2023-2024学年初中数学八年级上册 5.2 二次根式的乘法和除法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·舟山期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、=3，故错误；
B、，故正确；
C、，故错误；
D、=5，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质可判断A；根据二次根式的除法法则可判断B；根据二次根式的乘法法则可判断C；根据算术平方根的概念可判断D.
2．（2023七下·沙坪坝期末）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】D
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式==2+，
∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴7＜2+＜8，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的乘法先求出原式的值，再估算即可.
3．下列各式从左至右的变形中，一定正确的是（ ）
A．= B．=a C．= D．=
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、若a=﹣1，b=﹣2，原式从左至右的变形中不成立；
B、若a为负数，原式从左至右的变形中不成立；
C、原式=，成立；
D、若x=﹣1，y=﹣2，原式从左至右的变形中不成立，
故选C
【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式性质判断即可．
4．（2023·四川模拟）下列计算结果中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；无理数的认识
【解析】【解答】解：A. ，属于有理数，不符合题意；
B. ，属于有理数，不符合题意；
C. ，属于无理数，符合题意；
D. ，属于有理数，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据加法法则、二次根式的乘法法则、算术平方根的概念分别计算出各个式子的结果，然后根据无理数是无限不循环小数进行判断.
5．化简（y＜0）的结果是（ ）
A．y B．y C．-y D．-y
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的概念可知，﹣xy2≥0，又y＜0，
∴﹣x≥0，
∴化简（y＜0）的结果是﹣y，
故选：D．
【分析】根据二次根式的概念求出x的符号，根据二次根式的性质化简即可．
6．（2022八下·连山期中）如果，那么下面各式：其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a，b同为负数，
∴无意义，故①不符合题意；
，故②符合题意；
，故③符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘除法逐项判断即可。
7．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
8．（2022八下·高阳期末）在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：===；
小亮的方法是： ；
小丽的方法是：.
则下列说法正确的是（ ）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法错误
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法错误
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都错误
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：＝＝＝，正确；
小亮的方法是：＝＝，正确；
小丽的方法是：＝＝＝，正确；
则小明、小亮、小丽的方法都正确，
故答案为：C
【分析】小明的方法：分子分母乘以有理化因式，化简即可；小亮的方法：将分子利用二次根式的性质化为（）2，再约分即可；小丽的方法：将分子利用二次根式的性质化为，再利用二次根式的除法法则计算即可.
二、填空题
9．（2023八下·天河期末）计算的结果是 ．
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：4.
【分析】利用二次根式的性质进行乘法运算.
10．（2022八上·嘉定期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
【答案】 或
【知识点】分母有理化；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得： 的“互为友好因式”为： ，
故答案为： ．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
11．（2022九上·清水月考）若实数满足，则的值是
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【分析】利用配方法及完全平方公式把已知条件转化成，根据两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入后再进行分母有理化即可解答.
12．（2020八上·覃塘期末）我们在二次根式的化简过程中得知： ，…，则
【答案】2019
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】
=( …+ )( )
=( )( )
=
=2019.
故答案为：2019
【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
13．（2020八上·港南期末）观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
.
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
三、解答题
14．（2021八上·深圳月考）若 表示不超过x的最大整数（如 等），求 的值．
【答案】解： ，
，
∴ ，
∵
∵ 表示不超过x的最大整数，
∴ ，
∴
．
【知识点】分母有理化；定义新运算
【解析】【分析】先利用分母有理化的计算方法化简，再根据题干中的定义求解即可。
15．（2021八上·彭州开学考）已知 + + +…+ ＝ ，求n的值.
【答案】解：∵
＝
＝
＝ ﹣
∴ + + +…+ ＝ ﹣ + ﹣ +……+ ﹣ ＝1﹣
∴1﹣ ＝ ，
∴n＝2499
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】通过变形可得 - ，则原式可变形为1-＝，据此求解.
四、综合题
16．（2023八下·柳州期末）阅读下面的材料并解决问题.
……
（1）观察上式并填空： .
（2）观察上式并猜想：当n是正整数时， ；（用含的式子表示）
（3）请利用（2）的结论计算下列式子：
【答案】（1）
（2）
（3）原式
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）根据题意，，即
（2）
（3）根据（2）的化简过程，原式=
【分析】(1)结合阅读材料中分母有理化的方法，分子分母同乘以，分母利用平方差公式化简；
（2）同（1）分子分母同乘以，分母利用平方差公式化简；
（3）将每一个分母中含根号的二次根式利用（2）中的结论进行转化，然后通过合并同类项消项到最简，再利用平方差公式计算.
17．（2023八下·大化期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（1）观察以上规律，请写出第个等式： (为正整数)．
（2）利用上面的规律，计算
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：)
【知识点】实数大小的比较；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由已知等式可得：第个等式 ；
故答案为：.
【分析】（1）根据已知等式找出规律，从而写出第个等式 ；
（2）先将各式化简，再合并即可；
（3）先求出各式的倒数，再比较即可.
