2023-2024学年初中数学八年级上册 4.1 不等式 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·越秀期末）关于x的不等式的解集是，且，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
2．（2023七下·北京市期中）若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·北碚期中）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·深圳模拟）若 <2， >-3，则x的取值范围（ ）
A．
C．x< 或x> D．以上答案都不对
5．设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（ ）
A．480 B．479 C．448 D．447
6．（2011九上·四川竞赛）若不等式 有解，则实数 最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题
7．（2022·七下潼南期末）若关于x的一元一次不等式的解集为，则k= ．
8．（2023七下·北碚期中）已知不等式组的解集为，则 ．
9．（2023七下·恩阳期中）若与的和为非负数，则可列出不等式 ．
10．（2023八下·济阳期中）请根据图上信息，写出一个关于温度的不等式 ．
洗涤说明
手洗，勿浸泡，不超过40℃水温
11．（2019七上·北京月考）已知数轴上三点A、O、B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ；
（2）当x＝ 时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ；
（4）若点P到点A，点B，点O的距离之和最小，则最小距离为 ．
三、解答题
12．（2023七下·恩阳期中）解不等式：，将它的解集表示在数轴上并写出它的最大整数解．
13．（2022八下·白水期末）已知一次函数 ，若其函数值y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，求m的取值范围．
四、综合题
14．（2023·东昌府模拟）为了更好地打造生态文明城，桃源社区计划用公益基金购进甲、乙两种体育器材供市民锻炼身体．调查发现：若购买甲种体育器材3个，乙种体育器材2个，共需要资金1.2万元；若购买甲种体育器材4个，乙种体育器材3个，共需要资金1.7万元．
（1）甲、乙两种体育器材的单价分别是多少万元？
（2）若该社区计划购进这两种体育器材共20个，而最多提供公益基金4.8万元，甲种体育器材至少购进多少个？
15．（2022七下·绥中期末）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，提高学生的身体素质，某校计划为学生购买一些篮球和排球．已知购买1个篮球和2个排球共需170元，购买2个篮球和3个排球共需290元．
（1）求一个篮球和一个排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球和排球共30个，总费用不超过1600元，那么最多可购买篮球多少个？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵不等式(a-b)x+2a+3b>7的解集为x<1，且b=2a，
∴x<==1，
∴8a-7=a，
∴a=1，
∴b=2a=2，
∴a+b=1+2=3.
故答案为：C.
【分析】由题意可得x<==1，求解可得a的值，进而可求出b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
2．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：A、在m＞-1两边都乘上4可得，4m＞-4，故此选项不符合题意；
B、在m＞-1两边都乘上-5可得，-5m＜5，故此选项符合题意；
C、在m＞-1两边都加上1可得，m+1＞0，故此选项不符合题意；
D、根据不等式性质3可知，m＞-1两边同乘以-1时，可得-m＜1，再在m＜1的两边同时加上1，可得1-m＜2，故此选项符合题意．
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质分析判断即可．
3．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；不等式的定义
【解析】【解答】A、x＞-3，故A不符合题意；
B、x＜3，故B符合题意；
C、x≥3，故C不符合题意；
D、x＞3，故D不符合题意．
故答案为：B
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
4．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】①∵ ，
∴ 或 ；
②∵ ，
∴ 或 ；
综合①②可得： 或 .
故答案为：C.
