2024学年初中数学湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2022九上·紫金期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（2022九上·代县期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
3．（2023九上·孟州期末）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．（2022九上·南海月考）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·礼泉期末）若关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2023九上·韩城期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
7．（2023九上·武功期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若x1A．y1>y2 B．y18．（2023九上·万州期末）已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①若A+B=10，则；
②，则x需要满足的条件是；
③，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5.
上面说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022九上·广州期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ．
10．（2022九上·临淄期中）已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则 （填“>”或“<”或“=”）．
11．（2022九上·电白期中）已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是 ．
12．（2022九上·碑林月考）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于 ．
三、解答题
13．（2022九上·通榆期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，求实数k的取值范围。
14．（2023九上·府谷期末）已知矩形ABCD两邻边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根.当m为何值时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
四、综合题
15．（2023九上·临湘期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根.
16．（2023九上·泰兴期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由分析可知，一元二次方程 的判别式△=b2-4ac=9-4=5＞0，则该方程有两个不相等的实数根；
故答案为：B。
【分析】一元二次方程的根的情况主要依据其判别式△=b2-4ac：若△＞0，表示有两个不相等的实数根；若△=0，表示有两个相等的实数根；若△＜0，表示没有实数根。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C．，，，
，
方程没有实数根，选项C符合题意；
D．把原方程转化为一般形式为，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先计算出各项中△的值，取△＜0的选项即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，k为非负整数，
∴4-4（k-2）＞0，k-2≠0
解之：k＜3且k≠2，
∵k为非负整数，
∴k=0，1，
∴符合条件的k的个数为2个.
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义可知k-2≠0，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，再根据k为非负整数，可确定出k的值.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根
∴Δ＞0
∴（-1）2-4×2×a＞0
解得
又a≠0
∴且
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得a≠0且Δ=b2-4ac＞0，代入求解可得a的范围.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，
∴b2-4ac＜0，即（-4）2-4m＜0，解得m＞4，
∴ 反比例函数的图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∴ x1故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程没有实数根可得b2-4ac＜0，据此列出不等式，求解得出m＞4，进而根据反比例函数的图象与系数的关系，判断出图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，从而即可判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；解含绝对值符号的一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴①当时，则，解得：，故①错误；
②当，则，
当时，，解得：；
当，，解得：；
当，，解得：（舍去）；
综上所述：，故②正确；
③若，则或，
当时，，，无解；
当时，，，无解；
∴，关于x的方程无实数根；故③正确；
④∵，
若为整数，则是整数，
∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确；
∴正确的有②③④
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得A+B=x2+x+1+x2-x+1=10，求出x的值，据此判断①；|A-B-2|+|A-B+4|=|2x-2|+|2x+4|=6，然后分x≤-2、-21，结合绝对值的性质求出x的值，据此判断②；若A×B=0，则A=0或B=0，分别求出A=0、B=0时x的值，据此判断③；，若为整数，则是整数，求出x的值，据此判断④.
9．【答案】17
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，，，
，
故答案为：17．
【分析】 根的判别式，据此计算即可.
10．【答案】>
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】先求出，可得反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再利用反比例函数的性质求解即可。
11．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当，即时，
原方程为，解得，
∴符合题意；
当，即时，原方程为一元二次方程，
∵，
∴且．
综上所述，，
∴整数的最大值为-1．
故答案为：-1．
【分析】分两种情况：①当，即时，②当，即时，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴△=4-4a（2-c）=0，整理得：4a（c-2）=-4，
∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴等式两边同时除以4a得：，即：．
故答案为：2.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac=0且a≠0，代入并化简可得的值.
13．【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴△=32-4×1×(k-2)≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意先求出△=32-4×1×(k-2)≥0，再求解即可。
14．【答案】解：∵，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
即当时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由题意可得AB=BC，则方程有两个相等的实数根，然后根据△=b2-4ac=0可得m的值.
15．【答案】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴.
（2）解：∵为正整数，又，
∴.
当时，原方程为，
解得.
因此，原方程的根为，.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0，代入求解可得m的范围；
（2）根据m的范围结合m为正整数可得m=1，则原方程化为x2+2x-1=0，然后利用公式法求解即可.
16．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：可取或，
若时，方程为，解得，.
若时，方程为，解得.
（或写一种情况即可）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围；
（2）取k=3或k=4，代入方程中可得关于x的一元二次方程，然后利用因式分解法求解即可.
