2023-2024学年初中数学九年级上册 2.2 一元二次方程的解法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·南宁期末）已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】将x=1代入方程中即可求出b值.
2．（2023九上·赵县期末）方程x2=4的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=-2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】x2=4
x1=2，x2=-2
故答案为：D
【分析】正数的平方根有两个
3．（2023九上·宜宾期末）把方程化成的形式，则、的值分别是（ ）
A．2，9 B．2，7 C．-2，9 D．-2，7
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，即 ，
∵一元二次方程化成的形式，
∴ .
故答案为：C.
【分析】首先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而进行比较即可得出答案.
4．（2023九上·金牛期末）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+6x+4=0，
∴x2+6x+32=-4+32，
∴（x+3）2=5.
故答案为：A.
【分析】将常数项移到方程的右边，然后配方(方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“32”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
5．（2022九上·翁源期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
6．（2023九上·陈仓期末）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
则 .
故答案为B.
【分析】首先将右边的式子移至左边，然后分解因式可得x(x-1)=0，据此求解.
7．（2022九上·广平期末）如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故答案为：A．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
8．（2022九上·江门期末）已知x= 1是关于x的方程2x2+ax 5=0的一个根，且点A( 1，y1)，B( 2，y2)都在反比例函数y=的图象上，则y1和y2满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵x= 1是关于x的方程2x2+ax 5=0的一个根，
∴2-a-5=0，
∴a=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-，
∵-3＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵点A（-1，y1），B（-2，y2），
∴点A、B都在第二象限，
又-1＞-2，
∴y1＞y2＞0．
故答案为：A．
【分析】将x=-1代入2x2+ax 5=0求出a的值，可得y=-，再利用反比例函数的性质求解即可。
二、填空题
9．（2023九上·礼泉期末）已知关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，则m的值是 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，
∴4-6-m=0
解之：m=-2.
故答案为：-2
【分析】将x=-2代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
10．（2023九上·新邵期末）若m是方程的一个根，则代数式的值等于 .
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2023.
【分析】根据方程根的概念得m2+m=2023，进而将待求式子去括号后整体代入可得答案.
11．（2022九上·紫金期末）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为 .
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】 根据题干信息，将 x=1 代入 中，则1+m+3=0，所以m=-4。
【分析】将 x=1 代入 中可得到m的值。
12．（2023九上·桂平期末）若m是方程的一个根，则的值为 .
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：是方程的一个根，
，，
则
，
故答案为：.
【分析】将x=m代入方程可得，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
13．（2023九上·泰兴期末）方程的解为 .
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或
得，
故答案为： ，.
【分析】将右边的式子移至左边，然后因式分解可得x(x-2)=0，据此求解.
三、解答题
14．（2023九上·平昌期末）已知为方程的根，化简并求值.
【答案】解：
，
∵，即，
∴，，
当时，原式；当当时，原式，
综上所述，分式的值为或1.
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】对括号中的式子进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，利用因式分解法求出方程的根，然后选取使分式有意义的x的值代入计算即可.
15．（2022九上·长顺期中）阅读下面的例题，
范例：解方程 ，
解：（1）当 时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
（2）当x＜0时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
∴原方程的根是，，请参照例题解方程
【答案】解：，
（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
故原方程的根是，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；绝对值的非负性
【解析】【分析】由题意可分两种情况：
（1）当x1时，根据绝对值的非负性去绝对值可得x2-x=0，解方程并结合x的取值范围即可求解；
（2）当x1时，根据绝对值的非负性去绝对值可得x2+x-2=0，解方程并结合x的取值范围即可求解.
四、计算题
16．（2023九上·青秀期末）解方程：.
【答案】解：
左边分解因式可得：
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，故此题用因式分解法求解即可.
五、综合题
17．（2023九上·赵县期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，
（1）解方程x2+2x-8=0，
（2）方程x2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”
【答案】（1）解：方程x2+2x-8=0， 可化为(x+4) (x-2) =0，解得x=-4或2
（2）解：不是；x2+9x+18=0． (答案不唯一)
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）原方程化为：（x+4）（x-2）＝0，
则x+4＝0或x-2＝0，
∴x1＝-4，x2＝2；
（2）解：∵x1＝-4，x2＝2，
∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”，
“倍根方程”可以为x2+9x+18＝0，因为它的两个根是x1＝-3，x2＝-6，满足x2＝2x1．
故答案为：不是；x2+9x+18＝0（答案不唯一）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可．
18．（2022九上·东城期末）下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】（1）解：等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）解：不正确，解答从第③步开始出错；此方程的解为，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】（2）正确的步骤为：
配方，得．③
即
∵，
∴．④
∴，．⑤
此方程的解为，．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 2.2 一元二次方程的解法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·南宁期末）已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·赵县期末）方程x2=4的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=-2
3．（2023九上·宜宾期末）把方程化成的形式，则、的值分别是（ ）
A．2，9 B．2，7 C．-2，9 D．-2，7
4．（2023九上·金牛期末）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·翁源期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·陈仓期末）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2022九上·广平期末）如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
8．（2022九上·江门期末）已知x= 1是关于x的方程2x2+ax 5=0的一个根，且点A( 1，y1)，B( 2，y2)都在反比例函数y=的图象上，则y1和y2满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·礼泉期末）已知关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，则m的值是 .