【分析】解①不等式得 x < 0 或 x > ；解不等式②得 x > 0 或 x < ；然后根据同大取大，或同小取小得出答案。
5．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】∵a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，
∴d=19，c＜4×19=76，
∴c=75，b＜3×75=225，
∴b=224，a＜2×224=448，
∴a=447，
故选D
【分析】根据d＜20，d都整数，就可以求出d的值，进而就可以得到a，b，c的值
6．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】当x＜1，原不等式变为：2-2x+9-3x≤a，解得x≥ ， ∴ ＜1，解得a＞6； 当1≤x≤3，原不等式变为：2x-2+9-3x≤a，解得x≥7-a， ∴1≤7-a≤3，解得4≤a≤6； 当x＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a，解得x＜ ， ∴ ＞3，解得a＞4； 综上所述，实数a最小值是4． 故答案为：C．
【分析】分类讨论：当x＜1或1≤x≤3或x＞3，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．本题考查了解含绝对值的一元一次不等式的解法：讨论x的取值范围，然后去绝对值．也考查了不等式和不等式组的解法以及分类讨论思想的运用．
7．【答案】5
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∵关于x的一元一次不等式的解集为，
∴，
∴k=5，
故答案为：5
【分析】先求出不等式的解集，进而结合题意即可求解。
8．【答案】
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】由得，
∵不等式组的解集为-1＜x＜3，
∴a+1＝3，3+2b＝-1，
解得：a＝2，b＝-2，
∴（a+1）（b-1）＝（2+1）×（-2-1）＝-9，
故答案为：-9
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为-1＜x＜3，可以求出a、b的值，从而求得（a+1）（b-1）的值
9．【答案】m+3≥0
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】若与的和为非负数，则可列出不等式 m+3≥0
【分析】非负数即≥0的数
10．【答案】
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】直接根据表格翻译条件即可求解。
11．【答案】（1）－1
（2）﹣4或2
（3）﹣3≤x≤1
（4）4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：（1） 、 对应的数分别为 ，1，
如果点 到点 ，点 的距离相等，
则 ，
故答案为： ；（2） 点 、点 的距离之和为4
若要使得点 到点 、点 的距离之和是6
则点 位于点 左侧一个单位或点 位于点 右侧1个单位，
即： 或 时，点 到点 、点 的距离之和是6；（3） 点 位于点 和点 之间时，点 到点 ，点 的距离之和最小，
此时 的取值范围是
故答案为： ．（4）若点 位于点 时，点 到点 ，点 ，点 的距离之和最小
最小值为线段 的长，即4．
故答案为：4．
【分析】（1）点 位于点 和点 中间时，点 到点 和点 的距离相等；（2）根据点 、点 的距离之和为4，将点 从点 向左移动1个单位或向右移动1个单位，则点 到点 和点 的距离之和为6，据此可解；（3）点 位于点 和点 之间时，点 到点 ，点 的距离之和最小，据此可解；（4）点 位于点 时，点 到点 ，点 ，点 的距离之和最小，据此可解．
12．【答案】解：
∴，
∴，
∴，
∴，
在数轴上表示不等式的解集为：
其中最大整数解为：4．
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的方法，求出该不等式的解集，然后写出相应的最大整数解即可
13．【答案】解：依题意，得：
解得 ．
∴m的取值范围为 ．
【知识点】不等式的解及解集；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】对于一次函数，y随着x的增大而减小，可知自变量的系数小于0，据此得1-3m<0；由图象不经过第一象限，可知常数项不为正数，据此得m-4≤0，求解出m的取值范围即可.
14．【答案】（1）解：设甲种体育器材的单价是x万元，乙种体育器材的单价是y万元，则
，解得，
答：甲种体育器材的单价是0.2万元，乙种体育器材的单价是0.3万元；
（2）解：设甲种体育器材购进a个，则乙种体育器材购进个，则
，
∴，
∴甲种体育器材至少购进12个．
【知识点】不等式的解及解集；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）设甲种体育器材的单价是x万元，乙种体育器材的单价是y万元，列二元一次方程组解答；
（2）设甲种体育器材购进a个，则乙种体育器材购进（20-a）个，根据最多提供公益基金4.8万元列不等式解答
15．【答案】（1）解：设篮球的单价为x元，排球的单价为y元
由题意可得： ，解得．
答：一个篮球和一个排球的价格分别为70元和50元．
（2）解：设购买篮球m个，则购买排球（30-m）个
由题意可得：70m+50（30-m）≤1600，解得：m≤5
所以最多可购买5个篮球．
答：最多可购买5个篮球．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据购买1个篮球和2个排球共需170元，购买2个篮球和3个排球共需290元
设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，得出，求解即可。
（2）可设购买篮球m个，则购买排球（30-m）个。根据题意可得：70m+50（30-m）≤1600求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 4.1 不等式 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·越秀期末）关于x的不等式的解集是，且，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵不等式(a-b)x+2a+3b>7的解集为x<1，且b=2a，
∴x<==1，
∴8a-7=a，
∴a=1，
∴b=2a=2，
∴a+b=1+2=3.
