2023-2024学年初中数学八年级上册 4.3 一元一次不等式的解法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·庐阳期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·渝中期末）关于x的不等式解集为，则a的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2023七下·江海期末）以下是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七上·桐柏期末）若不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2016八上·平谷期末）如果式子 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·潮南期末）关于，的方程组，已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019七下·荔湾期末）已知实数 ， 同时满足三个条件：① ；② ；③ ，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·濮阳期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁
二、填空题
9．（2023七下·潮南期末）不等式的解集为 ．
10．（2023七下·凤凰期末）用不等式表示：a与2的差大于-1 ．
11．（2023七下·庐阳期末）不等式的非负整数解有 个．
12．（2023八下·武侯期末）若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是
13．（2023八下·青羊期末）关于x的方程的解是正数，则符合条件的a的所有正整数解之和为 ．
三、解答题
14．（2023七下·越秀期末）x取哪些整数时，不等式与都成立？
15．（2023七下·合肥期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
四、综合题
16．（2023七下·天河期末）对于两个数，我们定义：①表示这两个数的平均数，例如；
②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求和的值．
17．（2023七下·黄岩期末）定义：已知平面上两点，，称为A，B两点之间的折线距离．例如点与点之间的折线距离为．如图，已知平面直角坐标系中点，．
（1） ；
（2）过点B作直线l平行于y轴，求直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标；
（3）已知点，且，求n的取值范围；
（4）已知平面上点P与原点O的折线距离为3，即，直接写出所有满足条件的点P围成的图形面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】去分母得，4(x-2)-6≥-3x，移项合并同类项得，7x≥14，系数化为1得，x≥2.故A正确，符合题意.
故选A.
【分析】在数轴上表示解集，要注意不等号是≥时，实心点且向右画；不等号是≤时，实心点且向左画.
2．【答案】A
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解不等式
去括号，4x-4-3x+3a＞1
移项，4x-3x＞1+4+3a
合并同类项，x＞3a+5
该不等式得解集是x＞-1，
则3a+5=-1
解得a=-2
故答案为A.
【分析】本题考查解不等式的解集，所求解集与题目中已知的解集对应，得到关于a的方程，求解即可。
3．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的定义
【解析】【解答】解：根据一元一次不等式的概念可得：>0属于一元一次不等式.
故答案为：B.
【分析】用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式，据此判断.
4．【答案】A
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵不等式的解集为 ，
可得a-1<0，
即a<1.
故选：A.
【分析】本题考查了解不等式，因为等号换方向，则a-1<0.
5．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
在数轴上表示为： ，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式x+3≥0，求出解集，并把解集在数轴上表示即可，注意实心点与空心点的区别。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得：3x+3y=3a+9，
∴a=x+y-3，
∵，
∴-4＜x+y-3＜0，
∴-1＜x+y＜3；
故答案为：B.
【分析】将两方程相加，可求出a=x+y-3，由a的范围可得-4＜x+y-3＜0，据此即可求解.
7．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：由已知得：
解得x=3+p，y=2p-1
∵
∴3+p＞2p-1
∴p＜4
故答案为：D．
【分析】把p看成已知数，求得x,y的解，根据所给不等式即可求得实数P的取值范围。
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵>1-，
∴x>6-2x+4，
∴x+2x>6+4，
∴3x>10，
∴x>，
∴自己负责的一步出现错误的是甲和乙.
故答案为：B.
【分析】给两边同时乘以6，然后移项、合并同类项、系数化为1就可得到不等式的解集，进而进行判断.
9．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
系数化为1，得x≤3，
故答案为：x≤3.
【分析】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此解答即可.
10．【答案】a-2＞-1
【知识点】列一元一次不等式；不等式的定义
【解析】【解答】由题意可知，a-2﹥-1
【分析】本题考查不等式的表示，当题中出现和差积商、大于小于、大于等于、小于等于等信息要会转化为数学符号.
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】由7-3x≥0，得3x≤7，解得x≤，所以非负整数解为0，1，2，共3个.
【分析】根据不等式的性质解出不等式的解集，再在解集的范围内求出满足题意得特殊解.
12．【答案】且
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解分式方程，得：x=-m+3，
∴-m+3＜3，且-m+3≠2，
∴m＞0，且m≠1.
故第1空答案为：m＞0，且m≠1.
【分析】先解关于x的分式方程，求得方程的解（用含m的式子表示出来），然后根据方程的解小于3，以及分式有意义x-2≠0，即可求得m的取值范围。
13．【答案】7
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：解分式方程得：x=5-a，
∴5-a＞0，且5-a≠2，
∴a＜5，且 a≠3，
∴符合条件的正整数为：1，2，4。
∴1+2+4=7.
故答案为：7.
