2023-2024学年初中数学九年级上册 2.1 一元二次方程 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·南宁期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·澄城期末）若 是关于 的一元二次方程，则（ ）
A． B．
C． D． 且
3．（2022九上·广平期末）下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·安岳期末）“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九上·聊城期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022九上·黄埔期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·河东期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，-1 C．5，-4，1 D．5，-4，-1
8．（2022九上·高州月考）一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，1 B．2，0 C．2，－1 D．－3，－1
二、填空题
9．（2023九上·凤凰期末）已知：是关于x的一元二次方程，则m= .
10．（2022九上·平遥期末）一元二次方程的一般形式是 ．
11．（2022九上·铁岭月考）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列出方程为 ．
12．（2022九上·宿豫开学考）将一元二次方程化成一般形式可得 ．
13．（2022九上·新城月考）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
三、解答题
14．（2022九上·惠阳月考）把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
15．（2022九上·海东期中）关于x的一元二次方程2（x-1）2+b（x-1）+c＝0化为一般形式后为2x2-3x-1＝0，试求b，c的值．
四、综合题
16．（2021九上·贵阳月考）已知方程 .
（1）当m取何值时是一元二次方程？
（2）当m取何值时是一元一次方程？
17．（2020九上·芜湖月考）方程 ．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于 的一元二次方程，
∴a-1≠0，
解之：a≠1.
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、的一次项系数为3，符合题意；
B、的一次项系数为0，不符合题意；
C、的一次项系数为，不符合题意；
D、的一次项系数为2，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的定义求解即可。
4．【答案】A
【知识点】根据数量关系列方程；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
根据题意即可列出方程：.
故答案为：A.
【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，由题意可得八年级人均阅读量为100(1+x)万字，九年级人均阅读量为100(1+x)2万字，然后根据九年级每年121万字即可列出方程.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①满足概念，是一元二次方程；
②满足概念，是一元二次方程；
③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；
④满足概念，是一元二次方程；
⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；
⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；
一元二次方程有①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴．
∴．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程的定义可得，再求出m的取值范围即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：5x2+1=4x可化为5x2-4x+1=0，
它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，-4，1．
故答案为：C．
【分析】先将方程化为一般式，再求出a、b、c的值即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数为2，常数项为-1．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的二次项的系数的定义及常数项的定义求解即可。
9．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，则m-1≠0且|m+2|=2，联立求解可得m的值.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：，
去括号，得，
移项得，
原方程的一般形式是．
故答案为：．
【分析】利用去括号、移项合并整理成ax2+bx+c=0(a≠0）的形式即可.
11．【答案】1000(1－x)2＝810
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得： 1000（1－x）2＝810 .
故答案为： 1000（1－x）2＝810 .
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意得出经过连续两次降价后，售价为1000（1－x）2元，再根据现售价为810元，列出方程即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：.
【分析】根据去括号、移项、合并同类项即可将一元二次方程化为一般形式.
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：-1．
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于c的方程和不等式，解之可求解.
14．【答案】解：去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 1，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，16，0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
15．【答案】解：2（x2-2x+1）+bx-b+c＝0，
2x2+（b-4）x+2-b+c＝0，
所以b-4＝-3，2-b+c＝-1，
解得b＝1，c＝-2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b-4）x+2-b+c＝0，再利用待定系数法可得b-4＝-3，2-b+c＝-1，最后求出b、c的值即可。
16．【答案】（1）解： 是一元二次方程，
m+1≠0，m2+1=2，
m=1，
当m=1时，方程 是一元二次方程；
（2）解： (m＋1)xm2＋1＋(m 3)x 1＝0是一元一次方程，
①m＋1+m-3≠0，m2＋1＝1，解得m＝0；
②m＋1＝0，解得m＝ 1；
③m2＋1＝0且m 3≠0，方程无解．
故当m＝0或m＝ 1时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m 3)x 1＝0是一元一次方程.
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）形如“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此可得m+1≠0且m2+1=2，求解可得m的值；
（2）只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，且一次项的系数不为0的整式方程就是一元一次方程，据此可得m+1≠0且m2+1=1或m+1=0，求解即可.
17．【答案】（1）依题意得：m﹣2≠0且 ，解得：m=－4，此时方程为： ，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1
（2）依题意得：m－2=0，或 或 且2m+2≠0，解得：m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3．
即当m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且 ，解答即可；（2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或 或 且2m+2≠0．
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 2.1 一元二次方程 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·南宁期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
2．（2023九上·澄城期末）若 是关于 的一元二次方程，则（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 是关于 的一元二次方程，
∴a-1≠0，
解之：a≠1.