故答案为：C.
【分析】由题意可得x<==1，求解可得a的值，进而可求出b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
2．（2023七下·北京市期中）若，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：A、在m＞-1两边都乘上4可得，4m＞-4，故此选项不符合题意；
B、在m＞-1两边都乘上-5可得，-5m＜5，故此选项符合题意；
C、在m＞-1两边都加上1可得，m+1＞0，故此选项不符合题意；
D、根据不等式性质3可知，m＞-1两边同乘以-1时，可得-m＜1，再在m＜1的两边同时加上1，可得1-m＜2，故此选项符合题意．
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质分析判断即可．
3．（2023七下·北碚期中）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；不等式的定义
【解析】【解答】A、x＞-3，故A不符合题意；
B、x＜3，故B符合题意；
C、x≥3，故C不符合题意；
D、x＞3，故D不符合题意．
故答案为：B
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
4．（2018·深圳模拟）若 <2， >-3，则x的取值范围（ ）
A．
C．x< 或x> D．以上答案都不对
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】①∵ ，
∴ 或 ；
②∵ ，
∴ 或 ；
综合①②可得： 或 .
故答案为：C.
【分析】解①不等式得 x < 0 或 x > ；解不等式②得 x > 0 或 x < ；然后根据同大取大，或同小取小得出答案。
5．设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（ ）
A．480 B．479 C．448 D．447
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】∵a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，
∴d=19，c＜4×19=76，
∴c=75，b＜3×75=225，
∴b=224，a＜2×224=448，
∴a=447，
故选D
【分析】根据d＜20，d都整数，就可以求出d的值，进而就可以得到a，b，c的值
6．（2011九上·四川竞赛）若不等式 有解，则实数 最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】当x＜1，原不等式变为：2-2x+9-3x≤a，解得x≥ ， ∴ ＜1，解得a＞6； 当1≤x≤3，原不等式变为：2x-2+9-3x≤a，解得x≥7-a， ∴1≤7-a≤3，解得4≤a≤6； 当x＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a，解得x＜ ， ∴ ＞3，解得a＞4； 综上所述，实数a最小值是4． 故答案为：C．
【分析】分类讨论：当x＜1或1≤x≤3或x＞3，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．本题考查了解含绝对值的一元一次不等式的解法：讨论x的取值范围，然后去绝对值．也考查了不等式和不等式组的解法以及分类讨论思想的运用．
二、填空题
7．（2022·七下潼南期末）若关于x的一元一次不等式的解集为，则k= ．
【答案】5
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∵关于x的一元一次不等式的解集为，
∴，
∴k=5，
故答案为：5
【分析】先求出不等式的解集，进而结合题意即可求解。
8．（2023七下·北碚期中）已知不等式组的解集为，则 ．
【答案】
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】由得，
∵不等式组的解集为-1＜x＜3，
∴a+1＝3，3+2b＝-1，
解得：a＝2，b＝-2，
∴（a+1）（b-1）＝（2+1）×（-2-1）＝-9，
故答案为：-9
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为-1＜x＜3，可以求出a、b的值，从而求得（a+1）（b-1）的值
9．（2023七下·恩阳期中）若与的和为非负数，则可列出不等式 ．
【答案】m+3≥0
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】若与的和为非负数，则可列出不等式 m+3≥0
【分析】非负数即≥0的数
10．（2023八下·济阳期中）请根据图上信息，写出一个关于温度的不等式 ．
洗涤说明
手洗，勿浸泡，不超过40℃水温
【答案】
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】直接根据表格翻译条件即可求解。