10．（2023九上·新邵期末）若m是方程的一个根，则代数式的值等于 .
11．（2022九上·紫金期末）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为 .
12．（2023九上·桂平期末）若m是方程的一个根，则的值为 .
13．（2023九上·泰兴期末）方程的解为 .
三、解答题
14．（2023九上·平昌期末）已知为方程的根，化简并求值.
15．（2022九上·长顺期中）阅读下面的例题，
范例：解方程 ，
解：（1）当 时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
（2）当x＜0时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
∴原方程的根是，，请参照例题解方程
四、计算题
16．（2023九上·青秀期末）解方程：.
五、综合题
17．（2023九上·赵县期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，
（1）解方程x2+2x-8=0，
（2）方程x2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”
18．（2022九上·东城期末）下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】将x=1代入方程中即可求出b值.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】x2=4
x1=2，x2=-2
故答案为：D
【分析】正数的平方根有两个
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，即 ，
∵一元二次方程化成的形式，
∴ .
故答案为：C.
【分析】首先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而进行比较即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+6x+4=0，
∴x2+6x+32=-4+32，
∴（x+3）2=5.
故答案为：A.
【分析】将常数项移到方程的右边，然后配方(方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“32”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
6．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
则 .
故答案为B.
【分析】首先将右边的式子移至左边，然后分解因式可得x(x-1)=0，据此求解.
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故答案为：A．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵x= 1是关于x的方程2x2+ax 5=0的一个根，
∴2-a-5=0，
∴a=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-，
∵-3＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵点A（-1，y1），B（-2，y2），
∴点A、B都在第二象限，
又-1＞-2，
∴y1＞y2＞0．
故答案为：A．
【分析】将x=-1代入2x2+ax 5=0求出a的值，可得y=-，再利用反比例函数的性质求解即可。
9．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，
∴4-6-m=0
解之：m=-2.
故答案为：-2
【分析】将x=-2代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
10．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2023.
【分析】根据方程根的概念得m2+m=2023，进而将待求式子去括号后整体代入可得答案.
11．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】 根据题干信息，将 x=1 代入 中，则1+m+3=0，所以m=-4。
【分析】将 x=1 代入 中可得到m的值。
12．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：是方程的一个根，
，，
则
，
故答案为：.
【分析】将x=m代入方程可得，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
13．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或
得，
故答案为： ，.
【分析】将右边的式子移至左边，然后因式分解可得x(x-2)=0，据此求解.
14．【答案】解：
，
∵，即，
∴，，
当时，原式；当当时，原式，
综上所述，分式的值为或1.
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】对括号中的式子进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，利用因式分解法求出方程的根，然后选取使分式有意义的x的值代入计算即可.
15．【答案】解：，
（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
故原方程的根是，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；绝对值的非负性
【解析】【分析】由题意可分两种情况：
（1）当x1时，根据绝对值的非负性去绝对值可得x2-x=0，解方程并结合x的取值范围即可求解；
（2）当x1时，根据绝对值的非负性去绝对值可得x2+x-2=0，解方程并结合x的取值范围即可求解.
16．【答案】解：
左边分解因式可得：
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，故此题用因式分解法求解即可.
17．【答案】（1）解：方程x2+2x-8=0， 可化为(x+4) (x-2) =0，解得x=-4或2
（2）解：不是；x2+9x+18=0． (答案不唯一)
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）原方程化为：（x+4）（x-2）＝0，
则x+4＝0或x-2＝0，
∴x1＝-4，x2＝2；
（2）解：∵x1＝-4，x2＝2，
∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”，
“倍根方程”可以为x2+9x+18＝0，因为它的两个根是x1＝-3，x2＝-6，满足x2＝2x1．
故答案为：不是；x2+9x+18＝0（答案不唯一）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可．
18．【答案】（1）解：等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）解：不正确，解答从第③步开始出错；此方程的解为，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】（2）正确的步骤为：
配方，得．③
即
∵，
∴．④
∴，．⑤
此方程的解为，．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
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