【分析】解分式方程求得分式方程的解（用含有a的式子表示出来），再根据解是正数，且x-2≠0，得出a的取值范围，然后求出符合条件的正整数，并求出它们的和即可。
14．【答案】解：解得
∵，
∴，
解得，
∴
x的整数解为0，1，2，3，4．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分，再找出整数x的值即可.
15．【答案】解：去分母得：
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：
不等式的解集在数轴上表示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1解出不等式的解集，再在数轴上表示即可.
16．【答案】（1）2023；2024
（2）解：由表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；及，
，解得；
（3）解：根据材料中的定义，结合，
，，
，
，，
，即，
联立方程组得，
解得．
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）；
∵2023＜2024，
∴2024；
故答案为：2023，2024.
【分析】（1）直接利用新定义求解即可；
（2） 由，根据新定义可得，解之即可；
（3）根据新定义及已知可得关于x、y的方程组，解之即可.
17．【答案】（1）4
（2）解：∵直线l平行于y轴，，
∴直线l上的点的横坐标都为，
设点是直线上与点A的折线距离为5的点，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴点K的坐标为或，
∴直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标或；
（3）解：∵，，且，
∴，
当时，则，解得，
∴；
当时，则，即，此时恒成立；
当时，则，解得，
∴；
综上所述，；
（4）解：设，
∵，
∴，
∴，
∴当x≥0，y≥0时，；
当x≥0，y＜0时，；
当x＜0，y＞0时，；
当x＜0，y≤0时，；
∴点P围成的图形区域即为四边形CDEF，且如下所示：
∴围成的图形面积为．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式；坐标与图形性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）d（A，B）=|2-(-1)|+|1-0|=4；
故答案为：4；
【分析】（1）直接根据折线距离的计算方法进行计算即可；
（2）设K（-1，t）是直线上与点A的折线距离为5的点，则d（A，K）=|-1-2|+|t-1|=|t-1|+3=5，求出t的值，进而可得点的坐标；
（3）由d（A，N）<2可得|n-2|+|n-1|<2，然后分n>2、1≤n≤2、n<1，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，进而进行求解；
（4）设P（x，y），则d（P，O）=|x|+|y|=3，然后分当x≥0，y≥0时；当x≥0，y＜0时；当x＜0，y＞0时；当x＜0，y≤0时，
四种情况讨论得出符合条件的点P围成的对应的图形，然后结合三角形的面积公式进行计算.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 4.3 一元一次不等式的解法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·庐阳期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】去分母得，4(x-2)-6≥-3x，移项合并同类项得，7x≥14，系数化为1得，x≥2.故A正确，符合题意.
故选A.
【分析】在数轴上表示解集，要注意不等号是≥时，实心点且向右画；不等号是≤时，实心点且向左画.
2．（2023七下·渝中期末）关于x的不等式解集为，则a的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解不等式
去括号，4x-4-3x+3a＞1
移项，4x-3x＞1+4+3a
合并同类项，x＞3a+5
该不等式得解集是x＞-1，
则3a+5=-1
解得a=-2
故答案为A.
【分析】本题考查解不等式的解集，所求解集与题目中已知的解集对应，得到关于a的方程，求解即可。
3．（2023七下·江海期末）以下是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的定义
【解析】【解答】解：根据一元一次不等式的概念可得：>0属于一元一次不等式.
故答案为：B.
【分析】用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式，据此判断.
4．（2022七上·桐柏期末）若不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵不等式的解集为 ，
可得a-1<0，
即a<1.
故选：A.
【分析】本题考查了解不等式，因为等号换方向，则a-1<0.
5．（2016八上·平谷期末）如果式子 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
在数轴上表示为： ，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式x+3≥0，求出解集，并把解集在数轴上表示即可，注意实心点与空心点的区别。
6．（2023七下·潮南期末）关于，的方程组，已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②得：3x+3y=3a+9，
∴a=x+y-3，
∵，
∴-4＜x+y-3＜0，
∴-1＜x+y＜3；
故答案为：B.
【分析】将两方程相加，可求出a=x+y-3，由a的范围可得-4＜x+y-3＜0，据此即可求解.
7．（2019七下·荔湾期末）已知实数 ， 同时满足三个条件：① ；② ；③ ，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：由已知得：
解得x=3+p，y=2p-1
∵
∴3+p＞2p-1
∴p＜4
故答案为：D．
【分析】把p看成已知数，求得x,y的解，根据所给不等式即可求得实数P的取值范围。
8．（2023七下·濮阳期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵>1-，
∴x>6-2x+4，
∴x+2x>6+4，
∴3x>10，
∴x>，
∴自己负责的一步出现错误的是甲和乙.
故答案为：B.