11．（2019七上·北京月考）已知数轴上三点A、O、B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ；
（2）当x＝ 时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ；
（4）若点P到点A，点B，点O的距离之和最小，则最小距离为 ．
【答案】（1）－1
（2）﹣4或2
（3）﹣3≤x≤1
（4）4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：（1） 、 对应的数分别为 ，1，
如果点 到点 ，点 的距离相等，
则 ，
故答案为： ；（2） 点 、点 的距离之和为4
若要使得点 到点 、点 的距离之和是6
则点 位于点 左侧一个单位或点 位于点 右侧1个单位，
即： 或 时，点 到点 、点 的距离之和是6；（3） 点 位于点 和点 之间时，点 到点 ，点 的距离之和最小，
此时 的取值范围是
故答案为： ．（4）若点 位于点 时，点 到点 ，点 ，点 的距离之和最小
最小值为线段 的长，即4．
故答案为：4．
【分析】（1）点 位于点 和点 中间时，点 到点 和点 的距离相等；（2）根据点 、点 的距离之和为4，将点 从点 向左移动1个单位或向右移动1个单位，则点 到点 和点 的距离之和为6，据此可解；（3）点 位于点 和点 之间时，点 到点 ，点 的距离之和最小，据此可解；（4）点 位于点 时，点 到点 ，点 ，点 的距离之和最小，据此可解．
三、解答题
12．（2023七下·恩阳期中）解不等式：，将它的解集表示在数轴上并写出它的最大整数解．
【答案】解：
∴，
∴，
∴，
∴，
在数轴上表示不等式的解集为：
其中最大整数解为：4．
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的方法，求出该不等式的解集，然后写出相应的最大整数解即可
13．（2022八下·白水期末）已知一次函数 ，若其函数值y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，求m的取值范围．
【答案】解：依题意，得：
解得 ．
∴m的取值范围为 ．
【知识点】不等式的解及解集；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】对于一次函数，y随着x的增大而减小，可知自变量的系数小于0，据此得1-3m<0；由图象不经过第一象限，可知常数项不为正数，据此得m-4≤0，求解出m的取值范围即可.
四、综合题
14．（2023·东昌府模拟）为了更好地打造生态文明城，桃源社区计划用公益基金购进甲、乙两种体育器材供市民锻炼身体．调查发现：若购买甲种体育器材3个，乙种体育器材2个，共需要资金1.2万元；若购买甲种体育器材4个，乙种体育器材3个，共需要资金1.7万元．
（1）甲、乙两种体育器材的单价分别是多少万元？
（2）若该社区计划购进这两种体育器材共20个，而最多提供公益基金4.8万元，甲种体育器材至少购进多少个？
【答案】（1）解：设甲种体育器材的单价是x万元，乙种体育器材的单价是y万元，则
，解得，
答：甲种体育器材的单价是0.2万元，乙种体育器材的单价是0.3万元；
（2）解：设甲种体育器材购进a个，则乙种体育器材购进个，则
，
∴，
∴甲种体育器材至少购进12个．
【知识点】不等式的解及解集；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）设甲种体育器材的单价是x万元，乙种体育器材的单价是y万元，列二元一次方程组解答；
（2）设甲种体育器材购进a个，则乙种体育器材购进（20-a）个，根据最多提供公益基金4.8万元列不等式解答
15．（2022七下·绥中期末）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，提高学生的身体素质，某校计划为学生购买一些篮球和排球．已知购买1个篮球和2个排球共需170元，购买2个篮球和3个排球共需290元．
（1）求一个篮球和一个排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球和排球共30个，总费用不超过1600元，那么最多可购买篮球多少个？
【答案】（1）解：设篮球的单价为x元，排球的单价为y元
由题意可得： ，解得．
答：一个篮球和一个排球的价格分别为70元和50元．
（2）解：设购买篮球m个，则购买排球（30-m）个
由题意可得：70m+50（30-m）≤1600，解得：m≤5
所以最多可购买5个篮球．
答：最多可购买5个篮球．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据购买1个篮球和2个排球共需170元，购买2个篮球和3个排球共需290元
设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，得出，求解即可。
（2）可设购买篮球m个，则购买排球（30-m）个。根据题意可得：70m+50（30-m）≤1600求解即可。
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