2024学年初中数学湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2022九上·翁源期末）方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
2．（2023八下·荔湾期末）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．（2023八下·滨江期末）已知关于x的一元二次方程，及函数，（a，b，c为常数，且），则（ ）
A．若方程有解，则函数的图象一定有交点
B．若方程有解，则函数的图象一定没有交点
C．若方程无解，则函数的图象一定有交点
D．若方程无解，则函数的图象一定没有交点
4．（2023八下·上虞期末）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
5．（2023·兰州）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
6．（2023八下·界首期末）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值可为（ ）
A．5 B． C．或3 D．5或
7．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
8．（2022九上·西安月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
二、填空题
9．（2023·内江）已知a、b是方程的两根，则 ．
10．（2023·武威）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 （写出一个满足条件的值）．
11．（2023八下·温州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝t2﹣2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
12．（2023八下·拱墅期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 ．
13．（2023·金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为.现将边AB增加1m.
（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 .
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，则s的值是 .
三、解答题
14．（2023八下·青田月考）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状.
15．（2023·湘潭模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求k的值与方程的根.
四、综合题
16．（2023·官渡模拟）已知抛物线的顶点在轴上．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（2023八下·玄武期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”.例如：对于函数和，则函数，的“和函数”.
（1）已知函数和，这两个函数的“和函数”记为.
①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为；
②函数，的图像如图①所示，则的大致图像是 ▲ .
A. B. C. D.
（2）已知函数和，这两个函数的“和函数”记为.
①下列关于“和函数”的性质，正确的有 ▲ ；（填写所有正确的选项）
A.的图像与x轴没有公共点
B.的图像关于原点对称
C.在每一个象限内，随x的值增大而减小
D.当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图像
②探究函数与一次函数（为常数，且图像的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根，
∴b2-4ac＜0即4-4m＜0，
解之：m＞1，
∴直线y=mx+m经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程无实数根可知b2-4ac＜0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据m的取值范围，可得到直线y=mx+m所经过的象限，由此可得到此函数图象不经过的象限.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：令，
整理得cx2+bx-a=0，
若△=b2-4c(-a)=b2+4ac≥0，函数y1、y2的图象有交点，
若b2-4c(-a)＜0，没有交点，
若方程ax2+bx+c=0有解，则b2-4ac≥0，
而无法判断b2+4ac的符号，故A、B选项都不符合题意；
若方程ax2+bx+c=0无解，则b2-4ac＜0，
∴0≤b2＜4ac，
∴b2+4ac＞0，
∴函数y1与y2的图象一定有交点，故C选项符合题意，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】令两函数的函数值相等并整理得cx2+bx-a=0，若△=b2-4c(-a)=b2+4ac≥0，函数y1、y2的图象有交点，若b2-4c(-a)＜0，没有交点，进而结合若方程ax2+bx+c=0有解，则b2-4ac≥0，若方程ax2+bx+c=0无解，则b2-4ac＜0，进行判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=a为方程的根，
∴a2-ab+b-a=0，
∴a(a-b)-(a-b)=0，
∴(a-b)(a-1)=0.
∵a>1，
∴a=b>1，
∴△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2-4b+4b=b2>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确，④错误；
∵a=b，
∴a=b=t+1，故②错误；
∵a=b，a为方程的一个根，
∴b为方程的根。故③正确.
故答案为：C.
【分析】将x=a代入方程中并化简可得(a-b)(a-1)=0，由a>1可得a=b>1，则△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2，据此判断①④；根据a=b可判断②③.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2-4c=0，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到b2-4c=0，进而代入即可求解。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程，如果有2个相等的实数根，则=0，即 ，化简得，解得m1=+4-1=3 m2=-4-1=-5 故选D。
【分析】依据根的判别式，求出关于m的一元二次方程，再次求解。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=(2q)2-4(p+1)2=0且p+1≠0，化简可得q=±(p+1)，当q=p+1时，有1+p-q=0，此时x=-1，据此判断A；当q=-(p+1)时，有1+p+q=0，此时x=1，据此判断B；根据p+1≠0可得p+1≠-(p+1)，据此判断D；当x=0时，p=0，q=±1，据此判断C.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a、b是方程的两根，
∴a+b=-3，，
∴，
故答案为：-2
【分析】先根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，，进而代入即可求解。
10．【答案】（答案不唯一，合理即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ，
∴△=22-4×4c＞0，
解得：c＜，
∴c可以是-2（答案不唯一）；
故答案为：-2（答案不唯一）.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此求出c的范围，即可得解.