【分析】给两边同时乘以6，然后移项、合并同类项、系数化为1就可得到不等式的解集，进而进行判断.
二、填空题
9．（2023七下·潮南期末）不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
系数化为1，得x≤3，
故答案为：x≤3.
【分析】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此解答即可.
10．（2023七下·凤凰期末）用不等式表示：a与2的差大于-1 ．
【答案】a-2＞-1
【知识点】列一元一次不等式；不等式的定义
【解析】【解答】由题意可知，a-2﹥-1
【分析】本题考查不等式的表示，当题中出现和差积商、大于小于、大于等于、小于等于等信息要会转化为数学符号.
11．（2023七下·庐阳期末）不等式的非负整数解有 个．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】由7-3x≥0，得3x≤7，解得x≤，所以非负整数解为0，1，2，共3个.
【分析】根据不等式的性质解出不等式的解集，再在解集的范围内求出满足题意得特殊解.
12．（2023八下·武侯期末）若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是
【答案】且
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解分式方程，得：x=-m+3，
∴-m+3＜3，且-m+3≠2，
∴m＞0，且m≠1.
故第1空答案为：m＞0，且m≠1.
【分析】先解关于x的分式方程，求得方程的解（用含m的式子表示出来），然后根据方程的解小于3，以及分式有意义x-2≠0，即可求得m的取值范围。
13．（2023八下·青羊期末）关于x的方程的解是正数，则符合条件的a的所有正整数解之和为 ．
【答案】7
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：解分式方程得：x=5-a，
∴5-a＞0，且5-a≠2，
∴a＜5，且 a≠3，
∴符合条件的正整数为：1，2，4。
∴1+2+4=7.
故答案为：7.
【分析】解分式方程求得分式方程的解（用含有a的式子表示出来），再根据解是正数，且x-2≠0，得出a的取值范围，然后求出符合条件的正整数，并求出它们的和即可。
三、解答题
14．（2023七下·越秀期末）x取哪些整数时，不等式与都成立？
【答案】解：解得
∵，
∴，
解得，
∴
x的整数解为0，1，2，3，4．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分，再找出整数x的值即可.
15．（2023七下·合肥期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去分母得：
去括号得：
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：
不等式的解集在数轴上表示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1解出不等式的解集，再在数轴上表示即可.
四、综合题
16．（2023七下·天河期末）对于两个数，我们定义：①表示这两个数的平均数，例如；
②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求和的值．
【答案】（1）2023；2024
（2）解：由表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；及，
，解得；
（3）解：根据材料中的定义，结合，
，，
，
，，
，即，
联立方程组得，
解得．
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）；
∵2023＜2024，
∴2024；
故答案为：2023，2024.
【分析】（1）直接利用新定义求解即可；
（2） 由，根据新定义可得，解之即可；
（3）根据新定义及已知可得关于x、y的方程组，解之即可.
17．（2023七下·黄岩期末）定义：已知平面上两点，，称为A，B两点之间的折线距离．例如点与点之间的折线距离为．如图，已知平面直角坐标系中点，．
（1） ；
（2）过点B作直线l平行于y轴，求直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标；
（3）已知点，且，求n的取值范围；
（4）已知平面上点P与原点O的折线距离为3，即，直接写出所有满足条件的点P围成的图形面积．
【答案】（1）4
（2）解：∵直线l平行于y轴，，
∴直线l上的点的横坐标都为，
设点是直线上与点A的折线距离为5的点，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴点K的坐标为或，
∴直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标或；
（3）解：∵，，且，
∴，
当时，则，解得，
∴；
当时，则，即，此时恒成立；
当时，则，解得，
∴；
综上所述，；
（4）解：设，
∵，
∴，
∴，
∴当x≥0，y≥0时，；
当x≥0，y＜0时，；
当x＜0，y＞0时，；
当x＜0，y≤0时，；
∴点P围成的图形区域即为四边形CDEF，且如下所示：
∴围成的图形面积为．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式；坐标与图形性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）d（A，B）=|2-(-1)|+|1-0|=4；
故答案为：4；
【分析】（1）直接根据折线距离的计算方法进行计算即可；
（2）设K（-1，t）是直线上与点A的折线距离为5的点，则d（A，K）=|-1-2|+|t-1|=|t-1|+3=5，求出t的值，进而可得点的坐标；
（3）由d（A，N）<2可得|n-2|+|n-1|<2，然后分n>2、1≤n≤2、n<1，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，进而进行求解；
（4）设P（x，y），则d（P，O）=|x|+|y|=3，然后分当x≥0，y≥0时；当x≥0，y＜0时；当x＜0，y＞0时；当x＜0，y≤0时，
四种情况讨论得出符合条件的点P围成的对应的图形，然后结合三角形的面积公式进行计算.
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