2023-2024学年初中数学八年级上册 4.2 不等式的基本性质 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·温州期末）若x>y，则下列不等式成立的是（ ）
A．-2x>-2y B．x-62．（2023八上·绍兴期末）如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ）
A．a-3＞b-3 B． C．-2a＜-2b D．-2+a＜-2+b
3．无论x取何值，下列不等式总成立的是（ ）。
A． B． C． D．
4．（2022八上·青田期中）若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·杭州期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·杭州期末）若，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019八下·太原期中）a，b 都是实数，且 a ＜b，则下列不等式的变形正确是（ ）
A．a+m＞b+m B．-a+1＜-b+1 C．3a＜3b D．2a>2b
8．（2023八上·鄞州期末）已知0 ≤ a－b ≤ 2且1≤ a+b ≤ 3，则a的取值范围是（ ）
A．≤ a ≤ B．≤ a ≤ C．1≤ a ≤2 D．2≤ a ≤3
二、填空题
9．（2022八上·新昌月考）选择适当的不等号填空：若，且，则a c.
10．（2022八上·绵阳竞赛）若，且，，设，则t的取值范围为 .
11．（2022八上·富阳期中）选择适当的不等号填空：，则 -2b
12．（2022八上·长沙开学考）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②若x﹣y＝3，则t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，则M的最小值为﹣3；其中正确的有 （填写正确答案的序号）．
13．（2021八上·余杭月考）比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则 .
（2）若，为实数，则 .
三、解答题
14．（2022八上·苍南期中）已知x＜y，请比较与的大小，并说明理由.
15．（2020八上·镇海期中）某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：
你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。
四、综合题
16．（2022八上·温州期中）当时，
（1）请比较与的大小，并说明理由.
（2）若，则的取值范围为 直接写出答案
17．（2022八上·余姚期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a-b＞0，则a b；
（2）若a-b＝0，则a b；
（3）若a-b＜0，则a b．
（4）这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＞y，∴-2x＜-2y，故此选项错误，不符合题意；
B、∵x＞y，∴x-6＞y-6，故此选项错误，不符合题意；
C、∵x＞y，∴x-y＞0，故此选项错误，不符合题意；
D、∵x＞y，∴，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-3＞b-3，故此选项正确，不符合题意；
B、∵a＞b，∴，故此选项正确，不符合题意；
C、∵a＞b，∴-2a＜-2b，故此选项正确，不符合题意；
D、根据不等式的性质可得：-2+a＜-2+b不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】偶次方的非负性；不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质依次分析各选项即可作出判断。
j【解答】A、当时，；
B、当时，；
C、，故错误；
D、，本选项正确。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握不等式的性质，即可完成。
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
则.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可得不等式，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A、由 ，得 ，故本选项不合题意；
B、由 ，得 ，故本选项符合题意；
C、由 ，得 ，故本选项不合题意；
D、由 ，得 ，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不正确，不符合题意；
B. ，，故本选项不正确，不符合题意；
C. ，，故本选项正确，符合题意；
D. ，，故本选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A. a+m＞b+m ，不等式两边同时加上m，不等号方向不变，故A选项不符合题意；
B. -a+1＜-b+1，不等式两边同时乘﹣1后，又同时加1，不等号方向改变，故B选项不符合题意；
C. 3a＜3b，不等式两边同时乘3，不等号方向不变，故C选项符合题意；
D. 2a>2b，不等式两边同时乘2，不等号方向不变，故D选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加（减）正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（除）正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（除）负数，不等号方向改变；逐个选项分析判断即可.
8．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 0 ≤ a-b ≤ 2且1≤ a+b ≤ 3，
∴1≤2a≤5，
∴.
故答案为：B.
【分析】直接将两个不等式相加后两边在同时除以2即可得出答案.
9．【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴ .
故答案为：.
【分析】根据不等式的传递性进行解答.
10．【答案】-2≤t≤-1
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ，，
∴
解得： 而，
∵，
∴
∴t的取值范围是：-2≤t≤-1
故答案为：-2≤t≤-1.
【分析】由c≤9得3b+12≤18，求解并结合题意可得0≤b≤2，根据连等式的性质分别由含b的式子表示出a、c，并代入t所表示的式子化简可得t=b-2，根据前面求出的b的取值范围并结合不等式的性质即可求出t的取值范围.
11．【答案】＞
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜b，
∴-2a＞-2b.
故答案为：＞.
【分析】利用不等式的性质3，可得答案.
12．【答案】①②③
【知识点】不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
（2）﹣（1）得：4y＝4t﹣4，
∴y＝t﹣1，
把y＝t﹣1代入（2）得x＝2t+1，
∴，
当t＝0时，，
∴是方程组的解，故①正确；
若x﹣y＝3，则2t+1﹣（t﹣1）＝3，
∴t＝1，故②正确；
∵M＝2x﹣y﹣t＝2（2t+1）﹣（t﹣1）﹣t＝2t+3，﹣3≤t≤1，
∴﹣3≤M≤5，
∴M的最小值为﹣3，故③正确；
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】将方程组中的两个方程相减可得y，将y代入第二个方程中表示出x，据此可得方程组的解，令t=0，求出x、y的值，据此判断①；根据x-y＝3可得关于t的方程，求出t的值，进而判断②；根据x、y可得M＝2x-y-t＝2t+3，结合t的范围可得M的范围，据此判断③.
