2023-2024学年初中数学九年级上册 1.2 反比例函数的图像与性质 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·临渭期末）已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝-2x没有交点，且双曲线图象上有三点A（-1，a）、B（-3，b）、C（4，c），则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
2．（2023九上·礼泉期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞-3 C．m＜3 D．m＜-3
3．（2023九上·新邵期末）对于反比例函数.下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在二，四象限内
B．图象经过点
C．当时，y随x的增大而增大
D．若点都在函数的图象上，且时，则
4．（2023九上·汉台期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．函数图象位于第一、三象限
C．已知点，连接OB，BD，则
D．若，则
5．（2023九上·临湘期末）下列图象中是反比例函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2022九上·平遥期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·灌阳期中）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
二、填空题
9．（2023九上·西安期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为
10．（2023九上·礼泉期末）如图，点A是反比例函数 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C 为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是 .
11．（2023九上·临湘期末）如果点、、是反比例函数图像上的三个点，则、、的大小关系是 .（用“”连接）
12．（2023九上·崇左期末）如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为 .
13．（2022九上·长兴开学考）如图，四边形为矩形，点在第三象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图象上，轴于点.若的延长线交轴于点，当矩形的面积为6时，的值为 .
三、解答题
14．（2022九上·莲湖期末）已知反比例函数 的图象位于第二、四象限，正比例函数 图象经过第一、三象限，求k的整数值．
15．（2022九上·莲湖期末）如图所示，矩形AOBC的边AO，OB在两坐标轴上，双曲线 与矩形AOBC的边交于点D，E，点C（8，5），求D，E两点的坐标．
四、综合题
16．（2023九上·礼泉期末）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知A点的坐标是(2，3)，BC=2.
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）点P为反比例函数y=m/x图象上的任意一点，若S_POC=3S_ABC，求点P的坐标.
17．（2022九上·长沙月考）在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标，我们把称为A、B两点的“横向距离”，记作=.例如：，则=.
（1）①若点，当A、B都在函数的函数图象上时，= .
②若点，当A、B都在函数的函数图象上时，= .
（2）已知直线交x轴于B点，交y轴于A点，在第一象限内交双曲线于C，D两点，且满足.若恒成立，求m的最大值.
（3）若抛物线与直线在同一坐标平面内交于，，且满足下列两个条件：①，②抛物线过，试求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的解析式为，
∴正比例函数图象经过二、四象限，
∵反比例函数与正比例函数没有交点，
∴反比例函数图象不在二、四象限即反比例函数图象在一、三象限，
∴当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而减小，且在第三象限内，反比例函数的函数值都小于0，第一象限内，反比例函数的函数值大于0，
∵-3<-1<0<4，
∴c＞b＞a.
故答案为：C.
【分析】根据正比例函数的解析式可得其图象经过二、四象限，由反比例函数与正比例函数没有交点可知反比例函数图象在一、三象限，且在每一象限内，y随x增大而减小，据此进行比较.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴m-3＞0
解之：m＞3.
故答案为：A
【分析】利用反比例函数（k≠0），当k＞0时，图象分支在第一、三象限；当k＜0时，图象分支在第二、四象限，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴图象过二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
当时，，
∴图象经过点，
A、选项正确，不符合题意；
B、选项正确，不符合题意；
C、选项正确，不符合题意；
D、当时，，选项错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】由于反比例函数解析式中比例系数k=-2023＜0，故图象的两支分别分布于二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断A、C选项；将x=-1代入反比例函数解析式算出对应的函数值可判断B选项，当A、B两点在不同的象限的时候，即x1＜0＜x2，y1＞y2，据此可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过
∴
∴，即选项A正确；
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，即选项B正确；
∵反比例函数的图象经过
∴
∴
∵，
∴轴，，
∴，即选项C正确；
当时，则；当时，则，即选项D不正确；
故答案为：D.
【分析】将C（3，2）代入y=中可求出k的值，据此判断A；根据k的值可得反比例函数图象所在的象限，据此判断B；将B（2，y2）代入可求出y2的值，得到点B的坐标，由B、D的坐标可得BD=3，OD=2，然后根据三角形的面积公式可判断C；根据反比例函数的性质可判断D.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：反比例函数图象的是C.
