2023-2024学年初中数学八年级上册 5.1 二次根式 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·泸县期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，所以A不符合题意；
B、是最简二次根式，所以B符合题意；
C、，不是最简二次根式，所以C不符合题意；
D、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，所以D不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据最简二次根式的定义进行识别即可。
2．（2023八下·闽侯期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
3．（2023八下·萧山期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、是最简二次根式，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误，
故答案为：C.
【分析】正数的正平方根叫做算术平方根；
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
4．（2023八下·诸暨期末）下列的取值中，可以使有意义的是（ ）
A．0 B．16 C．20 D．2023
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
7-x≥0，
解之：x≤7，
∵0＜7，16＞7，20＞7，2023＞7，
故A符合题意；B、C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，再求出不等式的解集，根据各选项，可得答案.
5．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
6．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
7．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
二、填空题
8．（2023八下·柯桥期末）式子有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义，
，
，
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
9．（2023八下·大冶期末）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知-1＜a＜0＜b＜1，
∴a-b＜0，
∴原式=-a-b-（b-a）=-a-b-b+a=-2b.
故答案为：-2b
【分析】观察数轴可知-1＜a＜0＜b＜1，可确定出a-b的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简即可.
10．（2023七下·黄山期末）数轴上点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点，设点所表示的数为，则 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵数轴上点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点，
∴点B表示的数是，
∴，
∴，
故答案为：-1.
【分析】根据题意先求出点B表示的数是，再求出，最后化简求值即可。
11．（2023七下·黄浦期末）比较大小： (填“”“”或“=”)．
【答案】
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，20＞18，∴∴，∴.
故第一空答案为：＜。
【分析】把根号外非负因式移到根号下，通过比较被开方数的大小，即可得出结论。
12．（2022八下·鄂伦春期末）已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是 ．
【答案】2024
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所有y值的总和是：．
故答案是：2024．
【分析】由，再根据绝对值的性质化简，即可求出所对应的y值的总和.
三、解答题
13．（2023八下·合肥期中）若实数x，y满足，求的值．
【答案】解：由题意，得
，，
解得，
当时，．
当，时，．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件即可求出x，进而得到y，从而代入x和y即可求解。
14．（2023八下·汤阴期中）在学习了二次根式的性质后，小新同学用相关知识解决了下面这道题．
化简求值：，其中
他的做法为：解：原式
当时，原式
小新同学的做法正确吗？若正确请说明理由，若不正确请把正确过程写出来．
【答案】解：小新同学的做法不正确．
正确过程为：
解：
，
当时，原式．
【知识点】实数的运算；完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】本题中的算术平方根和根号内的完全平方式的结果都具有非负性，但括号内的式子可以是任意值，若直接将平方与根号抵消，那最后的结果可能为负数，与题意不符，这也是本题的易错点.
四、综合题
15．（2023八下·曾都期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）第个等式：
验证：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据已知等式找出规律直接写出等式并验证即可；
（2）根据已知等式找出规律：第个等式：，再验证即可.
16．（2023七下·遵义期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得，
∴，
∴原式．
（1）试化简：；
（2）已知a、b满足，求的值．
【答案】（1）解：∵则
∴
∴
（2）解：∵，
∴
∴
∴当时，
则解得：，
∵，
∴或
解得：或
∴或
当时，则无解，舍去，
综上：或
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x≤2，再根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质分析得出a、b的值即可得出答案。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 5.1 二次根式 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·泸县期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·闽侯期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·萧山期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·诸暨期末）下列的取值中，可以使有意义的是（ ）
A．0 B．16 C．20 D．2023
5．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
6．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
7．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
二、填空题
8．（2023八下·柯桥期末）式子有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2023八下·大冶期末）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
10．（2023七下·黄山期末）数轴上点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点，设点所表示的数为，则 ．
11．（2023七下·黄浦期末）比较大小： (填“”“”或“=”)．
12．（2022八下·鄂伦春期末）已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是 ．
三、解答题
13．（2023八下·合肥期中）若实数x，y满足，求的值．
14．（2023八下·汤阴期中）在学习了二次根式的性质后，小新同学用相关知识解决了下面这道题．
化简求值：，其中
他的做法为：解：原式
当时，原式
小新同学的做法正确吗？若正确请说明理由，若不正确请把正确过程写出来．
四、综合题
15．（2023八下·曾都期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
16．（2023七下·遵义期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得，
∴，
∴原式．
（1）试化简：；
（2）已知a、b满足，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，所以A不符合题意；
B、是最简二次根式，所以B符合题意；
C、，不是最简二次根式，所以C不符合题意；
D、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，所以D不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据最简二次根式的定义进行识别即可。
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
3．【答案】C
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、是最简二次根式，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误，
故答案为：C.
【分析】正数的正平方根叫做算术平方根；
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
4．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
7-x≥0，
解之：x≤7，
∵0＜7，16＞7，20＞7，2023＞7，
故A符合题意；B、C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，再求出不等式的解集，根据各选项，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
6．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
8．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义，
，
，
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
9．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知-1＜a＜0＜b＜1，
∴a-b＜0，
∴原式=-a-b-（b-a）=-a-b-b+a=-2b.
故答案为：-2b
【分析】观察数轴可知-1＜a＜0＜b＜1，可确定出a-b的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简即可.
10．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵数轴上点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点，
∴点B表示的数是，
∴，
∴，
故答案为：-1.
【分析】根据题意先求出点B表示的数是，再求出，最后化简求值即可。
11．【答案】
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，20＞18，∴∴，∴.
故第一空答案为：＜。
【分析】把根号外非负因式移到根号下，通过比较被开方数的大小，即可得出结论。
12．【答案】2024
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所有y值的总和是：．
故答案是：2024．
【分析】由，再根据绝对值的性质化简，即可求出所对应的y值的总和.
13．【答案】解：由题意，得
，，
解得，
当时，．
当，时，．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件即可求出x，进而得到y，从而代入x和y即可求解。
14．【答案】解：小新同学的做法不正确．
正确过程为：
解：
，
当时，原式．
【知识点】实数的运算；完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】本题中的算术平方根和根号内的完全平方式的结果都具有非负性，但括号内的式子可以是任意值，若直接将平方与根号抵消，那最后的结果可能为负数，与题意不符，这也是本题的易错点.
15．【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）第个等式：
验证：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据已知等式找出规律直接写出等式并验证即可；
（2）根据已知等式找出规律：第个等式：，再验证即可.
16．【答案】（1）解：∵则
∴
∴
（2）解：∵，
∴
∴
∴当时，
则解得：，
∵，
∴或
解得：或
∴或
当时，则无解，舍去，
综上：或
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x≤2，再根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质分析得出a、b的值即可得出答案。
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