13．【答案】（1）＜
（2）＞
【知识点】无理数的大小比较；偶次方的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1），且，
，
.
故答案为：＜；
（2）
，
.
故答案为：＞.
【分析】（1）根据不等式的性质：给不等式两边同时乘以一个负数，不等号改变，可得a-b<0，据此可得a与b的大小关系；
（2）利用作差法求出两个多项式的差，然后结合偶次幂的非负性判断出差的正负，进行解答.
14．【答案】解： ＞ ，理由如下：
∵x＜y，
∴-3x＞-3y（不等式性质2），
∴ ＞ （不等式性质1）.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】 由x＜y ，利用不等式的性质2可得-3x＞-3y，再利用不等式的性质1可得 ＞ .
15．【答案】解：（1）正确
∵a>b
∴a+c>b+c (1)不等式两边同时加一个相同的数不等号方向不变
∵c>d
∴b+c>b+d (2) 同上
∴a+c>b+d 不等式的传递性
（ 2 ）错误
举反例，答案不唯一。
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的传递性可对小英的说法作出判断；对小亮的说法举出反例进行说明即可。
16．【答案】（1）解： ，
理由是： ，
，
，
；
（2）a＜3
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（2） ， ，
，
，
即 的取值范围是a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】（1）利用作差法求出-3x+5与-3y+5的差，进而结合已知判断差的正负，当差大于零时，-3x+5＞-3y+5，当差小于零时，-3x+5＜-3y+5，当差等于0时，-3x+5=-3y+5；
（2）根据不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即可判断得出答案.
17．【答案】（1）＞
（2）＝
（3）＜
（4）解：（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1）
＝4+3a2-2b+b2-3a2+2b-1
＝b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2-2b+b2＞3a2-2b+1．
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）若a-b＞0，则a＞b；
故答案为：＞
（2）若a-b＝0，则a＝b；
故答案为：=
（3）若a-b＜0，则a＜b．
故答案为：＜
【分析】（1）利用不等式的性质1，可得答案.
（2）移项后，可得到a，b的数量关系.
（3）利用不等式的性质1，可得答案.
（4）利用求差法，先列式可得到（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1），再去括号，合并同类项，可得到其结果为b2+3，利用平方的非负性可得到b2+3＞0，由此可得答案.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 4.2 不等式的基本性质 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·温州期末）若x>y，则下列不等式成立的是（ ）
A．-2x>-2y B．x-6【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＞y，∴-2x＜-2y，故此选项错误，不符合题意；
B、∵x＞y，∴x-6＞y-6，故此选项错误，不符合题意；
C、∵x＞y，∴x-y＞0，故此选项错误，不符合题意；
D、∵x＞y，∴，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
2．（2023八上·绍兴期末）如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ）
A．a-3＞b-3 B． C．-2a＜-2b D．-2+a＜-2+b
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-3＞b-3，故此选项正确，不符合题意；
B、∵a＞b，∴，故此选项正确，不符合题意；
C、∵a＞b，∴-2a＜-2b，故此选项正确，不符合题意；
D、根据不等式的性质可得：-2+a＜-2+b不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
3．无论x取何值，下列不等式总成立的是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】偶次方的非负性；不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质依次分析各选项即可作出判断。
j【解答】A、当时，；
B、当时，；
C、，故错误；
D、，本选项正确。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握不等式的性质，即可完成。
4．（2022八上·青田期中）若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
则.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可得不等式，求解即可.
5．（2022八上·杭州期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A、由 ，得 ，故本选项不合题意；
B、由 ，得 ，故本选项符合题意；
C、由 ，得 ，故本选项不合题意；
D、由 ，得 ，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
6．（2023八上·杭州期末）若，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不正确，不符合题意；
B. ，，故本选项不正确，不符合题意；
C. ，，故本选项正确，符合题意；
D. ，，故本选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
7．（2019八下·太原期中）a，b 都是实数，且 a ＜b，则下列不等式的变形正确是（ ）
A．a+m＞b+m B．-a+1＜-b+1 C．3a＜3b D．2a>2b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A. a+m＞b+m ，不等式两边同时加上m，不等号方向不变，故A选项不符合题意；
B. -a+1＜-b+1，不等式两边同时乘﹣1后，又同时加1，不等号方向改变，故B选项不符合题意；
C. 3a＜3b，不等式两边同时乘3，不等号方向不变，故C选项符合题意；
D. 2a>2b，不等式两边同时乘2，不等号方向不变，故D选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加（减）正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（除）正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（除）负数，不等号方向改变；逐个选项分析判断即可.
8．（2023八上·鄞州期末）已知0 ≤ a－b ≤ 2且1≤ a+b ≤ 3，则a的取值范围是（ ）
A．≤ a ≤ B．≤ a ≤ C．1≤ a ≤2 D．2≤ a ≤3
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 0 ≤ a-b ≤ 2且1≤ a+b ≤ 3，
∴1≤2a≤5，
∴.
