2023-2024学年初中数学八年级上册 5.1 二次根式 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·江门期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、， 不是最简根式，故选项A错误；
B、，不是最简根式，故选项B错误；
C、是最简根式，故选项C正确；
D、，不是最简根式，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】 最简根式是指被开方数的指数与根指数互质、被开方数的每一因式的指数都小于根指数、被开方数不含分母的根式，根据最简根式的定义逐个判断即可．
2．（2023八下·东阳期末）若二次根式在实数范围内有意义，则下列各数中，x可取的值是（ ）
A．4 B．π C．﹣1 D．3
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2-x≥0，
∴x≤2.
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则2-x≥0，求出x的范围，进而进行判断.
3．（2023八下·丰满期末） 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式在实数范围内有意义，
故答案为：a≥0.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可。
4．（2023七下·黄埔期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ， 故不符合题意；
C、 无意义， 故不符合题意；
D、 ，正确， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根、二次根式有意义、二次根式的性质及立方根的意义逐一判断即可.
5．（2023八下·连江期末）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：3-x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，即可得到答案.
6．（2023七下·闽清期末）若，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】非负数之和为0；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
解得：a=-2，b=-3，
∴b-a=-1
∴=-1；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性可得关于a、b的方程组，解出a、b的值，再代入计算即可.
7．（2023八下·相城期末）根式化简得（ ）
A．5-x B．±（x-5） C．(x-5)2 D．x-5
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ==x-5；
故答案为：D.
【分析】将原式化为，再利用二次根式的性质化简即可.
8．（2017八上·郑州期中）下列式子正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ 的平方根是 4
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】① ，故正确；
② ＝ ，故错误；
③ ，故错误；
④ ，故错误；
⑤ ＝4， 的平方根是±2，故错误.
所以共计1个正确.
故答案为：B.
【分析】①根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，一个负数的绝对值等于它的相反数，即可判断①是错误的；②根据两个正数的商的算术平方根，等于这两个正数的算术平方根的商，即可判断②是错误的；③当被开方数是带分数的时候，需要将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质进行化简；④根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值首先将 化简，再根据平方根的定义求化简结果的平方根，综上所述即可判断出答案。
二、填空题
9．（2023八下·江门期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 .
【答案】x≥-4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】 根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”建立不等式，求解即可求出答案.
10．（2023八下·凤阳期末）若使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：a-5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】直接根据被开方数大于等于0，列不等式，解不等式求出解集即可。
11．（2023八下·船营期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3；
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．（2023八下·东阳期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】，然后对分母进行化简即可.
13．（2023八下·闽侯期末）“”是假命题，举一个反例 .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：-2.
【分析】由二次根式的性质可知，故只要a<0即可证明原命题是假命题.
三、解答题
14．（2023八下·蒙城期中）先化简，再求值：，其中满足.
【答案】解：原式
∵
∴，
∴原式
【知识点】分式的化简求值；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】先根据分式的混合运算化简，进而根据非负性即可求出a和b，再代入求值即可求解。
15．（2023八下·蜀山期中）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设，两边平方得：
，
即，，
，
，
，
请利用上述方法，求的值．
【答案】解：设，
则，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】设，进而得到，再根据题意得到x＜0即可求解。
四、综合题
16．（2023八下·息县期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数、，且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：
；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
；
（2）
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形，再利用二次根式的性质化简即可；
（2）利用完全平方公式将原式变形，再利用二次根式的性质化简即可.
17．（2023八下·交城期中）已知三角形的三边，，，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为：（其中）；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：．若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
（1）你认为选择 （填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便；
（2）请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积．
【答案】（1）秦九韶公式
（2）解：∵
∴
∴
=
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别是，，， 都是根号形式，
∴用秦九韶公式能使计算更简便，
故答案为：秦九韶公式.
【分析】（1）观察所给的式子，结合公式判断求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再结合公式计算求解即可。
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一、选择题
1．（2023八下·江门期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·东阳期末）若二次根式在实数范围内有意义，则下列各数中，x可取的值是（ ）
A．4 B．π C．﹣1 D．3
3．（2023八下·丰满期末） 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·黄埔期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·连江期末）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·闽清期末）若，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
7．（2023八下·相城期末）根式化简得（ ）
A．5-x B．±（x-5） C．(x-5)2 D．x-5
8．（2017八上·郑州期中）下列式子正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ 的平方根是 4
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．（2023八下·江门期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 .
10．（2023八下·凤阳期末）若使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
11．（2023八下·船营期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2023八下·东阳期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
13．（2023八下·闽侯期末）“”是假命题，举一个反例 .
三、解答题
14．（2023八下·蒙城期中）先化简，再求值：，其中满足.
15．（2023八下·蜀山期中）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设，两边平方得：
，
即，，
，
，
，
请利用上述方法，求的值．
四、综合题
16．（2023八下·息县期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数、，且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：
；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）；
（2）．
17．（2023八下·交城期中）已知三角形的三边，，，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为：（其中）；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：．若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
（1）你认为选择 （填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便；
（2）请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、， 不是最简根式，故选项A错误；
B、，不是最简根式，故选项B错误；
C、是最简根式，故选项C正确；
D、，不是最简根式，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】 最简根式是指被开方数的指数与根指数互质、被开方数的每一因式的指数都小于根指数、被开方数不含分母的根式，根据最简根式的定义逐个判断即可．
2．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2-x≥0，
∴x≤2.
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则2-x≥0，求出x的范围，进而进行判断.
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式在实数范围内有意义，
故答案为：a≥0.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可。
4．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ， 故不符合题意；
C、 无意义， 故不符合题意；
D、 ，正确， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根、二次根式有意义、二次根式的性质及立方根的意义逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：3-x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】非负数之和为0；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
解得：a=-2，b=-3，
∴b-a=-1
∴=-1；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性可得关于a、b的方程组，解出a、b的值，再代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ==x-5；
故答案为：D.
【分析】将原式化为，再利用二次根式的性质化简即可.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】① ，故正确；
② ＝ ，故错误；
③ ，故错误；
④ ，故错误；
⑤ ＝4， 的平方根是±2，故错误.
所以共计1个正确.
故答案为：B.
【分析】①根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，一个负数的绝对值等于它的相反数，即可判断①是错误的；②根据两个正数的商的算术平方根，等于这两个正数的算术平方根的商，即可判断②是错误的；③当被开方数是带分数的时候，需要将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质进行化简；④根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值首先将 化简，再根据平方根的定义求化简结果的平方根，综上所述即可判断出答案。
9．【答案】x≥-4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】 根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”建立不等式，求解即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：a-5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】直接根据被开方数大于等于0，列不等式，解不等式求出解集即可。
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3；
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】，然后对分母进行化简即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：-2.
【分析】由二次根式的性质可知，故只要a<0即可证明原命题是假命题.
14．【答案】解：原式
∵
∴，
∴原式
【知识点】分式的化简求值；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】先根据分式的混合运算化简，进而根据非负性即可求出a和b，再代入求值即可求解。
15．【答案】解：设，
则，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】设，进而得到，再根据题意得到x＜0即可求解。
16．【答案】（1）解：
，
；
（2）
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形，再利用二次根式的性质化简即可；
（2）利用完全平方公式将原式变形，再利用二次根式的性质化简即可.
17．【答案】（1）秦九韶公式
（2）解：∵
∴
∴
=
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别是，，， 都是根号形式，
∴用秦九韶公式能使计算更简便，
故答案为：秦九韶公式.
【分析】（1）观察所给的式子，结合公式判断求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再结合公式计算求解即可。
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