2023-2024学年初中数学八年级上册 3.3 实数 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·连江期末）下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、实数分为正实数、负实数、0，错误；
B、无线小数包含无限不循环小数（属于无理数）和无限循环小数（属于有理数），错误；
C、带根号的数不一定都是无理数，比如，错误；
D、无理数都是无限不循环小数，正确.
故答案为：D.
【分析】根据实数的分类（正实数、负实数和0）、无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）逐项判断即可.
2．（2023七下·濮阳期末）如图，若数轴上点A、B对应的实数分别为. 和，以B为圆心，BA长为半径画弧与正半轴交点C，则点C对应的实数是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；两点间的距离
【解析】【解答】解：∵数轴上点A、B对应的实数分别为. 和，
∴AB=，
∴BC=AB=，
∴OC=OB+BC=，
∴点C对应的实数为.
故答案为：C.
【分析】由数轴上两点间距离公式结合题意可得BC=AB=，则OC=OB+BC=，据此可得点C表示的数.
3．（2023七下·阳江期末）在实数中，最小的是（ ）
A．0 B． C． D．-3
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-3<-<-2<0，
∴最小的数为-3.
故答案为：D.
【分析】负数均小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行比较.
4．（2023七下·讷河期末）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点O）到达点A，点A对应的数是（ ）
A． B．3.14 C． D．－3.14
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：C=.
故选： A.
【分析】根据圆周长等于乘以直径可求解.
5．（2023七下·东港期末）估算的值，下列结论正确的是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴0＜-3＜1，
故答案为：A.
【分析】先估算出的范围，继而得出-3的范围即可.
6．（2022·七下潼南期末）如图，数轴上的点E，F，G，M，N，P分别表示数，0，1，2，3，4，则表示数的点应落在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴表示数的点应落在线段上，
故答案为：B
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而即可得到，再结合数轴即可求解。
7．（2023·吉安模拟）求的最小值（ ）
A．12 B．6 C． D．3
【答案】C
【知识点】无理数的绝对值
【解析】【解答】解：当x＜2时，原式，
∵x＜2，
∴；
当2≤x≤6时，原式，
∵2≤x≤6，
∴；
当6＜x≤12时，原式=，
∵6＜x≤12，
∴；
当x＞12时，原式，
∵x＞12，
∴，
综上所述：当x=6时， 的最小值是，
故答案为：C.
【分析】利用分类讨论的思想和绝对值的意义化简求解即可。
8．（2021七上·綦江期中）自定义运算： 例如： ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（ ）
A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，且 ，
根据题图可知： ，
当 时
∴ ，
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
当 时
∴ ，
∵
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题图可知 ，分两种情况：当 时 ，可得出；当 时 ，可得，然后根据自定义运算分别解答即可.
二、填空题
9．（2023七下·闽清期末）如图，把半径为1的圆从数轴上表示-1的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点，则点表示的数为 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵半径为1的圆的周长为2π，
∴AA'=2π，
∴ 点表示的数为；
故答案为：.
【分析】求出圆的周长即为AA'的长，再减去1即得点表示的数.
10．（2023八下·黄州期末）若是的小数部分，则 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴的整数部分为2，小数部分为m=-2，
∴m2=（-2）2=，
故填：.
【分析】先估算的大小，从而得出小数部分m值，再代入计算即可.
11．（2023七下·仙桃期末）已知，，，．若n为整数且，则n的值为 ．
【答案】44
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题干信息得：，，
∵1936＜2023＜2025，
∴44＜＜45，
∵，且n为整数，
∴n=44，
故答案为：44.
【分析】根据题目给出的信息：，，可得：44＜＜45，从而可以得出答案.
12．（2022七上·衢州期中）如图，将 1、，三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第排第列的数，（3，2）为第 3 排第 2 列的数为，则（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是 ．
1 第一排
第二排
第三排
第四排
第五排
…… 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 ……
【答案】
【知识点】实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵每三个数一循环，1、，，
（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2=30个，
30÷3=10，
∴（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，
∴（8，2）表示的数是；
（100，100）在数列中是第（1+99）×99÷2+100=5050个，
5050÷3=16831，
∴（100，100）表示的数正好是第1684轮的第一个数，
∴（100，100）表示的数是1，
∴（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是.