11．【答案】y≤4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0有实数根 ，
∴Δ=b2-4ac=4-12m≥0，解得m≤3，
设此方程的一个实数根为t ，
∴t2-2t+3m=0，
∴t2-2t=-3m，
∴y＝t2﹣2t+4m+1 =-3m+4m+1=m+1，
∵m≤3，
∴m+1≤4，
∴y≤4.
故答案为：y≤4.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，先求出m≤3，再根据一元二次方程的解的定义得出t2-2t=-3m，代入y＝t2﹣2t+4m+1，进而得出y的取值范围。
12．【答案】（1）-14
（2）4，2，1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，
∴a-3≠0且a-3+8+9=0，
解得a=-14.
故答案为：-14.
（2）∵方程没有实数根，
∴(-8)2-4(a-3)×9<0且a-3≠0，
∴a<且a≠3，
∴正整数a的值为1、2、4.
故答案为：1、2、4.
【分析】（1）根据方程根的概念，将x=-1代入方程中进行求解可得a的值；
（2）由题意可得(-8)2-4(a-3)×9<0且a-3≠0，求出a的范围，进而可得正整数a的值.
13．【答案】（1）6m
（2）()m2
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）当a=5时，S=ab=5b，
新矩形的长为5+1=6m，宽为（b-1）m，面积为6（b-1），
∴5b=6（b-1），
解得b=6；
故答案为：6m；
（2）∵S=ab，
∴b=
由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），
∴2s=（a+1）（+2），
整理得2a2+（2-s）a+s=0，
∵ 有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s，
∴△=（2-s）2-4×2s=0，
整理得s2-12s+4=0，
解得，，
∵新矩形的长增加2，宽增加1后得到的矩形面积是原矩形面积的2倍，
∴原矩形面积应该大于2，
∴s=()m2.
故答案为：()m2.
【分析】（1）当a=5时，分别根据矩形的面积计算方法表示出原矩形ABCD及新矩形的面积，由两个矩形的面积相等建立方程，求解可得b的值；
（2）由矩形的面积计算公式得S=ab，则b=，由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），根据新矩形的面积等于原矩形面积的2倍建立方程可得关于字母s与a的方程，由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s可得关于字母a的方程中根的判别式的值为0，从而建立出关于字母s的方程，求解并根据原矩形的面积一定大于2可得答案.
14．【答案】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴为直角三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得b的值，然后利用勾股定理逆定理进行解答.
15．【答案】解：依题意可得，解得，
把代入得，
即，
解得.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由题意先求得b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合题意可得关于k的方程，解之求得k的值；然后把k的值代入原方程，解方程即可求解.
16．【答案】（1）解：的顶点在x轴上，
∴方程有两个相等的实数根，
，即，
，
，．
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先根据题意结合一元二次方程根与判别式的关系即可得到a的值；
（2）先根据题意得到，，再将代数式化简即可求解。
17．【答案】（1）解：①，
当的值为，即
（*）
两边同乘，得
，
解得，.
经检验，都是方程（*）的解.
所以当或时，的值为.
②C.
（2）解：①BD.
②当k<1且k≠0时，公共点的个数为2；
当k=1时，公共点的个数为1；
当k>1时，公共点的个数为0.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程；函数的图象；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）②当x>0时，y3=x+≥2=2；
当x<0时，y3=x+≤-=-2；
观察图象可得：C符合.
故答案为：C.
（2）①∵y6=x-，
当x=1时，y6=0，故y6的图象与x轴有交点，A错误；
∵y4=x、y5=-的图象均关于原点对称，
∴y6的图象关于原点对称，B正确；
当x=1时，y6=0；当x=2时，y6=，
∴y随x的增大而增大，故C错误；
y6-y4=-，当x足够大时，y6与y4越接近，故D正确.
故答案为：BD.
②x-=kx+3，
∴kx2+2x+1=0.
∵k≠0，
∴该方程为一元二次方程，△=.
当△=>0，即k<1且k≠0时，交点个数为2个；
当△==0，即k=1时，交点个数为1个；
△=<0，即k>1，交点个数为0个.
