2023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·德清期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·濮阳期末）下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·双鸭山期末）我们规定：对于任意的正数m，n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·景县期中）计算的结果估计在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
5．（2023八下·南宁期中）下列各式中能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2023八下·陇县期中）下列式子与可以进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七下·桐城期末）与-3最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
二、填空题
9．（2023八下·亳州期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
10．（2023七下·广州期中）计算：＝ ．
11．（2023八下·怀集期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．
12．（2023八下·定州期中）已知，，则的值为 ．
13．（2023·黄冈模拟）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝， 记
…，S100＝，则S1+S2+…+S100＝ ．
三、解答题
14．（2023七下·虹口期末）已知：，，求：的值．
15．（2023八下·仁化期中）有一道练习题：对于式子先化简，后求值，其中a=．
小明的解法如下：
．
小明的解法对吗 如果不对，请改正．
四、计算题
16．（2022七下·桐城期末）计算：．
五、综合题
17．（2023八下·景县期中）观察、发现：====-1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
18．（2023八下·任城期中）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
（1）计算： ； ；
（2）计算：；
（3）比较和的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、=3，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B；根据二次根式的减法法则可判断C；根据二次根式的除法法则可判断D.
2．【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、=3+1=4，故正确；
B、=4-(-3)=7，故错误；
C、，故正确；
D、|-|+=-+=+，故正确.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算法则可判断A、C；根据算术平方根以及立方根的概念可判断B；根据绝对值的性质以及二次根式的加减法可判断D.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵当时， ，而8＜12，
∴8Φ12=2+=4+2；
∵当时， ，而3＞2，
∴3Φ2=2-，
则（3Φ2）-（8Φ12）=2--(4+2)=-5.
故选：B.
【分析】根据规定的运算分别计算（3Φ2）和（8Φ12）的值，再求差并结合二次根式的加减法法则计算即可求解.
4．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： =4+，
∵3＜＜4，
∴7＜4+＜8，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的混合运算先求值，再估算即可.
5．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
B、是最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
C、2是整式，与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
D、是最简二次根式，与是同类二次根式，能合并， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，再判断即可.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，，
∴与可以进行合并的是 .
故答案为：B.
【分析】首先将各个根式化为最简二次根式，然后根据“几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式”找出与为同类二次根式的即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】A、在和之间且更接近前者，即在4与5之间且更接近4，整数部分为4，4-3=1，A不符合题意；B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，更接近的整数为1，故D符合题意.
故答案为：D
【分析】根式的大小，可以通过夹逼法则确定范围。根式大小的比较，可以比较被开方数的大小。
8．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
9．【答案】12
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得，
∴mn=12，
故答案为：12
【分析】根据最简同类二次根式的定义即可得到，进而解二元一次方程组即可。
10．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】将同类二次根式的系数相加，被开方数不变，然后进行计算.
11．【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得，
故答案为：1．
【分析】根据同类二次根式的定义可得，解之可得答案。
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，，根据完全平方公式可得，整体代值计算即可。
13．【答案】5050
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
，
……，
，
∴ S1+S2+…+S100＝ 1+2+3+……+100=.
故答案为：5050.
【分析】首先根据二次根式的混合运算法则算出ab的值，进而根据异分母分式加法法则分别算出 S1=1，S2=2，…，S100=100，最后根据有理数的加法法则计算即可.
14．【答案】解：∵，，
∴，
∴
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先根据已知条件，判断a、b的正负号，并依此进行二次根式 的化简，最后把a+b和ab整体代入化简后的式子中，正确计算即可。
15．【答案】解：不正确．正解解答过程如下：
原式= ，
当a＝ 时，原式＝ ．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】利用二次根式的性质对式子化简，再将a的值代入计算求解即可。
16．【答案】解：原式＝-3-3+1+4-1＝-2．
【知识点】二次根式的定义；二次根式的混合运算；偶次方的非负性
【解析】【分析】常见的10以内非0自然数的三次方分别是1、8、27、64、125、216等应熟知；勾三股四弦五；负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数，1的非0次方，奇次为-1偶次为+1；非0数的0次方是1，一个数的负指数幂相当于这个数的正指数幂的倒数。
17．【答案】（1）解：原式=
=
=；
（2）
（3）解：由（2）可知：
原式=-1++-+…+-
=-1+
=9．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（2） ；
故答案为：；
【分析】（1）把分子分母同乘，然后计算即可；
（2）把分子分母同乘，然后计算即可；
（3）根据（2）结论将原式化为-1++-+…+- ，再计算加减即可.
18．【答案】（1）；
（2）解：
（3）解： ， ，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）； ；
故答案为：；；
【分析】（1）根据分母有理化进行求解即可；
（2）将各分母进行有理化运算，再合并即可；
（3）先求出各式的倒数，再进行比较即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·德清期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、=3，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B；根据二次根式的减法法则可判断C；根据二次根式的除法法则可判断D.
