2023-2024学年初中数学九年级上册 2.1 一元二次方程 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2022九上·台州月考）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、x+1=0，此方程是一元一次方程，故A不符合题意；
B、x2+y+1=0，是二元二次方程，故B不符合题意；
C、x2+3x=6是一元二次方程，故C符合题意；
D、此方程是分式方程，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程（一般形式）的定义：含有一个未知数，且含未知数的最高次数是2的整式方程，再对各选项逐一判断.
2．（2022九上·河南期中）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程
∴
解得
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式和方程：m-3≠0，=2，解之可求解.
3．（2023八下·柯桥期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每盆增加株花苗，
得 ，
故答案为：B.
【分析】设每盆增加x株花苗，由每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元可得每株的盈利为(10-x)元，再根据每盆的盈利为40元可列方程(x+3)(10-x)=40.
4．（2023八下·舟山期中） 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微 博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．(n+1)2=1641 B．(n- 1)2=1641
C．n(n+1)=1641 D．1+n+n2=1641
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设邀请了n个好友转发倡议书，
由题意，得1+n+n2=1641.
故答案为：D.
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有1641人参与列出方程即可.
5．（2023八下·鄞州期中）某商品经过连续两次降价，价格从100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（ ）
A．64(1-2x)=100 B．100(1-x)2=64
C．64(1-x)2=100 D．100(1-2x)=64
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵两次降价的百分率都是x，
∴第一次降价后的价格为100(1-x)，第二次降价后的价格为100(1-x)2.
∴价格从100元降为64元，
∴100(1-x)2=64.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：第一次降价后的价格为100(1-x)，第二次降价后的价格为100(1-x)2，然后根据价格从100元降为64元就可列出方程.
6．（2023八下·瑞安期中）受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2020年公司快递业务量为200万件，2022年快递业务量达到288万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．200(1+2x)=288 B．200(1+x)2=288
C．200(1+x2)=288 D．200(1+2x)2=288
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：若设快递量平均每年增长率为x，根据题意得
200(1+x)2=288 .
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为：2020年公司快递业务量×（1+增长率）2=2022年公司快递业务量，列方程即可.
7．（2022九上·南海期中）若关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴a－2≠0，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义可得a－2≠0，再求出a的取值范围即可。
8．（2022九上·天津期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程 的一般形式 ，
其中二次项系数3，一次项系数-8，常数项是-10，
故答案为：D．
【分析】先求出一元二次方程 的一般形式 ，再求解即可。
二、填空题
9．（2023·邛崃模拟）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为 ．
【答案】-4
【知识点】菱形的判定与性质；列一元二次方程
【解析】【解答】a+b＝-2m-1，ab＝m2-4．
∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2+b2＝（a+b）2-2ab＝（-2m-1）2-2（m2-4）＝2m2+4m+9＝52＝25，
解得：m＝-4或m＝2．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝-2m-1＞0，
∴m＝-4．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为-4，
故答案为：-4
【分析】设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b＝-2m-1＞0，即可确定m的值．
10．（2023八下·杭州月考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 .
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程的常数项为0 ，
∴m-1≠0，m2-1=0，
解之：m≠1，m=±1，
∴m=-1.
故答案为：-1
【分析】利用一元二次方程的定义可知m-1≠0，再根据常数项为0，可知m2-1=0，分别求出不等式的解和方程的解，可得到符合题意的m的值.
11．（2022八下·平桂期中）一花户，有25m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为100m2长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一下1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为 .
【答案】x（25-2x+1）=100
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则平行于住房墙的边长为（25-2x+1），根据题意得：
x（25-2x+1）=100.
故答案为：x（25-2x+1）=100.
【分析】设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则平行于住房墙的边长为(25-2x+1)，然后根据矩形的面积公式结合花坛的面积为100m2就可列出方程.
12．（2019八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m=1或m>2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】①当1-m2 =0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1=，x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。
三、解答题
13．（2021九上·凤翔期中）若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？
【答案】解∶由题意得，时，
即时，一元二次方程的常数项为0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的方程和不等式，解之可求解.
14．（2021九上·淮南月考）当m为何值时，关于x的方程 为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
【答案】解：根据题意得：
解得：m=﹣2．
即原方程为：﹣4x2+8x=0，解得：x1=0，x2=2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的含义，求出m的值即可。
四、综合题
15．（1）若关于x的方程x2-x-1=mx2（2x-m+1）是一元二次方程，求出它的二次项系数，一次项系数，常数项．
（2）已知关于x的一元二次方程为2xm-4xn+（m+n）=0，试直接写出满足要求的所有m、n的值．
【答案】（1）解：方程化简得：2mx3-（m2-m+1）x2+x-1=0，又∵这个式子是一元二次方程，∴2m=0即m=0，∴方程是：x2-x-1=0，
∴二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-1
（2）解：这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2．
∴ 或 或 或 或
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）先将原方程转化为一元二方程的一般形式，由此方程是一元二次方程，因此最高次项是2次，并且二次项的系数≠0，可求出m的值，再求出各项系数。
（2）根据这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2，写出符合条件的m、n的值。
16．（2018九上·高碑店月考）先阅读，再填空解答：
方程 的根为 ；
方程 的根为 .
（1）方程 的根是x1= ，x2= ， = ，
= 。
（2）若 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，那么 与系数a、b、c的关系是： = ， = 。
（3）如果 是方程 的两个根，根据⑵所得的结论，求 的值.
