABC和等边△DCE有公共的顶点C，所以能产生SAS的一对全等三角形△ACD和△BCE，我们称之为“手拉手模型”，由△ACD和△BCE全等，得∠CAH=∠CBE，推导出△ACH≌△BCF，而由△ACH≌△BCF得CH和CF相等，加上中间的夹角∠FCH=60°，得到△CFH为等边三角形，根据“8字形图”由三角形的内角和定理可得∠AGB=∠BCF=60°，从而得证.
5．（2023七下·深圳期末）某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．点与点关于直线对称
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，DH=DH，
∴△DEH≌△DFH（SAS），
∴EH=FH，∠DEH=∠DFH，
∵，，
∴DH垂直平分EF，
∴ 点与点关于直线对称 ，
∴A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】证明△DEH≌△DFH（SAS），可得EH=FH，∠DEH=∠DFH，由，，利用等腰三角形的性质可得DH垂直平分EF，据此逐一判断即可.
6．（2023七下·杨浦期末）下列条件中，能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有一个内角是的两个直角三角形；
B．有一个内角是的两个等腰三角形；
C．有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形
D．有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、只知道角的关系，无法判断两个三角形全等，故不符合题意；
B、只知道角的关系，无法判断两个三角形全等，故不符合题意；
C、若这个内角50°，一个是顶角度数，一个是底角度数，则两个三角形不全等，故不符合题意；
D、有一个内角是100°的等腰三角形，则这个100°的内角只能是顶角，
∵腰长相等，
∴根据SAS可证明这两个三角形全等，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】 判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、AAS、ASA，据此逐一判断即可.
7．（2023八下·随县期末）如图，在正方形中，点的坐标是，点、分别在边、上，若，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，延长BA至点M，使AM=CE，并连接OM，
∵点B（6，6），∴BC=BA=6，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠C=∠COA=∠OAB=∠OAM=90°，OC=OA=6，
在△OCE与△OAM中，
∵OC=OA，∠C=∠OAM，CE=AM，
∴△OCE≌△OAM（SAS），
∴OE=OM，∠COE=∠AOM，
∵∠EOF=45°，
∴∠COE+∠AOF=∠AOF+∠AOM=∠FOM=45°，
∴∠EOF=∠MOF，
在△EOF与△MOF中，
∵OE=OM，∠EOF=∠MOF，OF=OF，
∴△EOF≌△MOF（SAS），
∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，
设AF=x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得，
∴EF=3+x，EB=3，FB=6-x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即32+（6-x）2=（3+x）2，
解得x=2，即AF=2，
∴点F的纵坐标为2.
故答案为：A.
【分析】连接EF，延长BA至点M，使AM=CE，并连接OM，先利用SAS证出△OCE≌△OAM，得OE=OM，∠COE=∠AOM，推出∠EOF=∠MOF，再用SAS证△EOF≌△MOF，得EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，用勾股定理算出CE，进而用含x的式子表示出EF、FB，在Rt△BEF中，利用勾股定理建立方程，求解可得答案.
8．（2023八下·宝安期末）如图，在中，的高BD、CE交于点，若，则AC的长为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BD，CE分别是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=AE
∴AB-AE=AC-AD
∴BE=CD
在△PBE与△PCD中，
∴△PBE≌△PCD（AAS）
∴PE=PD=6，PB=PC=10
∴DC=
设AD=x，则AC=AD+DC=x+8，AE=AD=x
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+EC2
∴（x+8）2=x2+162
∴x=12
∴AC=12+8=20
故答案为：B.
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE；再证明△PBE≌△PCD，得出PE=PD=6，PB=PC=10，再利用勾股定理求出DC=8.设AD=x，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AC的长.
二、填空题
9．（2023七下·福田期末）如图，点在线段上，，，，若，，则的度数为 ．
【答案】20
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：设，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20.
【分析】先利用平行线的性质通过SAS判定，再通过全等三角形的性质得到等腰三角形求得的度数，然后利用外角的性质列出方程解得的度数.
10．（2023七下·光明期末）如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ．
【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠可得∠ABE=∠CBE.
∵∠A=∠D，∠1=∠CED，
∴∠ABD=∠ACD=∠CBD.
∵∠A=∠D，AB=BD，∠ABE=∠CBE，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠2.
∵∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠2=180°.
故答案为：180.
【分析】由折叠可得∠ABE=∠CBE，由已知条件可知∠A=∠D，根据对顶角的性质可得∠1=∠CED，结合内角和定理可得∠ABD=∠ACD=∠CBD，利用ASA证明△ABE≌△DBC，得到BE=BC，则∠BEC=∠2，由邻补角的性质可得∠1+∠BEC=180°，据此解答.