故答案为：C.
【分析】y=-中，k=-2<0，则反比例函数的图象位于二、四象限，据此判断.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵y=-，若x1x2＞0，
当x1＜x2＜x3＜0时，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1y3＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=-，若x1x3＜0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y2＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=-，若x2x3＞0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y3＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=-，若x2x3＜0，
∴x1＜x2＜0＜x3时，
∴y2＞y1＞0＞y3，
∴y1y3＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，，，
轴，，，
，
将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，
，，，
在中，，
，
设，
①，②，
①②得③，
把③代入①整理得，解得（舍去），，
当时，，
，
把代入得．
∴，
故答案为：D．
【分析】利用A、B、C的坐标及勾股定理求出，由旋转的性质可得，，，在中，利用勾股定理求出OA'，即得A’（0，8），设，可得①，②，联立①②可求出a、b值，即得C'坐标，将其代入中即可求出k值.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线上
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得，根据反比例函数k的几何意义得，从而可得，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
9．【答案】8
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；矩形的性质
【解析】【解答】解：设A的坐标为（a，）
∴
∵四边形为矩形
∴
∴B的纵坐标为
∴B的横坐标为
∴
∴矩形ABCD的面积=
故答案为：8.
【分析】设A（a，），则AD=，根据矩形的性质可得BC=AD=，则点B的纵坐标为，将y=代入y=中求出x的值，得到点B的横坐标为3a，则CD=2a，接下来根据矩形的面积公式进行计算.
10．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABO=90°=∠BOC，
∴OC∥AB，
∴S△AOB=S△ABC=3，
∴，
∵k＜0，
∴k=-6.
故答案为：-6
【分析】连接OA，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可得到△AOB的面积，再根据反比例函数的几何意义，可求出k的值.
11．【答案】
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：把、、代入是反比例函数解析式得：
=-1；=1；=
∴
故答案为：.
【分析】分别将x=-1、1、2代入反比例函数解析式中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较.
12．【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，
设的横坐标分别是，
点为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是，
则，，
两点在双曲线上，
则，
，，
，
，
两边平方得：，
即，
在直角中，
，
同理可得，，
，
故答案为：4.
【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F，设A（a，a），B（b，b），则AE=OE=a，BF=OF=b，CE=，DF=，BD=BF-DF=b-，AC=-a，根据AC=BD可得，由勾股定理可得OD2=OF2+DF2=b2+，OC2=a2+，据此求解.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质；三角形的面积；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接BF和DO，
由对称性和矩形的性质，易得△OAB≌△BCO≌△BDO，
∴BO∥DF，
∴S△BFE=S△BDO=S矩形OABC=3，
又∵点B在反比例函数y=图象上，
∴S△BEO=，
∴===.
故答案为：.
【分析】分别连接BF和DO，由对称性和矩形的性质，易得△OAB≌△BCO≌△BDO，即得BO∥DF，从而求得△BFE的面积，再由反比例函数”k“的几何意义可得△BEO的面积，最后根据等高三角形面积之比等于底之比，代入数据计算，即可求出.
14．【答案】解： 反比例函数 的图象位于第二、四象限，正比例函数 图象经过第一、三象限，
∴
解之：
∴k的取值范围是，
∴k的整数值为1.
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】利用反比例函数（k≠0）的图象分支在第二、四象限，则k＜0；正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，可知k＞0；由此可得到关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集，利用不等式组的解集可得到k的整数值.
15．【答案】解：∵矩形ABCD，点C（8，5）
∴AC∥x轴，BC∥y轴，
∵点D，E在反比例 的图象上，
∴当y=5时，
5x=8
解之：
∴点；
当x=8时，8y=8，
解之：y=1
∴点E（8，1）.
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】利用矩形的性质可证得AC∥x轴，BC∥y轴，由点D，E在反比例 的图象上，可求出当y=5时的x的值，可得到点D的坐标，再求出当x=8时y的值，可得到点E的坐标.
16．【答案】（1）解：∵反比例函数 过点A(2，3)，
∴m=2×3=6.
