2023-2024学年初中数学八年级上册 5.2 二次根式的乘法和除法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·江门期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的定义、二次根式的除法法则、二次根式的乘方以及二次根式的加法法则进行运算，逐一判断各选项即可．
2．（2023八下·仁化期中）蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（ ）平方米．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题可得： 该长方形田地的面积为：（平方米），
故答案为：C。
【分析】根据长方形的面积公式和二次根式的乘法法则计算求解即可。
3．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
4．（2023八下·德清期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为，据研究，高空抛物下落的时间1(单位：s)和高度(单位：)近似满足公式(不考尼风速的影响).记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：令h=50，得t1=，
令h=100，得t2=，
∴t2：t1=：=.
故答案为：C.
【分析】分别将h=50、100代入求出t1、t2的值，然后求比值即可.
5．（2023·重庆）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据二次根式的乘法进行运算，再运用无理数的估算方法即可求解。
6．有下列各式（1） =a+2b（2）=（3）=，其中一定成立的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：=|a+2b|，（1）不一定成立；
=（x≥2），（2）不一定成立；
=，（a≥0，b≥0），（3）不一定成立．
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质和二次根式有意义的条件对各个选项进行判断即可．
7．（2023·巧家模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】负整数指数幂；二次根式的乘除法；积的乘方
【解析】【解答】A．，A运算不符合题意；
B．，B运算不符合题意；
C．，C运算符合题意；
D．，D运算不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用负整指数幂的意义，二次根式乘除法法则，积的乘方求解即可。
8．（2023八下·长兴月考）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：的倒数是.
故答案为：D
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，再进行化简.
二、填空题
9．（2023八下·惠城期末）= ．
【答案】-2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则即可求出答案.
10．（2023八下·盐城月考）计算的结果为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：3.
【分析】根据二次根式的乘法法则：得出结果.
11．（2023七下·武昌期中）若，，则 .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】，然后结合≈1.414进行计算.
12．（2023八下·长兴月考）若，则x的取值范围是 ．
【答案】-3≤x<5
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴
解之：-3≤x<5.
故答案为：-3≤x<5
【分析】利用（a≥0，b＞0），可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
三、解答题
13．（2023·虹口模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当 时，
原式
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据分式的化简求值结合二次根式有理化即可求解。
14．（2022八上·奉贤期中）化简并求值：已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化求出，再将x的值代入计算即可。
四、计算题
15．（2023八下·丰满期末） 计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
五、综合题
16．（2023八下·东阳期末）已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
【答案】（1）解：二次根式有意义，
，
解得；
（2）解：，
与能合并，并且是最简二次根式，
，
解得；
由可得．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘除法
【解析】【分析】(1)根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
(2)先化简 ，再根据最简二次根式的定义可知x+2=10，进而解得x的值；
先将x值代入算式，再进行二次根式的乘法运算.
17．（2023八下·中山期中）在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．
小华是这样解答的：，请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
（1）填空： ； ；
（2）化简：．
【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】解：（1），；
【分析】（1）给第一个的分子、分母同时乘以()，然后利用平方差公式计算即可；给第二个的分子、分母同时乘以()，然后利用平方差公式计算即可；
（2）原式可变形为，据此计算.
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一、选择题
1．（2023八下·江门期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·仁化期中）蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（ ）平方米．
A． B． C． D．
3．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·德清期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为，据研究，高空抛物下落的时间1(单位：s)和高度(单位：)近似满足公式(不考尼风速的影响).记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
5．（2023·重庆）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
6．有下列各式（1） =a+2b（2）=（3）=，其中一定成立的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2023·巧家模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·长兴月考）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·惠城期末）= ．
10．（2023八下·盐城月考）计算的结果为 ．
11．（2023七下·武昌期中）若，，则 .
12．（2023八下·长兴月考）若，则x的取值范围是 ．
三、解答题
13．（2023·虹口模拟）先化简，再求值：，其中．
14．（2022八上·奉贤期中）化简并求值：已知，求的值．
四、计算题
15．（2023八下·丰满期末） 计算：．
五、综合题
16．（2023八下·东阳期末）已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
17．（2023八下·中山期中）在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．
小华是这样解答的：，请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
（1）填空： ； ；
（2）化简：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的定义、二次根式的除法法则、二次根式的乘方以及二次根式的加法法则进行运算，逐一判断各选项即可．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题可得： 该长方形田地的面积为：（平方米），
故答案为：C。
【分析】根据长方形的面积公式和二次根式的乘法法则计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：令h=50，得t1=，
令h=100，得t2=，
∴t2：t1=：=.
故答案为：C.
【分析】分别将h=50、100代入求出t1、t2的值，然后求比值即可.
5．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据二次根式的乘法进行运算，再运用无理数的估算方法即可求解。
6．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：=|a+2b|，（1）不一定成立；
=（x≥2），（2）不一定成立；
=，（a≥0，b≥0），（3）不一定成立．
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质和二次根式有意义的条件对各个选项进行判断即可．
7．【答案】C
【知识点】负整数指数幂；二次根式的乘除法；积的乘方
【解析】【解答】A．，A运算不符合题意；
B．，B运算不符合题意；
C．，C运算符合题意；
D．，D运算不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用负整指数幂的意义，二次根式乘除法法则，积的乘方求解即可。
8．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：的倒数是.
故答案为：D
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，再进行化简.
9．【答案】-2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则即可求出答案.
10．【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：3.
【分析】根据二次根式的乘法法则：得出结果.
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】，然后结合≈1.414进行计算.
12．【答案】-3≤x<5
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，
∴
解之：-3≤x<5.
故答案为：-3≤x<5
【分析】利用（a≥0，b＞0），可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集.
13．【答案】解：原式
当 时，
原式
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据分式的化简求值结合二次根式有理化即可求解。
14．【答案】解：∵，
∴
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化求出，再将x的值代入计算即可。
15．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
16．【答案】（1）解：二次根式有意义，
，
解得；
（2）解：，
与能合并，并且是最简二次根式，
，
解得；
由可得．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘除法
【解析】【分析】(1)根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
(2)先化简 ，再根据最简二次根式的定义可知x+2=10，进而解得x的值；
先将x值代入算式，再进行二次根式的乘法运算.
17．【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】解：（1），；
【分析】（1）给第一个的分子、分母同时乘以()，然后利用平方差公式计算即可；给第二个的分子、分母同时乘以()，然后利用平方差公式计算即可；
（2）原式可变形为，据此计算.
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