2．（2023七下·濮阳期末）下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、=3+1=4，故正确；
B、=4-(-3)=7，故错误；
C、，故正确；
D、|-|+=-+=+，故正确.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算法则可判断A、C；根据算术平方根以及立方根的概念可判断B；根据绝对值的性质以及二次根式的加减法可判断D.
3．（2023八下·双鸭山期末）我们规定：对于任意的正数m，n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：∵当时， ，而8＜12，
∴8Φ12=2+=4+2；
∵当时， ，而3＞2，
∴3Φ2=2-，
则（3Φ2）-（8Φ12）=2--(4+2)=-5.
故选：B.
【分析】根据规定的运算分别计算（3Φ2）和（8Φ12）的值，再求差并结合二次根式的加减法法则计算即可求解.
4．（2023八下·景县期中）计算的结果估计在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： =4+，
∵3＜＜4，
∴7＜4+＜8，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的混合运算先求值，再估算即可.
5．（2023八下·南宁期中）下列各式中能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
B、是最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
C、2是整式，与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
D、是最简二次根式，与是同类二次根式，能合并， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，再判断即可.
6．（2023八下·陇县期中）下列式子与可以进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，，
∴与可以进行合并的是 .
故答案为：B.
【分析】首先将各个根式化为最简二次根式，然后根据“几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式”找出与为同类二次根式的即可.
7．（2022七下·桐城期末）与-3最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】A、在和之间且更接近前者，即在4与5之间且更接近4，整数部分为4，4-3=1，A不符合题意；B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，更接近的整数为1，故D符合题意.
故答案为：D
【分析】根式的大小，可以通过夹逼法则确定范围。根式大小的比较，可以比较被开方数的大小。
8．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
二、填空题
9．（2023八下·亳州期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
【答案】12
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得，
∴mn=12，
故答案为：12
【分析】根据最简同类二次根式的定义即可得到，进而解二元一次方程组即可。
10．（2023七下·广州期中）计算：＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】将同类二次根式的系数相加，被开方数不变，然后进行计算.
11．（2023八下·怀集期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．
【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得，
故答案为：1．
【分析】根据同类二次根式的定义可得，解之可得答案。
12．（2023八下·定州期中）已知，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，，根据完全平方公式可得，整体代值计算即可。
13．（2023·黄冈模拟）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝， 记
…，S100＝，则S1+S2+…+S100＝ ．
【答案】5050
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
，
……，
，
∴ S1+S2+…+S100＝ 1+2+3+……+100=.
故答案为：5050.
【分析】首先根据二次根式的混合运算法则算出ab的值，进而根据异分母分式加法法则分别算出 S1=1，S2=2，…，S100=100，最后根据有理数的加法法则计算即可.
三、解答题
14．（2023七下·虹口期末）已知：，，求：的值．
【答案】解：∵，，
∴，
∴
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先根据已知条件，判断a、b的正负号，并依此进行二次根式 的化简，最后把a+b和ab整体代入化简后的式子中，正确计算即可。
15．（2023八下·仁化期中）有一道练习题：对于式子先化简，后求值，其中a=．
小明的解法如下：
．
小明的解法对吗 如果不对，请改正．
【答案】解：不正确．正解解答过程如下：
原式= ，
当a＝ 时，原式＝ ．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】利用二次根式的性质对式子化简，再将a的值代入计算求解即可。
四、计算题
16．（2022七下·桐城期末）计算：．
【答案】解：原式＝-3-3+1+4-1＝-2．
【知识点】二次根式的定义；二次根式的混合运算；偶次方的非负性
【解析】【分析】常见的10以内非0自然数的三次方分别是1、8、27、64、125、216等应熟知；勾三股四弦五；负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数，1的非0次方，奇次为-1偶次为+1；非0数的0次方是1，一个数的负指数幂相当于这个数的正指数幂的倒数。
五、综合题
17．（2023八下·景县期中）观察、发现：====-1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
【答案】（1）解：原式=
=
=；
（2）
（3）解：由（2）可知：
原式=-1++-+…+-
=-1+
=9．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（2） ；
故答案为：；
【分析】（1）把分子分母同乘，然后计算即可；
（2）把分子分母同乘，然后计算即可；
（3）根据（2）结论将原式化为-1++-+…+- ，再计算加减即可.
18．（2023八下·任城期中）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
（1）计算： ； ；
（2）计算：；
（3）比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解： ， ，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）； ；
故答案为：；；
【分析】（1）根据分母有理化进行求解即可；
（2）将各分母进行有理化运算，再合并即可；
（3）先求出各式的倒数，再进行比较即可.
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