2023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·江北期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·桂平期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·西安期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·西安期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·将乐期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八上·嘉定期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八上·昌平期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
8．（2022八上·新城月考）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2021八上·房山期中）写出的一个同类二次根式（注：被开方数不是20） ．
10．（2022八上·黄浦期中）若最简二次根式和是同类二次根式，那么a+b的值是 ．
11．（2023八上·平南期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
===
则 .
12．（2023八上·平南期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
则 ＝ .
13．（2022八上·济南期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a-b＝ ．
三、解答题
14．（2022八上·黄浦月考）先化简：，再求当，时的值．
15．（2022八上·青浦期中）已知，，求代数式的值．
四、计算题
16．（2023八上·绍兴月考）计算：
（1）32；
（2）42．
五、综合题
17．（2023八上·宁波期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
（1）【类比归纳】
请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
（2）【变式探究】
若且a，m，n均为正整数，求a值.
18．（2022八上·赵县期末）设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a=1时，152=225=1×2×100+25 ；
②当a=2时，252=625=2×3×100+25；
③当a=3时，352= 1225= ；
．．．．．．
（2）归纳：与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A.，与不是同类二次根式；
B.与不是同类二次根式；
C.，与不是同类二次根式；
D.，与是同类二次根式；
故答案为：D.
【分析】同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
B、3与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、与7不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根的加减、二次根式的乘法逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；
B、 与 被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项符合题意；
C、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；
D、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由二次根式的性质“”将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”即可判断求解.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意；
B.，故本选项错误，不符合题意；
C.，故本选项错误，不符合题意；
D.，故本选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断A；根据二次根式的减法法则可判断B；根据二次根式的乘除法法则可判断C、D.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，正确，该选项符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、2与不是同类二次根式，不能进一步计算，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的除法法则可判断A；根据二次根式的性质=|a|可判断B、C；根据同类二次根式的概念可判断D.
6．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，所以 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 ，所以 是同类二次根式，故本选项符合题意；
D、 ，所以 不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先化简， 再根据同类项二次根式的定义逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得x+3＝2x，再求出x的值即可。
8．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，
∴且，
即，
∴①当，即a=30时，，
②当，即a=24时，，
③当，即a=14时，，
则符合条件的正整数a有3个.
故答案为：C.
【分析】=，根据二次根式有意义的条件可得32-a≥0且a>0，求出a的范围，然后分别令32-a=2、32-a=22×2、32-a=32×2，求出a的值即可.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，
∴的同类二次根式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据同类二次根式的定义求解即可。
10．【答案】0
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为0．
【分析】根据同类二次根式的定义可得 ， ，求出a、b的值，再将a、b的值代入a+b计算即可。
11．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，……
∴
，
故答案为：.
【分析】根据题干提供的方法将各个加数分别化简，再逆用乘法分配律提取公因数“”进行变形，接着计算括号内的加减法即可得出答案.
12．【答案】 （ -1）
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵ ＝ .，……，
∴
＝ （ -1），
故答案为： （ -1）.
【分析】根据分母有理数分解将每一个加数进行化简，再逆用乘法分配律及进行二次根式的加减即可得出答案.
13．【答案】9
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a-4＝2，3a+b＝a-b，
解得：a＝3，b＝-3．
∴2a-b＝2×3-（-3）＝9．
故答案为：9．
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得2a-4＝2，3a+b＝a-b，再求出a、b的值，最后将a、b的值代入2a-b计算即可。
14．【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再将，代入计算即可。
15．【答案】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】利用分母有理化化简x，y，再求出x+y、xy的值，再整体代入计算即可.
16．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质简化并合并同类项得到结果；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则计算得到结果.
17．【答案】（1）解：；
（2）解：∵m+n=a，mn=21，
又∵ a，m，n均为正整数 ，
∴m=1，n=21或m=3，n=7或n=1，m=21或n=3，m=7，
∴a=22或10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由于7=2+5，且10=2×5，从而仿照题干给出的阅读材料解题即可；
（2）根据（1）发现的规律可得m+n=a，mn=21，进而结合a，m，n均为正整数 ，求解即可.
18．【答案】（1）3×4×100+ 25
（2）解：= 100a(a+1)+ 25，
理由如下：
= (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25
（3）解：由题知， - 100a = 2525，
即100a2+ 100a+ 25- 100a = 2525，
解得a=5或-5 (舍去)，
∴a的值为5．
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1) ∵①当a=1时，152= 225=1×2×100+ 25；
②当a=2时，252 =625=2×3×100+25 ；
③当a=3时，352 =1225= 3×4×100+ 25，
故答案为： 3×4×100+ 25；
【分析】（1）根据数字变化规律进行分析。
（2） = (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25 。
（3）结合（2），列方程求解。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八上·江北期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A.，与不是同类二次根式；
B.与不是同类二次根式；
C.，与不是同类二次根式；
D.，与是同类二次根式；
故答案为：D.
