2023-2024学年初中数学八年级上册 4.2 不等式的基本性质 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·青羊期末）若ab，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+3b+3 B．-2a-2b C． D．a2b2
2．（2023八下·福田期末）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．a是一个整数，比较a与3a的大小是（ ）
A．a>3a B．a<3a C．a=3a D．无法确定
4．（2023七下·越秀期末）下列命题中为真命题的是（ ）
A．的平方根是
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．同旁内角互补
D．若，则
5．（2023七下·如东月考）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·汉川期末）若，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·石家庄期中）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·宁波月考）设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
二、填空题
9．（2023八下·连平月考）已知关于的不等式的解是．则的取值范围是 ．
10．（2023七下·建邺期末）若，则的取值范围为 .
11．（2023八下·泗县月考）用“”或“”填空：若，则+1 +1．
12．（2022七上·海曙期中）若整数满足，则的值是 .
13．（2022七下·浉河期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为 ．
三、解答题
14．（2022七上·鄞州期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求．
15．（2022九上·福建竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组 若 .求 的最小值.
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 ， 为两组实数， 是 的任一排列，则 .
四、综合题
16．（2020八上·下城期末）已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
17．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为a＞b，所以a+3＞b+3，故A一定成立；
B：因为a＞b，所以-2a＜-2b，故B一定成立；
C：因为a＞b，所以，故C一定成立；
D：若a=1，b=-2，则a＞b，但是a2=1，b2=4，1＜4，即a2＜b2，故D不一定成立。
故答案为：D。
【分析】根据不等式的性质，分别判断即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，
，A错误；
B、，
，B错误；
C、，
，C错误；
D、，
，D正确，
故答案为：D.
【分析】不等式的基本性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】本题不确定a的情况，分情况讨论：
若a<0，则A成立，B、C不成立；若a>0，则B成立，A、C不成立；若a=0，则C成立，A、B不成立；因不知a的具体大小，故无法确定其大小。
故答案为：D.
【分析】本题不确定a的情况，分①a<0，②a>0，③a=0三种情况分别得出a与3a的大小，从而得出答案。
4．【答案】B
【知识点】平方根；平行线的性质；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解： A、16的平方根是±4，故属于假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，属于真命题，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故属于假命题，不符合题意；
D、若a
故答案为：B.
【分析】根据平方根的概念可判断A；根据平行的性质可判断B、C；根据不等式的性质可判断D.
5．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式mx-n>0的解集为x<2，
∴m<0且=2，
∴n=2m<0，
∴m+n<0，
∴不等式(m+n)x>m-n的解集为x<=-.
故答案为：D.
【分析】由题意可得m<0且=2，则n=2m<0，m+n<0，金热得到不等式(m+n)x>m-n的解集为x<，然后将n=2m代入化简即可.
6．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 由，当a=0，b=-1时，则，故此项错误；
B、由，则 ，故此项正确；
C、由， 则， 故此项错误；
D、由，则 ，故此项错误；
故答案为：B.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
7．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵的解集是，
∴a-1<0，
∴a<1，
故答案为：D
【分析】由的解集是可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，所以a-1<0，解出即可.
8．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答.
9．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由不等式的基本性质可得，当不等式的解是时，
，
，
故答案为：.
【分析】观察解不等式，将未知数项的系数化为1的时候，不等号的方向改变了，所以根据不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的才不等式成立可得a-3＜0，再求解即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a<1
∴-a>-1
∴-2a>-2
∴-2a+3>-2+3
∴-2a+3>1
故本题答案为：-2a+3>1
【分析】根据不等式的性质，变式得关于目标式-2a+3的不等式即可。
11．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此解答即可.
12．【答案】8或9或10
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：，，而，
，
，
又：，，而，
，
，
又整数满足，
或或，
故答案为：8或9或10.
【分析】根据估算无理数大小的方法方法分别估算出与的大小，再根据不等式的性质得出与的取值范围，结合题干即可求出整数x的值.
13．【答案】1或2
【知识点】定义新运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵-1＜x＜1，
∴①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∴0＜x+1＜1，1＜1-x＜2，
∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴原式=0+1=1；
②当x=0时，1+x=1，1-x=1，
∴原式=1+1=2；
③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，
∴1＜x+1＜2，0＜1-x＜1，
∴原式=1+0=1，
综上所述，当-1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2.
