2023-2024学年初中数学九年级上册 2.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·上城期末）若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（ ）
A．， B．，8 C．4， D．4，8
2．（2023八下·东阳期末）已知方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x﹣5）2﹣4（x﹣5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
3．（2023八下·萧山期末）方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
4．（2023八下·嘉兴期末）一元二次方程配方后，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·余姚期末）方程经配方后，可化为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·嵊州期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
8．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022九上·翁源期末）若关于的方程的一个根为2，则的值为 ．
10．（2023·雅安）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
11．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是 .
12．（2023八下·深圳期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
13．（2023·连云）若（为实数），则的最小值为 .
三、解答题
14．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
15．（2022九上·西安月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
①当时，原方程化为，解得，（舍去）；
②当时，原方程化为，解得，（舍去）．
综上所述，原方程的解是，．
请参照上述方法解方程．
四、计算题
16．（2023八下·上城期末）解方程：
（1）；
（2）．
五、综合题
17．（2023八下·渠县期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解：．
解：原式
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：原式
∵，∴，∴的最小值为．
（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为 ；
（2）因式分解： ；
（3）用配方法求代数式的最小值；
（4） 拓展应用：
若实数a，b满足，则的最小值为 ．
18．（2023七下·宁波期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”.
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
判断：45 （请填写“是”或“不是”）“完美数”；
（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（3）如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个实数根为2，
∴22+2×2+m=0，
∴m=-8，
∴，
∴（x-2）（x+4）=0，
∴x1=2，x2=-4，
∴的另一实数根为-4，
故答案为：A.
【分析】根据 关于x的一元二次方程的一个实数根为2 ，把2代入方程得出m的值，再解一元二次方程计算出另一实数根。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，
解得x1=6，x2=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，，
故答案为：D.
【分析】先对方程进行移项，再利用提取公因式法分解方程求解.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
∴x2-4x+4=4+5，
∴(x-2)2=9.
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，
∴9+3a+a=0，
∴a=.
故答案为：B.
【分析】将x=3代入方程中进行计算就可求出a的值.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，
∴a2 +a-2023=0，
∴a2 =-a+2023，
∴a2 +2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b
∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴a+b=-1，
∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022
故答案选D。
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵，，
∴， ，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出， ，再求解即可。
9．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入，
得，
，
故答案为：-4.
【分析】将方程的根代入方程得到关于k的一元一次方程，求解得到k的值.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根为1，
∴1+m-4=0，
解得m=3，
∴，
解得x=-4或x=1，
∴该方程的另一个根为-4，
故答案为：-4
【分析】根据一元二次方程的根即可求出m，进而解一元二次方程即可求解。
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，
∴1+a+2a+3=0，
解得a=.
故答案为：.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.
12．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+7=0.
.
∴ ，
∴x1=3+，x2=3-，
直角边斜边长为：.
故答案为：.
【分析】解出一元二次方程的两个解，利用勾股定理a +b =c ，即可求出斜边的长度.
13．【答案】-2
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3
=y2-(2+4x)y+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2-(1+2x)2+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2+x2+4x+2
=[y-(1+2x)]2+(x+2)2-2
∵[y-(1+2x)]2≥0，(x+2)2≥0，
∴当[y-(1+2x)]2=0，(x+2)2=0时，即x=-2，y=-3，W有最小值等于-2
故答案为：-2.
【分析】整理原式，构造非负数的结构，即可求解W的最小值.
14．【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
15．【答案】解：①当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 ， ．
②当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去），
则原方程的解为 ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】模仿例题分两种情况：①当 ，②当 ，据此分别解方程即可.
16．【答案】（1）解：，
，
，
或，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解方法解一元二次方程；
（2）利用配方法解一元二次方程.
17．【答案】（1）25
（2）
（3）解：
，
，
，
的最小值为4．
（4）3
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）∵是完全平方式 ，
∴k==25；
故答案为：25.
（2） （a-6）2-4=（a-6+2)(a-6-2）=（a-4)(a-8），
故答案为： ；
（4） ∵，
∴a2-4a-a-b+7=0，
∴a+b=a2-4a+7=（a-2）2+3，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+3≥3，
∴的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】（1）完全平方公式中，当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方，据此求解即可；
（2）根据配方法进行因式分解即可；
（3）根据配方法将原式化为 ，根据偶次幂的非负性求解即可；
（4）由可得a+b=a2-4a+7，再利用配方法及偶次幂的非负性求解即可.
18．【答案】（1）8；是
（2）解：，
∴当时，即时，S是完美数；
（3）证明：∵m，n都是“完美数”，
则设，（a，b，c，d都是整数），
∴，
∴
∴mn是完美数，
∵，
∴，
∴也是“完美数”.
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵8=22+22，
∴8是一个“完美数”，
∵45=62+32，
∴45是一个“完美数”，
故答案为：8；是；
【分析】（1）根据“完美数”的定义求解即可；
（2）利用配方法将已知等式的右边变形为（x-3）2+（2y+1）2+k-10，根据“完美数”的定义可得k-10=0，从而求解即可得出k的值，从而得出答案；
（3）根据“完美数”的定义可设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整数），根据多项式乘以多项式的法则及完全平方公式可得mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而根据“完美数”的定义可得mn也是一个“完美数”；而将 的分子利用完全平方公式计算、合并同类项后再约分可得=mn，从而即可得出结论.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 2.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·上城期末）若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（ ）
A．， B．，8 C．4， D．4，8
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个实数根为2，
∴22+2×2+m=0，
∴m=-8，
∴，
∴（x-2）（x+4）=0，
∴x1=2，x2=-4，
∴的另一实数根为-4，
故答案为：A.