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一、选择题
1．（2023八下·舟山期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·沙坪坝期末）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
3．下列各式从左至右的变形中，一定正确的是（ ）
A．= B．=a C．= D．=
4．（2023·四川模拟）下列计算结果中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．化简（y＜0）的结果是（ ）
A．y B．y C．-y D．-y
6．（2022八下·连山期中）如果，那么下面各式：其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
7．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
8．（2022八下·高阳期末）在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：===；
小亮的方法是： ；
小丽的方法是：.
则下列说法正确的是（ ）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法错误
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法错误
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都错误
二、填空题
9．（2023八下·天河期末）计算的结果是 ．
10．（2022八上·嘉定期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
11．（2022九上·清水月考）若实数满足，则的值是
12．（2020八上·覃塘期末）我们在二次根式的化简过程中得知： ，…，则
13．（2020八上·港南期末）观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
.
三、解答题
14．（2021八上·深圳月考）若 表示不超过x的最大整数（如 等），求 的值．
15．（2021八上·彭州开学考）已知 + + +…+ ＝ ，求n的值.
四、综合题
16．（2023八下·柳州期末）阅读下面的材料并解决问题.
……
（1）观察上式并填空： .
（2）观察上式并猜想：当n是正整数时， ；（用含的式子表示）
（3）请利用（2）的结论计算下列式子：
17．（2023八下·大化期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（1）观察以上规律，请写出第个等式： (为正整数)．
（2）利用上面的规律，计算
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、=3，故错误；
B、，故正确；
C、，故错误；
D、=5，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质可判断A；根据二次根式的除法法则可判断B；根据二次根式的乘法法则可判断C；根据算术平方根的概念可判断D.
2．【答案】D
【知识点】估算无理数的大小；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式==2+，
∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴7＜2+＜8，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的乘法先求出原式的值，再估算即可.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、若a=﹣1，b=﹣2，原式从左至右的变形中不成立；
B、若a为负数，原式从左至右的变形中不成立；
C、原式=，成立；
D、若x=﹣1，y=﹣2，原式从左至右的变形中不成立，
故选C
【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式性质判断即可．
4．【答案】C
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；无理数的认识
【解析】【解答】解：A. ，属于有理数，不符合题意；
B. ，属于有理数，不符合题意；
C. ，属于无理数，符合题意；
D. ，属于有理数，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据加法法则、二次根式的乘法法则、算术平方根的概念分别计算出各个式子的结果，然后根据无理数是无限不循环小数进行判断.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的概念可知，﹣xy2≥0，又y＜0，
∴﹣x≥0，
∴化简（y＜0）的结果是﹣y，
故选：D．
【分析】根据二次根式的概念求出x的符号，根据二次根式的性质化简即可．
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0，
∴a，b同为负数，
∴无意义，故①不符合题意；
，故②符合题意；
，故③符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘除法逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：＝＝＝，正确；
小亮的方法是：＝＝，正确；
小丽的方法是：＝＝＝，正确；
则小明、小亮、小丽的方法都正确，
故答案为：C
【分析】小明的方法：分子分母乘以有理化因式，化简即可；小亮的方法：将分子利用二次根式的性质化为（）2，再约分即可；小丽的方法：将分子利用二次根式的性质化为，再利用二次根式的除法法则计算即可.
9．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：4.
【分析】利用二次根式的性质进行乘法运算.
10．【答案】 或
【知识点】分母有理化；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得： 的“互为友好因式”为： ，
故答案为： ．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【分析】利用配方法及完全平方公式把已知条件转化成，根据两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入后再进行分母有理化即可解答.
12．【答案】2019
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】
=( …+ )( )
=( )( )
=
=2019.
故答案为：2019
【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
13．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
14．【答案】解： ，
，
∴ ，
∵
∵ 表示不超过x的最大整数，
∴ ，
∴
．
【知识点】分母有理化；定义新运算
【解析】【分析】先利用分母有理化的计算方法化简，再根据题干中的定义求解即可。
15．【答案】解：∵
＝
＝
＝ ﹣
∴ + + +…+ ＝ ﹣ + ﹣ +……+ ﹣ ＝1﹣
∴1﹣ ＝ ，
∴n＝2499
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】通过变形可得 - ，则原式可变形为1-＝，据此求解.
16．【答案】（1）
（2）
（3）原式
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）根据题意，，即
（2）
（3）根据（2）的化简过程，原式=
【分析】(1)结合阅读材料中分母有理化的方法，分子分母同乘以，分母利用平方差公式化简；
（2）同（1）分子分母同乘以，分母利用平方差公式化简；
（3）将每一个分母中含根号的二次根式利用（2）中的结论进行转化，然后通过合并同类项消项到最简，再利用平方差公式计算.
17．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：)
【知识点】实数大小的比较；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由已知等式可得：第个等式 ；
故答案为：.
【分析】（1）根据已知等式找出规律，从而写出第个等式 ；
（2）先将各式化简，再合并即可；
（3）先求出各式的倒数，再比较即可.
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