∴反比例函数的关系式为
∵BC=2，∴B的纵坐标为-2，
代入得，
解得x=-3，
∴B(-3，-2)，
∵A(2，3)，B(-3，-2)两点在y=kx+b上，
解得：
∴一次函数的关系式为：y=x+1.
（2）解：∵ BC=2，
即
当点P的纵坐标为10时，则 解得
当点P的纵坐标为-10时，则 解得
∴点P的坐标为 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式；由此可求出点B的坐标，将点A，B的坐标代入一次函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式.
（2）利用BC的长和三角形的面积公式求出△ABC的面积，即可得到△POC的面积；利用△POC的面积，可求出点P的纵坐标，据此可求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标.
17．【答案】（1）4；6
（2）解：直线，当时，，当时，，
∴，
∵，
∴是的三等分点，
∴，
∵点和点在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴
∵ 恒成立，
∴；
（3）解：联立 得∶，
∵抛物线与直线交点为，，
∴，
∴
；
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，解得：；
∴，
∴，
∵，
对称轴为，
∴，随着的增大而增大，
当时，，；
当时，，；
∴.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）解：①当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴，
∴；
故答案为：4；
②当时，，解得：；当时，，解得：；
∴，
∴；
故答案为：6；
【分析】（1）①将A、B两点的纵坐标分别代入y=2x+4算出对应的自变量x的值，求出A、B两点的坐标，进而根据 “横向距离” 的定义求解即可；②将A、B两点的纵坐标分别代入 算出对应的自变量x的值，求出A、B两点的坐标，进而根据 “横向距离” 的定义求解即可；
（2）分别令解析式y=-x+b中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得A、B两点的坐标，由题意易得C、D是AB的三等分点，据此用含b的式子表示出C、D的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于定值k，用含b的式子表示出k，再代入已知不等式，利用配方法及偶数次幂的非负性即可得出答案；
（3）联立抛物线与一次函数的解析式可得关于x的一元二次方程 ，根据根与系数的关系可得a、b、c之间的关系 ，进而根据“横向距离” 的定义表示出 ，然后根据条件①和条件②列出不等式，解不等式得到 的取值范围．
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 1.2 反比例函数的图像与性质 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·临渭期末）已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝-2x没有交点，且双曲线图象上有三点A（-1，a）、B（-3，b）、C（4，c），则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的解析式为，
∴正比例函数图象经过二、四象限，
∵反比例函数与正比例函数没有交点，
∴反比例函数图象不在二、四象限即反比例函数图象在一、三象限，
∴当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而减小，且在第三象限内，反比例函数的函数值都小于0，第一象限内，反比例函数的函数值大于0，
∵-3<-1<0<4，
∴c＞b＞a.
故答案为：C.
【分析】根据正比例函数的解析式可得其图象经过二、四象限，由反比例函数与正比例函数没有交点可知反比例函数图象在一、三象限，且在每一象限内，y随x增大而减小，据此进行比较.
2．（2023九上·礼泉期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞-3 C．m＜3 D．m＜-3
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴m-3＞0
解之：m＞3.
故答案为：A
【分析】利用反比例函数（k≠0），当k＞0时，图象分支在第一、三象限；当k＜0时，图象分支在第二、四象限，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
3．（2023九上·新邵期末）对于反比例函数.下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在二，四象限内
B．图象经过点
C．当时，y随x的增大而增大
D．若点都在函数的图象上，且时，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴图象过二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
当时，，
∴图象经过点，
A、选项正确，不符合题意；
B、选项正确，不符合题意；
C、选项正确，不符合题意；
D、当时，，选项错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】由于反比例函数解析式中比例系数k=-2023＜0，故图象的两支分别分布于二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断A、C选项；将x=-1代入反比例函数解析式算出对应的函数值可判断B选项，当A、B两点在不同的象限的时候，即x1＜0＜x2，y1＞y2，据此可判断D选项.
4．（2023九上·汉台期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．函数图象位于第一、三象限
C．已知点，连接OB，BD，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过
∴
∴，即选项A正确；
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，即选项B正确；
∵反比例函数的图象经过
∴
∴
∵，
∴轴，，
∴，即选项C正确；
当时，则；当时，则，即选项D不正确；
故答案为：D.