【分析】根据 关于x的一元二次方程的一个实数根为2 ，把2代入方程得出m的值，再解一元二次方程计算出另一实数根。
2．（2023八下·东阳期末）已知方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x﹣5）2﹣4（x﹣5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，
解得x1=6，x2=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.
3．（2023八下·萧山期末）方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，，
故答案为：D.
【分析】先对方程进行移项，再利用提取公因式法分解方程求解.
4．（2023八下·嘉兴期末）一元二次方程配方后，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
∴x2-4x+4=4+5，
∴(x-2)2=9.
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．（2023八下·余姚期末）方程经配方后，可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
6．（2023八下·嵊州期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，
∴9+3a+a=0，
∴a=.
故答案为：B.
【分析】将x=3代入方程中进行计算就可求出a的值.
7．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，
∴a2 +a-2023=0，
∴a2 =-a+2023，
∴a2 +2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b
∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴a+b=-1，
∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022
故答案选D。
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。
8．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵，，
∴， ，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出， ，再求解即可。
二、填空题
9．（2022九上·翁源期末）若关于的方程的一个根为2，则的值为 ．
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入，
得，
，
故答案为：-4.
【分析】将方程的根代入方程得到关于k的一元一次方程，求解得到k的值.
10．（2023·雅安）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根为1，
∴1+m-4=0，
解得m=3，
∴，
解得x=-4或x=1，
∴该方程的另一个根为-4，
故答案为：-4
【分析】根据一元二次方程的根即可求出m，进而解一元二次方程即可求解。
11．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，
∴1+a+2a+3=0，
解得a=.
故答案为：.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.
12．（2023八下·深圳期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+7=0.
.
∴ ，
∴x1=3+，x2=3-，
直角边斜边长为：.
故答案为：.
【分析】解出一元二次方程的两个解，利用勾股定理a +b =c ，即可求出斜边的长度.
13．（2023·连云）若（为实数），则的最小值为 .
【答案】-2
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3
=y2-(2+4x)y+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2-(1+2x)2+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2+x2+4x+2
=[y-(1+2x)]2+(x+2)2-2
∵[y-(1+2x)]2≥0，(x+2)2≥0，
∴当[y-(1+2x)]2=0，(x+2)2=0时，即x=-2，y=-3，W有最小值等于-2
故答案为：-2.
【分析】整理原式，构造非负数的结构，即可求解W的最小值.
三、解答题
14．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
15．（2022九上·西安月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
①当时，原方程化为，解得，（舍去）；
②当时，原方程化为，解得，（舍去）．
综上所述，原方程的解是，．
请参照上述方法解方程．
【答案】解：①当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 ， ．
②当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去），
则原方程的解为 ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】模仿例题分两种情况：①当 ，②当 ，据此分别解方程即可.
四、计算题
16．（2023八下·上城期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
或，
，
（2）解：，
，
，
，
，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解方法解一元二次方程；
（2）利用配方法解一元二次方程.
五、综合题
17．（2023八下·渠县期末）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解：．
解：原式
（二）用配方法求代数式的最小值．
解：原式
∵，∴，∴的最小值为．
（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为 ；
（2）因式分解： ；
（3）用配方法求代数式的最小值；
（4） 拓展应用：
若实数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】（1）25
（2）
（3）解：
，
，
，
的最小值为4．
（4）3
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）∵是完全平方式 ，
∴k==25；
故答案为：25.
（2） （a-6）2-4=（a-6+2)(a-6-2）=（a-4)(a-8），
故答案为： ；
（4） ∵，
∴a2-4a-a-b+7=0，
∴a+b=a2-4a+7=（a-2）2+3，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+3≥3，
∴的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】（1）完全平方公式中，当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方，据此求解即可；
（2）根据配方法进行因式分解即可；
（3）根据配方法将原式化为 ，根据偶次幂的非负性求解即可；
（4）由可得a+b=a2-4a+7，再利用配方法及偶次幂的非负性求解即可.
18．（2023七下·宁波期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”.
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
判断：45 （请填写“是”或“不是”）“完美数”；
（2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（3）如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”.
【答案】（1）8；是
（2）解：，
∴当时，即时，S是完美数；
（3）证明：∵m，n都是“完美数”，
则设，（a，b，c，d都是整数），
∴，
∴
∴mn是完美数，
∵，
∴，
∴也是“完美数”.
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵8=22+22，
∴8是一个“完美数”，
∵45=62+32，
∴45是一个“完美数”，
故答案为：8；是；
【分析】（1）根据“完美数”的定义求解即可；
（2）利用配方法将已知等式的右边变形为（x-3）2+（2y+1）2+k-10，根据“完美数”的定义可得k-10=0，从而求解即可得出k的值，从而得出答案；
（3）根据“完美数”的定义可设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整数），根据多项式乘以多项式的法则及完全平方公式可得mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而根据“完美数”的定义可得mn也是一个“完美数”；而将 的分子利用完全平方公式计算、合并同类项后再约分可得=mn，从而即可得出结论.
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