2023-2024学年初中数学八年级上册 3.1 平方根 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·东方期末）实数9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．81
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根为±3.
故答案为：B.
【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根，据此解答.
2．（2023八上·桂平期末）已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（ ）
A．2023 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，n为两个连续的整数，且，
，，
，
故答案为：D.
【分析】由于，根据m、n为两个连续的整数，且，可求出m=3，n=4，再代入计算即可.
3．（2023八上·蒲城期末）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
在4和5之间，即
故答案为：A.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5<<6，然后求出-1的范围，据此解答.
4．（2022八上·延庆期末）如果n为整数，且，那么n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用估算无理数大小的方法求出，即可得到n的值。
5．（2022八上·右玉期末）点，点关于轴对称，则的平方根为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平方根；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，得，，
解得，，
则，a+b的平方根为．
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：纵坐标变为相反数，横坐标不变可得，，求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可。
6．（2023八上·达州期末）在-1.414，，π，2+，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有，π，，3.212212221…，一共4个.
故答案为：D
【分析】利用开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数；可得到已知数中是无理数的个数.
7．（2022八上·平谷期末）若，估计m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴m的值所在的范围是：；
故答案为：C．
【分析】根据可得，从而得解。
8．（2023八上·榆林期末）已知，介于两个连续自然数之间，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴即.
故答案为：A
【分析】利用估算无理数的大小可知，再利用不等式的性质，可得到a的取值范围.
二、填空题
9．（2023八上·开江期末）已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么ab的值是 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值；分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵9＜10＜16，
∴，即，
∵ a是的整数部分，b是的小数部分 ，
∴a=3，b=-3，
∴ab=3（-3）=.
故答案为：.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得，从而即可得出a、b的值，进而再qiua与b的积即可.
10．（2022八上·丹东期末）已知m，n为两个连续整数，且，则 ．
【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为：7
【分析】先求出，可得m=3，n=4，再将m、n代入m+n计算即可。
11．（2023八上·榆林期末）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 .
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴这个无理数可以是.
故答案为：
【分析】利用估算无理数的大小可知，即可得到这个无理数.
12．（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
（1）填空:x= ， y= .
（2）根据你发现的规律填空:
①已知 ≈1.414，则 = ， = ；
② = 0.274，记 的整数部分为x,则 = .
【答案】（1）0.1；10
（2）14.14；0.1414；
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴ ， ；
故答案为：0.1，10
( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ，
②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
13．（2019八上·惠安期中）已知 时， ．请你根据这个结论直接填空：
（1） ；
（2）若 ，则 ．
【答案】（1）3
（2）4039
【知识点】算术平方根；平方差公式及应用
【解析】【解答】（1） ；（2） ，
，
，
．
故答案为：3，4039．
【分析】（1）根据 时， ，直接计算 ，即可；（2）根据平方差公式可得x的值，进而得2x+1的值，即可求出 的值．
三、解答题
14．（2022八上·莲湖月考）已知2a-1的平方根是±1，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的平方根．
【答案】解：由题意得 ，则
，即
∴c=7
∴ ，
故答案为±6.
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【分析】根据平方根的定义可得，据此求出a、b值，再估算出，即得c值，再代入求解即可.
15．（2022八上·仁寿月考）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根．
【答案】解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，则，的小数部分是，则，
∴，
∴9的平方根为．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【分析】利用估算无理数的大小可知a，b的值，然后将a，b的值代入代数式，利用平方根的性质，进行计算，可求出结果.
四、计算题
16．设 ， ， ，…， ．若 ，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】解：∵ ， ， ，…， ． ∴S1=（ ）2 ， S2=（ ）2 ， S3=（ ）2 ， …，Sn=（ ）2 ，
∵ ，
∴S= ，
∴S=1+ ，
∴S=1+1﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ，
∴S=n+1﹣ =
【知识点】算术平方根；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据材料中的规律得到==，=，···求出S的代数式.
五、综合题
17．（2021八上·贵阳月考）阅读材料： 的整数部分为2， 的小数部分为 .
解决问题：
（1）填空： 的小数部分是 ；
（2）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求代数式 的值；
（3）已知：m是 的整数部分，n是其小数部分，求 的相反数.
【答案】（1）
（2）解：∵
∴
∵a是 的整数部分，b是 的小数部分
∴
∴ ；
（3）解：∵
∴
m是 的整数部分，n是其小数部分
∴ 的相反数为 .
【知识点】相反数及有理数的相反数；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1） 的整数部分为8， 的小数部分为 .
故答案为： ；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得8<<9，据此可得小数部分；
（2）根据估算无理数大小的方法可得4<<5，进而根据不等式的性质求出-4的范围，得到其整数部分以及小数部分，即a、b的值，然后代入进行计算；
（3）根据估算无理数大小的方法可得1<<2，进而根据不等式的性质求出2+的范围，求出m、n，进而可得m-n，最后根据相反数的概念进行求解.
18．（2019八上·罗湖期中）观察：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为 ﹣2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[ ]＝0，[π]＝3，填空：[ +2]＝ ；[5﹣ ]＝ ．
（2）如果5+ 的小数部分为a，5﹣ 的小数部分为b，求a2﹣b2的值．
【答案】（1）5；1
（2）根据题意，得
，
，
．
，
， ．
．
∴ 的值为 ．
【知识点】无理数的估值；代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵ ， ，
∴ 的整数部分为3， 的整数部分为3，
∴ ； ．
故答案为5、1．
【分析】（1）根据题目中所给规律即可得结果；（2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可．
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一、选择题
1．（2023八上·东方期末）实数9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．81
2．（2023八上·桂平期末）已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（ ）
A．2023 B． C．1 D．
3．（2023八上·蒲城期末）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·延庆期末）如果n为整数，且，那么n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022八上·右玉期末）点，点关于轴对称，则的平方根为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2023八上·达州期末）在-1.414，，π，2+，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
7．（2022八上·平谷期末）若，估计m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·榆林期末）已知，介于两个连续自然数之间，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·开江期末）已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么ab的值是 ．
10．（2022八上·丹东期末）已知m，n为两个连续整数，且，则 ．
11．（2023八上·榆林期末）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 .