【分析】（1）①由y3=y1+y2可得y3=x+，令y3=，可得x+=，求解可得x的值；
②当x>0时，y3=x+≥2=2；当x<0时，y3=x+≤-=-2，据此判断；
（2）①由题意可得y6=x-，令x=1，求出y6的值，据此判断A；根据正比例函数与反比例函数图象的性质可判断B；求出x=1、2对应的y6的值，进而判断C；y6-y4=-，当x足够大时，y6-y4接近于0，据此判断D；
②联立两个函数解析式可得x-=kx+3，则kx2+2x+1=0，△=，据此解答.
1 / 12024学年初中数学湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2022九上·翁源期末）方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
2．（2023八下·荔湾期末）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根，
∴b2-4ac＜0即4-4m＜0，
解之：m＞1，
∴直线y=mx+m经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程无实数根可知b2-4ac＜0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据m的取值范围，可得到直线y=mx+m所经过的象限，由此可得到此函数图象不经过的象限.
3．（2023八下·滨江期末）已知关于x的一元二次方程，及函数，（a，b，c为常数，且），则（ ）
A．若方程有解，则函数的图象一定有交点
B．若方程有解，则函数的图象一定没有交点
C．若方程无解，则函数的图象一定有交点
D．若方程无解，则函数的图象一定没有交点
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：令，
整理得cx2+bx-a=0，
若△=b2-4c(-a)=b2+4ac≥0，函数y1、y2的图象有交点，
若b2-4c(-a)＜0，没有交点，
若方程ax2+bx+c=0有解，则b2-4ac≥0，
而无法判断b2+4ac的符号，故A、B选项都不符合题意；
若方程ax2+bx+c=0无解，则b2-4ac＜0，
∴0≤b2＜4ac，
∴b2+4ac＞0，
∴函数y1与y2的图象一定有交点，故C选项符合题意，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】令两函数的函数值相等并整理得cx2+bx-a=0，若△=b2-4c(-a)=b2+4ac≥0，函数y1、y2的图象有交点，若b2-4c(-a)＜0，没有交点，进而结合若方程ax2+bx+c=0有解，则b2-4ac≥0，若方程ax2+bx+c=0无解，则b2-4ac＜0，进行判断得出答案.
4．（2023八下·上虞期末）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=a为方程的根，
∴a2-ab+b-a=0，
∴a(a-b)-(a-b)=0，
∴(a-b)(a-1)=0.
∵a>1，
∴a=b>1，
∴△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2-4b+4b=b2>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确，④错误；
∵a=b，
∴a=b=t+1，故②错误；
∵a=b，a为方程的一个根，
∴b为方程的根。故③正确.
故答案为：C.
【分析】将x=a代入方程中并化简可得(a-b)(a-1)=0，由a>1可得a=b>1，则△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2，据此判断①④；根据a=b可判断②③.
5．（2023·兰州）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2-4c=0，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到b2-4c=0，进而代入即可求解。
6．（2023八下·界首期末）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值可为（ ）
A．5 B． C．或3 D．5或
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程，如果有2个相等的实数根，则=0，即 ，化简得，解得m1=+4-1=3 m2=-4-1=-5 故选D。
【分析】依据根的判别式，求出关于m的一元二次方程，再次求解。
7．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得且，从而得出，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
8．（2022九上·西安月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=(2q)2-4(p+1)2=0且p+1≠0，化简可得q=±(p+1)，当q=p+1时，有1+p-q=0，此时x=-1，据此判断A；当q=-(p+1)时，有1+p+q=0，此时x=1，据此判断B；根据p+1≠0可得p+1≠-(p+1)，据此判断D；当x=0时，p=0，q=±1，据此判断C.
二、填空题
9．（2023·内江）已知a、b是方程的两根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a、b是方程的两根，
∴a+b=-3，，
∴，
故答案为：-2
【分析】先根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，，进而代入即可求解。
10．（2023·武威）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 （写出一个满足条件的值）．
【答案】（答案不唯一，合理即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ，
∴△=22-4×4c＞0，
解得：c＜，
∴c可以是-2（答案不唯一）；
故答案为：-2（答案不唯一）.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此求出c的范围，即可得解.
11．（2023八下·温州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝t2﹣2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【答案】y≤4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0有实数根 ，
∴Δ=b2-4ac=4-12m≥0，解得m≤3，
设此方程的一个实数根为t ，
∴t2-2t+3m=0，
∴t2-2t=-3m，
∴y＝t2﹣2t+4m+1 =-3m+4m+1=m+1，
∵m≤3，
∴m+1≤4，
∴y≤4.