11．（2023七下·深圳期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分别延长BA、CE交于点F，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∵为的角平分线 ，
∴∠CBE=∠FBE，
∵BE=BE，
∴△CBE≌△FBE（ASA），
∴EF=CE=，即CF=，
∵∠BAC=∠DEC=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠ADB=∠ECD，
∵∠BAD=∠FAC=90°，AB=AC，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴BD=CF=，
故答案为：.
【分析】分别延长BA、CE交于点F，先证△CBE≌△FBE（ASA），可得EF=CE=，即CF=，再证△BAD≌△CAF（ASA），可得BD=CF=.
12．（2023七下·金牛期末）已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵和都是等腰三角形，且，顶角，
∴FD=ED，∠CAB=72°，∠FDE=36°，∠EAD=108°，
由旋转得GD=AD，∠GDA=36°，
∴∠FDG=∠EDA，
易证△FDG≌△EDA（SAS），
∴∠FGD=∠EAD=108°，GF=EA，
当GF=EG时，如图所示：
易证△FGD≌△EGD（SSS），
∴∠EGD=108°，
∴∠FGE=144°；
当GF=EF时，如图所示：
∵GD=AD，∠GDA=36°，
∴∠AGD=∠GAD=72°，
∴∠FGD+∠AGD=180°，∠EAG=36°，
∴A、F、G共线，
∵GF=EF，GF=EA，
∴EF=EA，
∴∠EFG=∠EAG=36°，
∴∠FGE=72°，
综上所述，或，
故答案为：或
【分析】先根据三角形全等的性质结合等腰三角形的性质即可得到FD=ED，∠CAB=72°，∠FDE=36°，∠EAD=108°，进而根据旋转的性质得到GD=AD，∠GDA=36°，从而得到∠FDG=∠EDA，再根据三角形全等的判定与性质证明△FDG≌△EDA（SAS）即可得到∠FGD=∠EAD=108°，GF=EA，分类讨论：当GF=EG时，易证△FGD≌△EGD（SSS），进而结合题意即可求解；当GF=EF时，根据等腰三角形的性质结合题意得到∠AGD=∠GAD=72°，∠FGD+∠AGD=180°，∠EAG=36°，进而得到A、F、G共线，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
三、解答题
13．（2023七下·福田期末）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．试说明：，请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
解：，
（ ）．
，
，即 ▲ ．
在和中，，
（ ），
▲ （ ），
（ ）．
【答案】解：，
（两直线平行，内错角相等）．
，，即．
在和中，，
（），
（全等三角形的对应角相等），
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行线的性质通过AAS判定，再由全等三角形的性质得到内错角相等，进而证得.
14．（2023七下·文山期末）如图，和相交于点为的中点，．
求证：．
【答案】证明：，
，
在与中，
．
是的中点
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】本题利用角角边(AAS）判定两个三角形全等，也可以用角边角（ASA）判定全等.
四、综合题
15．（2023七下·普宁期末）如图（1），，，垂足分别为、，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为当点运动结束时，点运动随之结束．
（1）AP ， 用含的代数式表示；
（2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（3）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值．
【答案】（1）2t；（7-2t）
（2）解：△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：
证明：点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
当t=1时，AP=BQ=2cm，BP=7-2=5cm，
∵AC=5cm，
∴AC=BP，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△CAP与△PBQ中，
∵AC=PB，∠A=∠B=90°，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∵∠ACP+∠CPA=90°，
∴∠BPQ+∠CPA=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（3）解：由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，
分类讨论：
①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，
∴5=7-2t且2t=tx，
解得x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
∴5=xt且2t=7-2t，
解得t=，x=，
综上当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm；
故答案为：2t，（7-2t）；
【分析】（1）根据路程=速度×时间可表示出AP的长，进而根据BP=AB-AP可表示出BP；
（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：由题意易得AP=BQ，AC=BP，由垂直定义得∠A=∠B=90°，用SAS判断出△CAP≌△PBQ，得∠ACP=∠BPQ，从而由直角三角形两锐角互余、等量代换及平角定义可得∠CPQ=90°，根据垂直定义可得答案；
（3）由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，分别列出方程，求解可得答案.
16．（2023八下·潜山期末）如图，和均为等边三角形．
（1）找出与全等的三角形（不需要说明理由）；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据SAS可以判定△EBC≌△DAC；
（2）首先根据（1）的结论△EBC≌△DAC，可得出∠ADC=∠BEC，从而把∠ADB=82°，代换成∠BEC+∠CDB=82°，然后在△ECD中，根据三角形内角和等于180°，求出∠BDE+∠BED的度数，再在△BDE中，根据三角形内角和求出∠DBE即可。
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