【分析】将C（3，2）代入y=中可求出k的值，据此判断A；根据k的值可得反比例函数图象所在的象限，据此判断B；将B（2，y2）代入可求出y2的值，得到点B的坐标，由B、D的坐标可得BD=3，OD=2，然后根据三角形的面积公式可判断C；根据反比例函数的性质可判断D.
5．（2023九上·临湘期末）下列图象中是反比例函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：反比例函数图象的是C.
故答案为：C.
【分析】y=-中，k=-2<0，则反比例函数的图象位于二、四象限，据此判断.
6．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵y=-，若x1x2＞0，
当x1＜x2＜x3＜0时，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1y3＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=-，若x1x3＜0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y2＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=-，若x2x3＞0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y3＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=-，若x2x3＜0，
∴x1＜x2＜0＜x3时，
∴y2＞y1＞0＞y3，
∴y1y3＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.
7．（2022九上·平遥期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，，，
轴，，，
，
将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，
，，，
在中，，
，
设，
①，②，
①②得③，
把③代入①整理得，解得（舍去），，
当时，，
，
把代入得．
∴，
故答案为：D．
【分析】利用A、B、C的坐标及勾股定理求出，由旋转的性质可得，，，在中，利用勾股定理求出OA'，即得A’（0，8），设，可得①，②，联立①②可求出a、b值，即得C'坐标，将其代入中即可求出k值.
8．（2022九上·灌阳期中）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线上
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得，根据反比例函数k的几何意义得，从而可得，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
二、填空题
9．（2023九上·西安期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为
【答案】8
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的图象；矩形的性质
【解析】【解答】解：设A的坐标为（a，）
∴
∵四边形为矩形
∴
∴B的纵坐标为
∴B的横坐标为
∴
∴矩形ABCD的面积=
故答案为：8.
【分析】设A（a，），则AD=，根据矩形的性质可得BC=AD=，则点B的纵坐标为，将y=代入y=中求出x的值，得到点B的横坐标为3a，则CD=2a，接下来根据矩形的面积公式进行计算.
10．（2023九上·礼泉期末）如图，点A是反比例函数 的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C 为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是 .
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABO=90°=∠BOC，
∴OC∥AB，
∴S△AOB=S△ABC=3，
∴，
∵k＜0，
∴k=-6.
故答案为：-6
【分析】连接OA，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可得到△AOB的面积，再根据反比例函数的几何意义，可求出k的值.
11．（2023九上·临湘期末）如果点、、是反比例函数图像上的三个点，则、、的大小关系是 .（用“”连接）
【答案】
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：把、、代入是反比例函数解析式得：
=-1；=1；=
∴
故答案为：.
【分析】分别将x=-1、1、2代入反比例函数解析式中求出y1、y2、y3的值，然后进行比较.
12．（2023九上·崇左期末）如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为 .
【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，
设的横坐标分别是，
点为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是，
则，，
两点在双曲线上，
则，
，，
，
，
两边平方得：，
即，
在直角中，
，
同理可得，，
，
故答案为：4.
【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F，设A（a，a），B（b，b），则AE=OE=a，BF=OF=b，CE=，DF=，BD=BF-DF=b-，AC=-a，根据AC=BD可得，由勾股定理可得OD2=OF2+DF2=b2+，OC2=a2+，据此求解.
13．（2022九上·长兴开学考）如图，四边形为矩形，点在第三象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图象上，轴于点.若的延长线交轴于点，当矩形的面积为6时，的值为 .
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质；三角形的面积；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接BF和DO，
由对称性和矩形的性质，易得△OAB≌△BCO≌△BDO，
∴BO∥DF，
∴S△BFE=S△BDO=S矩形OABC=3，
又∵点B在反比例函数y=图象上，
∴S△BEO=，
∴===.
故答案为：.
【分析】分别连接BF和DO，由对称性和矩形的性质，易得△OAB≌△BCO≌△BDO，即得BO∥DF，从而求得△BFE的面积，再由反比例函数”k“的几何意义可得△BEO的面积，最后根据等高三角形面积之比等于底之比，代入数据计算，即可求出.