故答案为：
【分析】观察表中数据的排列规律可知每三个数一循环，1、，，第1排1个数，第2排2个数，第3排3个数第n排n个数，可得到（8，2）在数列中是第30个数，用30÷3，可得到（8，2）表示的数是；再求出100，100）在数列中是第5050个，用5050÷3，根据结果及余数，可得到（100，100）表示的数是1，然后求出（8，2）与（100，100）表示的两个数的积即可.
13．（2021七上·青岛期中）若 ，且x，y，z均不为零，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】有理数的加法；无理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ，且 ， ， 均不为零，
∴x，y，z的值可能是两负一正或两正一负，
①当 ， ， 时，其他两负一正的情况都是一样的，故这里只说明一种，则有：
，
②当 ， ， 时，则有：
，
综上所述： 的值为 ；
故答案为： ．
【分析】先求出x，y，z的值可能是两负一正或两正一负，再分类讨论，计算求解即可。
三、解答题
14．（2023七下·云阳期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】解：的平方根是
的立方根是2
的算术平方根为．
故答案为：．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】利用平方根的性质可得，求出a的值，再利用立方根的性质可得，求出b的值，再利用估算无理数大小的方法求出c的值，再将a、b、c的值代入计算即可。
15．（2023七下·江北期中）先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=-2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原式变形为， 根据阅读材料可得=0，=0 ，从而解出x、y的值，再代入计算即可.
四、综合题
16．（2023七下·固始期末）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10 x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10 x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）8
（2）解：∵面积为76的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8 x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8 x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81，
∴8＜＜9，
∴的整数部分是8；
故答案为：8.
【分析】（1）被开方数大，算术平方根就大，据此估算即可；
（2）根据题目提供的方法进行解答即可.
17．（2023七下·瑶海期末）我们容易发现：；；．
（1）观察以上各式，请判断与之间的大小关系，并说明理由；
（2）利用（1）中的结论，当，时，求的最小值；
（3）根据（1）中的结论猜想与之间的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∴当且仅当时，取得最小值2；
（3）解：，理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【知识点】无理数的大小比较；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再求最小值即可；
（3）先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 3.3 实数 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·连江期末）下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数
2．（2023七下·濮阳期末）如图，若数轴上点A、B对应的实数分别为. 和，以B为圆心，BA长为半径画弧与正半轴交点C，则点C对应的实数是（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2023七下·阳江期末）在实数中，最小的是（ ）
A．0 B． C． D．-3
4．（2023七下·讷河期末）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点O）到达点A，点A对应的数是（ ）
A． B．3.14 C． D．－3.14
5．（2023七下·东港期末）估算的值，下列结论正确的是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
6．（2022·七下潼南期末）如图，数轴上的点E，F，G，M，N，P分别表示数，0，1，2，3，4，则表示数的点应落在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
7．（2023·吉安模拟）求的最小值（ ）
A．12 B．6 C． D．3
8．（2021七上·綦江期中）自定义运算： 例如： ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（ ）
A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014
二、填空题
9．（2023七下·闽清期末）如图，把半径为1的圆从数轴上表示-1的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点，则点表示的数为 ．
10．（2023八下·黄州期末）若是的小数部分，则 ．
11．（2023七下·仙桃期末）已知，，，．若n为整数且，则n的值为 ．
12．（2022七上·衢州期中）如图，将 1、，三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第排第列的数，（3，2）为第 3 排第 2 列的数为，则（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是 ．
1 第一排
第二排
第三排
第四排
第五排
…… 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 ……
13．（2021七上·青岛期中）若 ，且x，y，z均不为零，则 的值为 ．
三、解答题
14．（2023七下·云阳期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根．
15．（2023七下·江北期中）先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=-2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
四、综合题
16．（2023七下·固始期末）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10 x+x2，S正方形＝107
∴102+2×10 x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
17．（2023七下·瑶海期末）我们容易发现：；；．
（1）观察以上各式，请判断与之间的大小关系，并说明理由；
（2）利用（1）中的结论，当，时，求的最小值；
（3）根据（1）中的结论猜想与之间的大小关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、实数分为正实数、负实数、0，错误；
B、无线小数包含无限不循环小数（属于无理数）和无限循环小数（属于有理数），错误；
C、带根号的数不一定都是无理数，比如，错误；
D、无理数都是无限不循环小数，正确.
故答案为：D.