故答案为：1或2.
【分析】分三种情况：①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1；②当x=0时；③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，再由不等式性质，分别求出x+1和1-x的取值或范围，再由[x]表示不超过x的最大整数，从而求出[1+x]+[1﹣x]的值.
14．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】无理数的估值；定义新运算；不等式的性质
【解析】【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<<4，根据不等式的性质求出--1的范围，然后结合定义的新运算进行解答.
15．【答案】解：由对称性，不妨设 ， ，2，…，8，且 ，
则
，
∴ ，
∵ ， ，…， ，
∴ ，
若 ，则 ，不符合要求，
∴ ，
于是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…， 是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且 ，
∵
.
根据排序不等式，当 ， ，…， 从小到大排列时， 的值最大， 的值最小.
∵当 ， ，…， 从小到大排列时，
，
∴ 的最小值为482.
或：∵ ，
当 ， ，…， 从小到大排列时，
，
.
∴ 的最小值为482.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】设ai16．【答案】（1）解：将 代入不等式得
，解得
（2）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
∴
（3）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
又∵
∴
∴
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）将 代入不等式，即可解出a的范围；
（2）当 时，可知 ，根据不等式的性质可得出b和c的大小关系；
（3）当 时，可知 ，根据不等式的性质可得 ，即 ，结合 可知 ，即可求出 的值.
17．【答案】（1）解：∵a+2b=3，
∴2b=3﹣a，
∵a、b是非负实数，
∴b≥0，a≥0，
∴2b≥0，
∴3﹣a≥0，
解得0≤a≤3
（2）解：∵a+2b=3，c=3a+2b，
∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，
∴c=2a+3，
∵a是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤3，
∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，
即3≤c≤9
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据a+2b=3，可得2b=3﹣a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b=3，c=3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a是非负实数，求出c的取值范围即可．
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 4.2 不等式的基本性质 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·青羊期末）若ab，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+3b+3 B．-2a-2b C． D．a2b2
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为a＞b，所以a+3＞b+3，故A一定成立；
B：因为a＞b，所以-2a＜-2b，故B一定成立；
C：因为a＞b，所以，故C一定成立；
D：若a=1，b=-2，则a＞b，但是a2=1，b2=4，1＜4，即a2＜b2，故D不一定成立。
故答案为：D。
【分析】根据不等式的性质，分别判断即可得出答案。
2．（2023八下·福田期末）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，
，A错误；
B、，
，B错误；
C、，
，C错误；
D、，
，D正确，
故答案为：D.
【分析】不等式的基本性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.
3．a是一个整数，比较a与3a的大小是（ ）
A．a>3a B．a<3a C．a=3a D．无法确定
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】本题不确定a的情况，分情况讨论：
若a<0，则A成立，B、C不成立；若a>0，则B成立，A、C不成立；若a=0，则C成立，A、B不成立；因不知a的具体大小，故无法确定其大小。
故答案为：D.
【分析】本题不确定a的情况，分①a<0，②a>0，③a=0三种情况分别得出a与3a的大小，从而得出答案。
4．（2023七下·越秀期末）下列命题中为真命题的是（ ）
A．的平方根是
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．同旁内角互补
D．若，则
【答案】B
【知识点】平方根；平行线的性质；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解： A、16的平方根是±4，故属于假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，属于真命题，符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故属于假命题，不符合题意；
D、若a故答案为：B.
【分析】根据平方根的概念可判断A；根据平行的性质可判断B、C；根据不等式的性质可判断D.
5．（2023七下·如东月考）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式mx-n>0的解集为x<2，
∴m<0且=2，
∴n=2m<0，
∴m+n<0，
∴不等式(m+n)x>m-n的解集为x<=-.
故答案为：D.
【分析】由题意可得m<0且=2，则n=2m<0，m+n<0，金热得到不等式(m+n)x>m-n的解集为x<，然后将n=2m代入化简即可.