故答案为：B.
【分析】直接将两个不等式相加后两边在同时除以2即可得出答案.
二、填空题
9．（2022八上·新昌月考）选择适当的不等号填空：若，且，则a c.
【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴ .
故答案为：.
【分析】根据不等式的传递性进行解答.
10．（2022八上·绵阳竞赛）若，且，，设，则t的取值范围为 .
【答案】-2≤t≤-1
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ，，
∴
解得： 而，
∵，
∴
∴t的取值范围是：-2≤t≤-1
故答案为：-2≤t≤-1.
【分析】由c≤9得3b+12≤18，求解并结合题意可得0≤b≤2，根据连等式的性质分别由含b的式子表示出a、c，并代入t所表示的式子化简可得t=b-2，根据前面求出的b的取值范围并结合不等式的性质即可求出t的取值范围.
11．（2022八上·富阳期中）选择适当的不等号填空：，则 -2b
【答案】＞
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜b，
∴-2a＞-2b.
故答案为：＞.
【分析】利用不等式的性质3，可得答案.
12．（2022八上·长沙开学考）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②若x﹣y＝3，则t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，则M的最小值为﹣3；其中正确的有 （填写正确答案的序号）．
【答案】①②③
【知识点】不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
（2）﹣（1）得：4y＝4t﹣4，
∴y＝t﹣1，
把y＝t﹣1代入（2）得x＝2t+1，
∴，
当t＝0时，，
∴是方程组的解，故①正确；
若x﹣y＝3，则2t+1﹣（t﹣1）＝3，
∴t＝1，故②正确；
∵M＝2x﹣y﹣t＝2（2t+1）﹣（t﹣1）﹣t＝2t+3，﹣3≤t≤1，
∴﹣3≤M≤5，
∴M的最小值为﹣3，故③正确；
∴正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】将方程组中的两个方程相减可得y，将y代入第二个方程中表示出x，据此可得方程组的解，令t=0，求出x、y的值，据此判断①；根据x-y＝3可得关于t的方程，求出t的值，进而判断②；根据x、y可得M＝2x-y-t＝2t+3，结合t的范围可得M的范围，据此判断③.
13．（2021八上·余杭月考）比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则 .
（2）若，为实数，则 .
【答案】（1）＜
（2）＞
【知识点】无理数的大小比较；偶次方的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1），且，
，
.
故答案为：＜；
（2）
，
.
故答案为：＞.
【分析】（1）根据不等式的性质：给不等式两边同时乘以一个负数，不等号改变，可得a-b<0，据此可得a与b的大小关系；
（2）利用作差法求出两个多项式的差，然后结合偶次幂的非负性判断出差的正负，进行解答.
三、解答题
14．（2022八上·苍南期中）已知x＜y，请比较与的大小，并说明理由.
【答案】解： ＞ ，理由如下：
∵x＜y，
∴-3x＞-3y（不等式性质2），
∴ ＞ （不等式性质1）.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】 由x＜y ，利用不等式的性质2可得-3x＞-3y，再利用不等式的性质1可得 ＞ .
15．（2020八上·镇海期中）某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：
你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。
【答案】解：（1）正确
∵a>b
∴a+c>b+c (1)不等式两边同时加一个相同的数不等号方向不变
∵c>d
∴b+c>b+d (2) 同上
∴a+c>b+d 不等式的传递性
（ 2 ）错误
举反例，答案不唯一。
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的传递性可对小英的说法作出判断；对小亮的说法举出反例进行说明即可。
四、综合题
16．（2022八上·温州期中）当时，
（1）请比较与的大小，并说明理由.
（2）若，则的取值范围为 直接写出答案
【答案】（1）解： ，
理由是： ，
，
，
；
（2）a＜3
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（2） ， ，
，
，
即 的取值范围是a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】（1）利用作差法求出-3x+5与-3y+5的差，进而结合已知判断差的正负，当差大于零时，-3x+5＞-3y+5，当差小于零时，-3x+5＜-3y+5，当差等于0时，-3x+5=-3y+5；
（2）根据不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即可判断得出答案.
17．（2022八上·余姚期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a-b＞0，则a b；
（2）若a-b＝0，则a b；
（3）若a-b＜0，则a b．
（4）这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小．
【答案】（1）＞
（2）＝
（3）＜
（4）解：（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1）
＝4+3a2-2b+b2-3a2+2b-1
＝b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2-2b+b2＞3a2-2b+1．
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）若a-b＞0，则a＞b；
故答案为：＞
（2）若a-b＝0，则a＝b；
故答案为：=
（3）若a-b＜0，则a＜b．
故答案为：＜
【分析】（1）利用不等式的性质1，可得答案.
（2）移项后，可得到a，b的数量关系.
（3）利用不等式的性质1，可得答案.
（4）利用求差法，先列式可得到（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1），再去括号，合并同类项，可得到其结果为b2+3，利用平方的非负性可得到b2+3＞0，由此可得答案.
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