【分析】根据实数的分类（正实数、负实数和0）、无理数的定义（无理数就是无限不循环小数）逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；两点间的距离
【解析】【解答】解：∵数轴上点A、B对应的实数分别为. 和，
∴AB=，
∴BC=AB=，
∴OC=OB+BC=，
∴点C对应的实数为.
故答案为：C.
【分析】由数轴上两点间距离公式结合题意可得BC=AB=，则OC=OB+BC=，据此可得点C表示的数.
3．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-3<-<-2<0，
∴最小的数为-3.
故答案为：D.
【分析】负数均小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行比较.
4．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：C=.
故选： A.
【分析】根据圆周长等于乘以直径可求解.
5．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴0＜-3＜1，
故答案为：A.
【分析】先估算出的范围，继而得出-3的范围即可.
6．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴表示数的点应落在线段上，
故答案为：B
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而即可得到，再结合数轴即可求解。
7．【答案】C
【知识点】无理数的绝对值
【解析】【解答】解：当x＜2时，原式，
∵x＜2，
∴；
当2≤x≤6时，原式，
∵2≤x≤6，
∴；
当6＜x≤12时，原式=，
∵6＜x≤12，
∴；
当x＞12时，原式，
∵x＞12，
∴，
综上所述：当x=6时， 的最小值是，
故答案为：C.
【分析】利用分类讨论的思想和绝对值的意义化简求解即可。
8．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，且 ，
根据题图可知： ，
当 时
∴ ，
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
当 时
∴ ，
∵
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题图可知 ，分两种情况：当 时 ，可得出；当 时 ，可得，然后根据自定义运算分别解答即可.
9．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵半径为1的圆的周长为2π，
∴AA'=2π，
∴ 点表示的数为；
故答案为：.
【分析】求出圆的周长即为AA'的长，再减去1即得点表示的数.
10．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴的整数部分为2，小数部分为m=-2，
∴m2=（-2）2=，
故填：.
【分析】先估算的大小，从而得出小数部分m值，再代入计算即可.
11．【答案】44
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题干信息得：，，
∵1936＜2023＜2025，
∴44＜＜45，
∵，且n为整数，
∴n=44，
故答案为：44.
【分析】根据题目给出的信息：，，可得：44＜＜45，从而可以得出答案.
12．【答案】
【知识点】实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵每三个数一循环，1、，，
（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2=30个，
30÷3=10，
∴（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，
∴（8，2）表示的数是；
（100，100）在数列中是第（1+99）×99÷2+100=5050个，
5050÷3=16831，
∴（100，100）表示的数正好是第1684轮的第一个数，
∴（100，100）表示的数是1，
∴（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是.
故答案为：
【分析】观察表中数据的排列规律可知每三个数一循环，1、，，第1排1个数，第2排2个数，第3排3个数第n排n个数，可得到（8，2）在数列中是第30个数，用30÷3，可得到（8，2）表示的数是；再求出100，100）在数列中是第5050个，用5050÷3，根据结果及余数，可得到（100，100）表示的数是1，然后求出（8，2）与（100，100）表示的两个数的积即可.
13．【答案】
【知识点】有理数的加法；无理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ，且 ， ， 均不为零，
∴x，y，z的值可能是两负一正或两正一负，
①当 ， ， 时，其他两负一正的情况都是一样的，故这里只说明一种，则有：
，
②当 ， ， 时，则有：
，
综上所述： 的值为 ；
故答案为： ．
【分析】先求出x，y，z的值可能是两负一正或两正一负，再分类讨论，计算求解即可。
14．【答案】解：的平方根是
的立方根是2
的算术平方根为．
故答案为：．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】利用平方根的性质可得，求出a的值，再利用立方根的性质可得，求出b的值，再利用估算无理数大小的方法求出c的值，再将a、b、c的值代入计算即可。
15．【答案】解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原式变形为， 根据阅读材料可得=0，=0 ，从而解出x、y的值，再代入计算即可.
16．【答案】（1）8
（2）解：∵面积为76的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形＝82+2×8 x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8 x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵64＜76＜81，
∴8＜＜9，
∴的整数部分是8；
故答案为：8.
【分析】（1）被开方数大，算术平方根就大，据此估算即可；
（2）根据题目提供的方法进行解答即可.
17．【答案】（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∴当且仅当时，取得最小值2；
（3）解：，理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【知识点】无理数的大小比较；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再求最小值即可；
（3）先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
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