三、解答题
14．（2022九上·莲湖期末）已知反比例函数 的图象位于第二、四象限，正比例函数 图象经过第一、三象限，求k的整数值．
【答案】解： 反比例函数 的图象位于第二、四象限，正比例函数 图象经过第一、三象限，
∴
解之：
∴k的取值范围是，
∴k的整数值为1.
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】利用反比例函数（k≠0）的图象分支在第二、四象限，则k＜0；正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，可知k＞0；由此可得到关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集，利用不等式组的解集可得到k的整数值.
15．（2022九上·莲湖期末）如图所示，矩形AOBC的边AO，OB在两坐标轴上，双曲线 与矩形AOBC的边交于点D，E，点C（8，5），求D，E两点的坐标．
【答案】解：∵矩形ABCD，点C（8，5）
∴AC∥x轴，BC∥y轴，
∵点D，E在反比例 的图象上，
∴当y=5时，
5x=8
解之：
∴点；
当x=8时，8y=8，
解之：y=1
∴点E（8，1）.
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】利用矩形的性质可证得AC∥x轴，BC∥y轴，由点D，E在反比例 的图象上，可求出当y=5时的x的值，可得到点D的坐标，再求出当x=8时y的值，可得到点E的坐标.
四、综合题
16．（2023九上·礼泉期末）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知A点的坐标是(2，3)，BC=2.
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）点P为反比例函数y=m/x图象上的任意一点，若S_POC=3S_ABC，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数 过点A(2，3)，
∴m=2×3=6.
∴反比例函数的关系式为
∵BC=2，∴B的纵坐标为-2，
代入得，
解得x=-3，
∴B(-3，-2)，
∵A(2，3)，B(-3，-2)两点在y=kx+b上，
解得：
∴一次函数的关系式为：y=x+1.
（2）解：∵ BC=2，
即
当点P的纵坐标为10时，则 解得
当点P的纵坐标为-10时，则 解得
∴点P的坐标为 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式；由此可求出点B的坐标，将点A，B的坐标代入一次函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式.
（2）利用BC的长和三角形的面积公式求出△ABC的面积，即可得到△POC的面积；利用△POC的面积，可求出点P的纵坐标，据此可求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标.
17．（2022九上·长沙月考）在平面直角坐标系内，已知任意两点的坐标，我们把称为A、B两点的“横向距离”，记作=.例如：，则=.
（1）①若点，当A、B都在函数的函数图象上时，= .
②若点，当A、B都在函数的函数图象上时，= .
（2）已知直线交x轴于B点，交y轴于A点，在第一象限内交双曲线于C，D两点，且满足.若恒成立，求m的最大值.
（3）若抛物线与直线在同一坐标平面内交于，，且满足下列两个条件：①，②抛物线过，试求的取值范围.
【答案】（1）4；6
（2）解：直线，当时，，当时，，
∴，
∵，
∴是的三等分点，
∴，
∵点和点在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴
∵ 恒成立，
∴；
（3）解：联立 得∶，
∵抛物线与直线交点为，，
∴，
∴
；
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，解得：；
∴，
∴，
∵，
对称轴为，
∴，随着的增大而增大，
当时，，；
当时，，；
∴.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）解：①当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴，
∴；
故答案为：4；
②当时，，解得：；当时，，解得：；
∴，
∴；
故答案为：6；
【分析】（1）①将A、B两点的纵坐标分别代入y=2x+4算出对应的自变量x的值，求出A、B两点的坐标，进而根据 “横向距离” 的定义求解即可；②将A、B两点的纵坐标分别代入 算出对应的自变量x的值，求出A、B两点的坐标，进而根据 “横向距离” 的定义求解即可；
（2）分别令解析式y=-x+b中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得A、B两点的坐标，由题意易得C、D是AB的三等分点，据此用含b的式子表示出C、D的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于定值k，用含b的式子表示出k，再代入已知不等式，利用配方法及偶数次幂的非负性即可得出答案；
（3）联立抛物线与一次函数的解析式可得关于x的一元二次方程 ，根据根与系数的关系可得a、b、c之间的关系 ，进而根据“横向距离” 的定义表示出 ，然后根据条件①和条件②列出不等式，解不等式得到 的取值范围．
1 / 1