【答案】（1）；1；；
（2）；
（3）解：如果 是方程 的两个根，根据⑵所得的结论，
得
= =（-1）2-2×（-3）=7.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：（1）方程 的根是 1， .故答案为： 1， ；
（2）若 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
那么 与系数a、b、c的关系是： ；
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 2.1 一元二次方程 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2022九上·台州月考）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·河南期中）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．0
3．（2023八下·柯桥期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·舟山期中） 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微 博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．(n+1)2=1641 B．(n- 1)2=1641
C．n(n+1)=1641 D．1+n+n2=1641
5．（2023八下·鄞州期中）某商品经过连续两次降价，价格从100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（ ）
A．64(1-2x)=100 B．100(1-x)2=64
C．64(1-x)2=100 D．100(1-2x)=64
6．（2023八下·瑞安期中）受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2020年公司快递业务量为200万件，2022年快递业务量达到288万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ）
A．200(1+2x)=288 B．200(1+x)2=288
C．200(1+x2)=288 D．200(1+2x)2=288
7．（2022九上·南海期中）若关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·天津期中）将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023·邛崃模拟）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为 ．
10．（2023八下·杭州月考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 .
11．（2022八下·平桂期中）一花户，有25m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为100m2长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一下1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为 .
12．（2019八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题
13．（2021九上·凤翔期中）若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？
14．（2021九上·淮南月考）当m为何值时，关于x的方程 为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
四、综合题
15．（1）若关于x的方程x2-x-1=mx2（2x-m+1）是一元二次方程，求出它的二次项系数，一次项系数，常数项．
（2）已知关于x的一元二次方程为2xm-4xn+（m+n）=0，试直接写出满足要求的所有m、n的值．
16．（2018九上·高碑店月考）先阅读，再填空解答：
方程 的根为 ；
方程 的根为 .
（1）方程 的根是x1= ，x2= ， = ，
= 。
（2）若 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，那么 与系数a、b、c的关系是： = ， = 。
（3）如果 是方程 的两个根，根据⑵所得的结论，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、x+1=0，此方程是一元一次方程，故A不符合题意；
B、x2+y+1=0，是二元二次方程，故B不符合题意；
C、x2+3x=6是一元二次方程，故C符合题意；
D、此方程是分式方程，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程（一般形式）的定义：含有一个未知数，且含未知数的最高次数是2的整式方程，再对各选项逐一判断.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程
∴
解得
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式和方程：m-3≠0，=2，解之可求解.
3．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每盆增加株花苗，
得 ，
故答案为：B.
【分析】设每盆增加x株花苗，由每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元可得每株的盈利为(10-x)元，再根据每盆的盈利为40元可列方程(x+3)(10-x)=40.
4．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设邀请了n个好友转发倡议书，
由题意，得1+n+n2=1641.
故答案为：D.
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有1641人参与列出方程即可.
5．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵两次降价的百分率都是x，
∴第一次降价后的价格为100(1-x)，第二次降价后的价格为100(1-x)2.
∴价格从100元降为64元，
∴100(1-x)2=64.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：第一次降价后的价格为100(1-x)，第二次降价后的价格为100(1-x)2，然后根据价格从100元降为64元就可列出方程.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：若设快递量平均每年增长率为x，根据题意得
200(1+x)2=288 .
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为：2020年公司快递业务量×（1+增长率）2=2022年公司快递业务量，列方程即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴a－2≠0，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义可得a－2≠0，再求出a的取值范围即可。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程 的一般形式 ，
其中二次项系数3，一次项系数-8，常数项是-10，
故答案为：D．
【分析】先求出一元二次方程 的一般形式 ，再求解即可。
9．【答案】-4
【知识点】菱形的判定与性质；列一元二次方程
【解析】【解答】a+b＝-2m-1，ab＝m2-4．
∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2+b2＝（a+b）2-2ab＝（-2m-1）2-2（m2-4）＝2m2+4m+9＝52＝25，
解得：m＝-4或m＝2．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝-2m-1＞0，
∴m＝-4．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为-4，
故答案为：-4
【分析】设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b＝-2m-1＞0，即可确定m的值．
10．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程的常数项为0 ，
∴m-1≠0，m2-1=0，
解之：m≠1，m=±1，
∴m=-1.
故答案为：-1
【分析】利用一元二次方程的定义可知m-1≠0，再根据常数项为0，可知m2-1=0，分别求出不等式的解和方程的解，可得到符合题意的m的值.
11．【答案】x（25-2x+1）=100
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则平行于住房墙的边长为（25-2x+1），根据题意得：
x（25-2x+1）=100.
故答案为：x（25-2x+1）=100.
【分析】设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则平行于住房墙的边长为(25-2x+1)，然后根据矩形的面积公式结合花坛的面积为100m2就可列出方程.
12．【答案】m=1或m>2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】①当1-m2 =0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1=，x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。
13．【答案】解∶由题意得，时，
即时，一元二次方程的常数项为0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的方程和不等式，解之可求解.
14．【答案】解：根据题意得：
解得：m=﹣2．
即原方程为：﹣4x2+8x=0，解得：x1=0，x2=2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的含义，求出m的值即可。
15．【答案】（1）解：方程化简得：2mx3-（m2-m+1）x2+x-1=0，又∵这个式子是一元二次方程，∴2m=0即m=0，∴方程是：x2-x-1=0，
∴二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-1
（2）解：这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2．
∴ 或 或 或 或
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）先将原方程转化为一元二方程的一般形式，由此方程是一元二次方程，因此最高次项是2次，并且二次项的系数≠0，可求出m的值，再求出各项系数。
（2）根据这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2，写出符合条件的m、n的值。
16．【答案】（1）；1；；
（2）；
（3）解：如果 是方程 的两个根，根据⑵所得的结论，
得
= =（-1）2-2×（-3）=7.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：（1）方程 的根是 1， .故答案为： 1， ；
（2）若 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
那么 与系数a、b、c的关系是： ；
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