【分析】同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.
2．（2023八上·桂平期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
B、3与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、与7不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根的加减、二次根式的乘法逐项判断即可.
3．（2020八上·西安期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；
B、 与 被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项符合题意；
C、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；
D、 与 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由二次根式的性质“”将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”即可判断求解.
4．（2023八上·西安期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意；
B.，故本选项错误，不符合题意；
C.，故本选项错误，不符合题意；
D.，故本选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断A；根据二次根式的减法法则可判断B；根据二次根式的乘除法法则可判断C、D.
5．（2022八上·将乐期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，正确，该选项符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、2与不是同类二次根式，不能进一步计算，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的除法法则可判断A；根据二次根式的性质=|a|可判断B、C；根据同类二次根式的概念可判断D.
6．（2022八上·嘉定期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，所以 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 ，所以 是同类二次根式，故本选项符合题意；
D、 ，所以 不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先化简， 再根据同类项二次根式的定义逐项判断即可。
7．（2022八上·昌平期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得x+3＝2x，再求出x的值即可。
8．（2022八上·新城月考）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，
∴且，
即，
∴①当，即a=30时，，
②当，即a=24时，，
③当，即a=14时，，
则符合条件的正整数a有3个.
故答案为：C.
【分析】=，根据二次根式有意义的条件可得32-a≥0且a>0，求出a的范围，然后分别令32-a=2、32-a=22×2、32-a=32×2，求出a的值即可.
二、填空题
9．（2021八上·房山期中）写出的一个同类二次根式（注：被开方数不是20） ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，
∴的同类二次根式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据同类二次根式的定义求解即可。
10．（2022八上·黄浦期中）若最简二次根式和是同类二次根式，那么a+b的值是 ．
【答案】0
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为0．
【分析】根据同类二次根式的定义可得 ， ，求出a、b的值，再将a、b的值代入a+b计算即可。
11．（2023八上·平南期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
===
则 .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，……
∴
，
故答案为：.
【分析】根据题干提供的方法将各个加数分别化简，再逆用乘法分配律提取公因数“”进行变形，接着计算括号内的加减法即可得出答案.
12．（2023八上·平南期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
则 ＝ .
【答案】 （ -1）
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵ ＝ .，……，
∴
＝ （ -1），
故答案为： （ -1）.
【分析】根据分母有理数分解将每一个加数进行化简，再逆用乘法分配律及进行二次根式的加减即可得出答案.
13．（2022八上·济南期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a-b＝ ．
【答案】9
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a-4＝2，3a+b＝a-b，
解得：a＝3，b＝-3．
∴2a-b＝2×3-（-3）＝9．
故答案为：9．
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得2a-4＝2，3a+b＝a-b，再求出a、b的值，最后将a、b的值代入2a-b计算即可。
三、解答题
14．（2022八上·黄浦月考）先化简：，再求当，时的值．
【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再将，代入计算即可。
15．（2022八上·青浦期中）已知，，求代数式的值．
【答案】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】利用分母有理化化简x，y，再求出x+y、xy的值，再整体代入计算即可.
四、计算题
16．（2023八上·绍兴月考）计算：
（1）32；
（2）42．
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质简化并合并同类项得到结果；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则计算得到结果.
五、综合题
17．（2023八上·宁波期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
（1）【类比归纳】
请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
（2）【变式探究】
若且a，m，n均为正整数，求a值.
【答案】（1）解：；
（2）解：∵m+n=a，mn=21，
又∵ a，m，n均为正整数 ，
∴m=1，n=21或m=3，n=7或n=1，m=21或n=3，m=7，
∴a=22或10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由于7=2+5，且10=2×5，从而仿照题干给出的阅读材料解题即可；
（2）根据（1）发现的规律可得m+n=a，mn=21，进而结合a，m，n均为正整数 ，求解即可.
18．（2022八上·赵县期末）设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a=1时，152=225=1×2×100+25 ；
②当a=2时，252=625=2×3×100+25；
③当a=3时，352= 1225= ；
．．．．．．
（2）归纳：与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】（1）3×4×100+ 25
（2）解：= 100a(a+1)+ 25，
理由如下：
= (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25
（3）解：由题知， - 100a = 2525，
即100a2+ 100a+ 25- 100a = 2525，
解得a=5或-5 (舍去)，
∴a的值为5．
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1) ∵①当a=1时，152= 225=1×2×100+ 25；
②当a=2时，252 =625=2×3×100+25 ；
③当a=3时，352 =1225= 3×4×100+ 25，
故答案为： 3×4×100+ 25；
【分析】（1）根据数字变化规律进行分析。
（2） = (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25 。
（3）结合（2），列方程求解。
1 / 1