12．（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
（1）填空:x= ， y= .
（2）根据你发现的规律填空:
①已知 ≈1.414，则 = ， = ；
② = 0.274，记 的整数部分为x,则 = .
13．（2019八上·惠安期中）已知 时， ．请你根据这个结论直接填空：
（1） ；
（2）若 ，则 ．
三、解答题
14．（2022八上·莲湖月考）已知2a-1的平方根是±1，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的平方根．
15．（2022八上·仁寿月考）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根．
四、计算题
16．设 ， ， ，…， ．若 ，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
五、综合题
17．（2021八上·贵阳月考）阅读材料： 的整数部分为2， 的小数部分为 .
解决问题：
（1）填空： 的小数部分是 ；
（2）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求代数式 的值；
（3）已知：m是 的整数部分，n是其小数部分，求 的相反数.
18．（2019八上·罗湖期中）观察：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为 ﹣2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[ ]＝0，[π]＝3，填空：[ +2]＝ ；[5﹣ ]＝ ．
（2）如果5+ 的小数部分为a，5﹣ 的小数部分为b，求a2﹣b2的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根为±3.
故答案为：B.
【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，n为两个连续的整数，且，
，，
，
故答案为：D.
【分析】由于，根据m、n为两个连续的整数，且，可求出m=3，n=4，再代入计算即可.
3．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
在4和5之间，即
故答案为：A.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5<<6，然后求出-1的范围，据此解答.
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用估算无理数大小的方法求出，即可得到n的值。
5．【答案】C
【知识点】平方根；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，得，，
解得，，
则，a+b的平方根为．
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：纵坐标变为相反数，横坐标不变可得，，求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可。
6．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有，π，，3.212212221…，一共4个.
故答案为：D
【分析】利用开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数；可得到已知数中是无理数的个数.
7．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴m的值所在的范围是：；
故答案为：C．
【分析】根据可得，从而得解。
8．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴即.
故答案为：A
【分析】利用估算无理数的大小可知，再利用不等式的性质，可得到a的取值范围.
9．【答案】
【知识点】无理数的估值；分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵9＜10＜16，
∴，即，
∵ a是的整数部分，b是的小数部分 ，
∴a=3，b=-3，
∴ab=3（-3）=.
故答案为：.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得，从而即可得出a、b的值，进而再qiua与b的积即可.
10．【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∴
故答案为：7
【分析】先求出，可得m=3，n=4，再将m、n代入m+n计算即可。
11．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴这个无理数可以是.
故答案为：
【分析】利用估算无理数的大小可知，即可得到这个无理数.
12．【答案】（1）0.1；10
（2）14.14；0.1414；
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴ ， ；
故答案为：0.1，10
( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ，
②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
13．【答案】（1）3
（2）4039
【知识点】算术平方根；平方差公式及应用
【解析】【解答】（1） ；（2） ，
，
，
．
故答案为：3，4039．
【分析】（1）根据 时， ，直接计算 ，即可；（2）根据平方差公式可得x的值，进而得2x+1的值，即可求出 的值．
14．【答案】解：由题意得 ，则
，即
∴c=7
∴ ，
故答案为±6.
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【分析】根据平方根的定义可得，据此求出a、b值，再估算出，即得c值，再代入求解即可.
15．【答案】解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，则，的小数部分是，则，
∴，
∴9的平方根为．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【分析】利用估算无理数的大小可知a，b的值，然后将a，b的值代入代数式，利用平方根的性质，进行计算，可求出结果.
16．【答案】解：∵ ， ， ，…， ． ∴S1=（ ）2 ， S2=（ ）2 ， S3=（ ）2 ， …，Sn=（ ）2 ，
∵ ，
∴S= ，
∴S=1+ ，
∴S=1+1﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ，
∴S=n+1﹣ =
【知识点】算术平方根；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据材料中的规律得到==，=，···求出S的代数式.
17．【答案】（1）
（2）解：∵
∴
∵a是 的整数部分，b是 的小数部分
∴
∴ ；
（3）解：∵
∴
m是 的整数部分，n是其小数部分
∴ 的相反数为 .
【知识点】相反数及有理数的相反数；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1） 的整数部分为8， 的小数部分为 .
故答案为： ；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得8<<9，据此可得小数部分；
（2）根据估算无理数大小的方法可得4<<5，进而根据不等式的性质求出-4的范围，得到其整数部分以及小数部分，即a、b的值，然后代入进行计算；
（3）根据估算无理数大小的方法可得1<<2，进而根据不等式的性质求出2+的范围，求出m、n，进而可得m-n，最后根据相反数的概念进行求解.
18．【答案】（1）5；1
（2）根据题意，得
，
，
．
，
， ．
．
∴ 的值为 ．
【知识点】无理数的估值；代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵ ， ，
∴ 的整数部分为3， 的整数部分为3，
∴ ； ．
故答案为5、1．
【分析】（1）根据题目中所给规律即可得结果；（2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可．
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