6．（2023七下·汉川期末）若，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 由，当a=0，b=-1时，则，故此项错误；
B、由，则 ，故此项正确；
C、由， 则， 故此项错误；
D、由，则 ，故此项错误；
故答案为：B.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
7．（2023七下·石家庄期中）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵的解集是，
∴a-1<0，
∴a<1，
故答案为：D
【分析】由的解集是可知，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，所以a-1<0，解出即可.
8．（2022九上·宁波月考）设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A． B．
C． D．不能确定，，的大小关系
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，
∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，
∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3，
∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），
∴x1＞x2＞x3.
故答案为：A．
【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答.
二、填空题
9．（2023八下·连平月考）已知关于的不等式的解是．则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由不等式的基本性质可得，当不等式的解是时，
，
，
故答案为：.
【分析】观察解不等式，将未知数项的系数化为1的时候，不等号的方向改变了，所以根据不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的才不等式成立可得a-3＜0，再求解即可得出答案.
10．（2023七下·建邺期末）若，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a<1
∴-a>-1
∴-2a>-2
∴-2a+3>-2+3
∴-2a+3>1
故本题答案为：-2a+3>1
【分析】根据不等式的性质，变式得关于目标式-2a+3的不等式即可。
11．（2023八下·泗县月考）用“”或“”填空：若，则+1 +1．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此解答即可.
12．（2022七上·海曙期中）若整数满足，则的值是 .
【答案】8或9或10
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：，，而，
，
，
又：，，而，
，
，
又整数满足，
或或，
故答案为：8或9或10.
【分析】根据估算无理数大小的方法方法分别估算出与的大小，再根据不等式的性质得出与的取值范围，结合题干即可求出整数x的值.
13．（2022七下·浉河期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为 ．
【答案】1或2
【知识点】定义新运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵-1＜x＜1，
∴①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∴0＜x+1＜1，1＜1-x＜2，
∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴原式=0+1=1；
②当x=0时，1+x=1，1-x=1，
∴原式=1+1=2；
③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，
∴1＜x+1＜2，0＜1-x＜1，
∴原式=1+0=1，
综上所述，当-1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2.
故答案为：1或2.
【分析】分三种情况：①当-1＜x＜0时，0＜-x＜1；②当x=0时；③当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，再由不等式性质，分别求出x+1和1-x的取值或范围，再由[x]表示不超过x的最大整数，从而求出[1+x]+[1﹣x]的值.
三、解答题
14．（2022七上·鄞州期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】无理数的估值；定义新运算；不等式的性质
【解析】【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<<4，根据不等式的性质求出--1的范围，然后结合定义的新运算进行解答.
15．（2022九上·福建竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组 若 .求 的最小值.
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 ， 为两组实数， 是 的任一排列，则 .
【答案】解：由对称性，不妨设 ， ，2，…，8，且 ，
则
，
∴ ，
∵ ， ，…， ，
∴ ，
若 ，则 ，不符合要求，
∴ ，
于是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…， 是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且 ，
∵
.
根据排序不等式，当 ， ，…， 从小到大排列时， 的值最大， 的值最小.
∵当 ， ，…， 从小到大排列时，
，
∴ 的最小值为482.
或：∵ ，
当 ， ，…， 从小到大排列时，
，
.
∴ 的最小值为482.
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】设ai四、综合题
16．（2020八上·下城期末）已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
【答案】（1）解：将 代入不等式得
，解得
（2）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
∴
（3）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
又∵
∴
∴
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）将 代入不等式，即可解出a的范围；
（2）当 时，可知 ，根据不等式的性质可得出b和c的大小关系；
（3）当 时，可知 ，根据不等式的性质可得 ，即 ，结合 可知 ，即可求出 的值.
17．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
【答案】（1）解：∵a+2b=3，
∴2b=3﹣a，
∵a、b是非负实数，
∴b≥0，a≥0，
∴2b≥0，
∴3﹣a≥0，
解得0≤a≤3
（2）解：∵a+2b=3，c=3a+2b，
∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，
∴c=2a+3，
∵a是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤3，
∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，
即3≤c≤9
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据a+2b=3，可得2b=3﹣a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b=3，c=3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a是非负实数，求出c的取值范围即可．
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