1 / 12024学年初中数学湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2022九上·紫金期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由分析可知，一元二次方程 的判别式△=b2-4ac=9-4=5＞0，则该方程有两个不相等的实数根；
故答案为：B。
【分析】一元二次方程的根的情况主要依据其判别式△=b2-4ac：若△＞0，表示有两个不相等的实数根；若△=0，表示有两个相等的实数根；若△＜0，表示没有实数根。
2．（2022九上·代县期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
3．（2023九上·孟州期末）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
4．（2022九上·南海月考）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C．，，，
，
方程没有实数根，选项C符合题意；
D．把原方程转化为一般形式为，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先计算出各项中△的值，取△＜0的选项即可.
5．（2023九上·礼泉期末）若关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，k为非负整数，
∴4-4（k-2）＞0，k-2≠0
解之：k＜3且k≠2，
∵k为非负整数，
∴k=0，1，
∴符合条件的k的个数为2个.
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义可知k-2≠0，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，再根据k为非负整数，可确定出k的值.
6．（2023九上·韩城期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根
∴Δ＞0
∴（-1）2-4×2×a＞0
解得
又a≠0
∴且
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得a≠0且Δ=b2-4ac＞0，代入求解可得a的范围.
7．（2023九上·武功期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若x1A．y1>y2 B．y1【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，
∴b2-4ac＜0，即（-4）2-4m＜0，解得m＞4，
∴ 反比例函数的图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∴ x1故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程没有实数根可得b2-4ac＜0，据此列出不等式，求解得出m＞4，进而根据反比例函数的图象与系数的关系，判断出图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，从而即可判断得出答案.
8．（2023九上·万州期末）已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①若A+B=10，则；
②，则x需要满足的条件是；
③，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5.
上面说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；解含绝对值符号的一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴①当时，则，解得：，故①错误；
②当，则，
当时，，解得：；
当，，解得：；
当，，解得：（舍去）；
综上所述：，故②正确；
③若，则或，
当时，，，无解；
当时，，，无解；
∴，关于x的方程无实数根；故③正确；
④∵，
若为整数，则是整数，
∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确；
∴正确的有②③④
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得A+B=x2+x+1+x2-x+1=10，求出x的值，据此判断①；|A-B-2|+|A-B+4|=|2x-2|+|2x+4|=6，然后分x≤-2、-21，结合绝对值的性质求出x的值，据此判断②；若A×B=0，则A=0或B=0，分别求出A=0、B=0时x的值，据此判断③；，若为整数，则是整数，求出x的值，据此判断④.
二、填空题
9．（2022九上·广州期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ．
【答案】17
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，，，
，
故答案为：17．
【分析】 根的判别式，据此计算即可.
10．（2022九上·临淄期中）已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则 （填“>”或“<”或“=”）．
【答案】>
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】先求出，可得反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再利用反比例函数的性质求解即可。
11．（2022九上·电白期中）已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当，即时，
原方程为，解得，
∴符合题意；
当，即时，原方程为一元二次方程，
∵，
∴且．
综上所述，，
∴整数的最大值为-1．
故答案为：-1．
【分析】分两种情况：①当，即时，②当，即时，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
12．（2022九上·碑林月考）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴△=4-4a（2-c）=0，整理得：4a（c-2）=-4，
∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴等式两边同时除以4a得：，即：．
故答案为：2.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac=0且a≠0，代入并化简可得的值.
三、解答题
13．（2022九上·通榆期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，求实数k的取值范围。
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴△=32-4×1×(k-2)≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意先求出△=32-4×1×(k-2)≥0，再求解即可。
14．（2023九上·府谷期末）已知矩形ABCD两邻边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根.当m为何值时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
【答案】解：∵，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
即当时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由题意可得AB=BC，则方程有两个相等的实数根，然后根据△=b2-4ac=0可得m的值.
四、综合题
15．（2023九上·临湘期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根.
【答案】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴.
（2）解：∵为正整数，又，
∴.
当时，原方程为，
解得.
因此，原方程的根为，.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0，代入求解可得m的范围；
（2）根据m的范围结合m为正整数可得m=1，则原方程化为x2+2x-1=0，然后利用公式法求解即可.
16．（2023九上·泰兴期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：可取或，
若时，方程为，解得，.
若时，方程为，解得.
（或写一种情况即可）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围；
（2）取k=3或k=4，代入方程中可得关于x的一元二次方程，然后利用因式分解法求解即可.
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