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
3．（2022九上·广平期末）下列一元二次方程中，一次项系数为3的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、的一次项系数为3，符合题意；
B、的一次项系数为0，不符合题意；
C、的一次项系数为，不符合题意；
D、的一次项系数为2，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的定义求解即可。
4．（2023九上·安岳期末）“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据数量关系列方程；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
根据题意即可列出方程：.
故答案为：A.
【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，由题意可得八年级人均阅读量为100(1+x)万字，九年级人均阅读量为100(1+x)2万字，然后根据九年级每年121万字即可列出方程.
5．（2022九上·聊城期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①满足概念，是一元二次方程；
②满足概念，是一元二次方程；
③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；
④满足概念，是一元二次方程；
⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；
⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；
一元二次方程有①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
6．（2022九上·黄埔期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴．
∴．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程的定义可得，再求出m的取值范围即可。
7．（2022九上·河东期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，-1 C．5，-4，1 D．5，-4，-1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：5x2+1=4x可化为5x2-4x+1=0，
它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，-4，1．
故答案为：C．
【分析】先将方程化为一般式，再求出a、b、c的值即可。
8．（2022九上·高州月考）一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，1 B．2，0 C．2，－1 D．－3，－1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数为2，常数项为-1．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的二次项的系数的定义及常数项的定义求解即可。
二、填空题
9．（2023九上·凤凰期末）已知：是关于x的一元二次方程，则m= .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，则m-1≠0且|m+2|=2，联立求解可得m的值.
10．（2022九上·平遥期末）一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：，
去括号，得，
移项得，
原方程的一般形式是．
故答案为：．
【分析】利用去括号、移项合并整理成ax2+bx+c=0(a≠0）的形式即可.
11．（2022九上·铁岭月考）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列出方程为 ．
【答案】1000(1－x)2＝810
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得： 1000（1－x）2＝810 .
故答案为： 1000（1－x）2＝810 .
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意得出经过连续两次降价后，售价为1000（1－x）2元，再根据现售价为810元，列出方程即可.
12．（2022九上·宿豫开学考）将一元二次方程化成一般形式可得 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：.
【分析】根据去括号、移项、合并同类项即可将一元二次方程化为一般形式.
13．（2022九上·新城月考）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：-1．
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于c的方程和不等式，解之可求解.
三、解答题
14．（2022九上·惠阳月考）把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】解：去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 1，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，16，0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
15．（2022九上·海东期中）关于x的一元二次方程2（x-1）2+b（x-1）+c＝0化为一般形式后为2x2-3x-1＝0，试求b，c的值．
【答案】解：2（x2-2x+1）+bx-b+c＝0，
2x2+（b-4）x+2-b+c＝0，
所以b-4＝-3，2-b+c＝-1，
解得b＝1，c＝-2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b-4）x+2-b+c＝0，再利用待定系数法可得b-4＝-3，2-b+c＝-1，最后求出b、c的值即可。
四、综合题
16．（2021九上·贵阳月考）已知方程 .
（1）当m取何值时是一元二次方程？
（2）当m取何值时是一元一次方程？
【答案】（1）解： 是一元二次方程，
m+1≠0，m2+1=2，
m=1，
当m=1时，方程 是一元二次方程；
（2）解： (m＋1)xm2＋1＋(m 3)x 1＝0是一元一次方程，
①m＋1+m-3≠0，m2＋1＝1，解得m＝0；
②m＋1＝0，解得m＝ 1；
③m2＋1＝0且m 3≠0，方程无解．
故当m＝0或m＝ 1时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m 3)x 1＝0是一元一次方程.
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）形如“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此可得m+1≠0且m2+1=2，求解可得m的值；
（2）只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，且一次项的系数不为0的整式方程就是一元一次方程，据此可得m+1≠0且m2+1=1或m+1=0，求解即可.
17．（2020九上·芜湖月考）方程 ．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
【答案】（1）依题意得：m﹣2≠0且 ，解得：m=－4，此时方程为： ，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1
（2）依题意得：m－2=0，或 或 且2m+2≠0，解得：m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3．
即当m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且 ，解答即可；（2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或 或 且2m+2≠0．
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