故答案为：y≤4.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，先求出m≤3，再根据一元二次方程的解的定义得出t2-2t=-3m，代入y＝t2﹣2t+4m+1，进而得出y的取值范围。
12．（2023八下·拱墅期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 ．
【答案】（1）-14
（2）4，2，1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，
∴a-3≠0且a-3+8+9=0，
解得a=-14.
故答案为：-14.
（2）∵方程没有实数根，
∴(-8)2-4(a-3)×9<0且a-3≠0，
∴a<且a≠3，
∴正整数a的值为1、2、4.
故答案为：1、2、4.
【分析】（1）根据方程根的概念，将x=-1代入方程中进行求解可得a的值；
（2）由题意可得(-8)2-4(a-3)×9<0且a-3≠0，求出a的范围，进而可得正整数a的值.
13．（2023·金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为.现将边AB增加1m.
（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 .
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，则s的值是 .
【答案】（1）6m
（2）()m2
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）当a=5时，S=ab=5b，
新矩形的长为5+1=6m，宽为（b-1）m，面积为6（b-1），
∴5b=6（b-1），
解得b=6；
故答案为：6m；
（2）∵S=ab，
∴b=
由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），
∴2s=（a+1）（+2），
整理得2a2+（2-s）a+s=0，
∵ 有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s，
∴△=（2-s）2-4×2s=0，
整理得s2-12s+4=0，
解得，，
∵新矩形的长增加2，宽增加1后得到的矩形面积是原矩形面积的2倍，
∴原矩形面积应该大于2，
∴s=()m2.
故答案为：()m2.
【分析】（1）当a=5时，分别根据矩形的面积计算方法表示出原矩形ABCD及新矩形的面积，由两个矩形的面积相等建立方程，求解可得b的值；
（2）由矩形的面积计算公式得S=ab，则b=，由题意得新矩形的长为（a+1）m，宽为b+2=（+2）m，面积为（a+1）（+2），根据新矩形的面积等于原矩形面积的2倍建立方程可得关于字母s与a的方程，由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s可得关于字母a的方程中根的判别式的值为0，从而建立出关于字母s的方程，求解并根据原矩形的面积一定大于2可得答案.
三、解答题
14．（2023八下·青田月考）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴为直角三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得b的值，然后利用勾股定理逆定理进行解答.
15．（2023·湘潭模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求k的值与方程的根.
【答案】解：依题意可得，解得，
把代入得，
即，
解得.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由题意先求得b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合题意可得关于k的方程，解之求得k的值；然后把k的值代入原方程，解方程即可求解.
四、综合题
16．（2023·官渡模拟）已知抛物线的顶点在轴上．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：的顶点在x轴上，
∴方程有两个相等的实数根，
，即，
，
，．
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】代数式求值；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先根据题意结合一元二次方程根与判别式的关系即可得到a的值；
（2）先根据题意得到，，再将代数式化简即可求解。
17．（2023八下·玄武期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”.例如：对于函数和，则函数，的“和函数”.
（1）已知函数和，这两个函数的“和函数”记为.
①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为；
②函数，的图像如图①所示，则的大致图像是 ▲ .
A. B. C. D.
（2）已知函数和，这两个函数的“和函数”记为.
①下列关于“和函数”的性质，正确的有 ▲ ；（填写所有正确的选项）
A.的图像与x轴没有公共点
B.的图像关于原点对称
C.在每一个象限内，随x的值增大而减小
D.当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图像
②探究函数与一次函数（为常数，且图像的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论.
【答案】（1）解：①，
当的值为，即
（*）
两边同乘，得
，
解得，.
经检验，都是方程（*）的解.
所以当或时，的值为.
②C.
（2）解：①BD.
②当k<1且k≠0时，公共点的个数为2；
当k=1时，公共点的个数为1；
当k>1时，公共点的个数为0.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程；函数的图象；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）②当x>0时，y3=x+≥2=2；
当x<0时，y3=x+≤-=-2；
观察图象可得：C符合.
故答案为：C.
（2）①∵y6=x-，
当x=1时，y6=0，故y6的图象与x轴有交点，A错误；
∵y4=x、y5=-的图象均关于原点对称，
∴y6的图象关于原点对称，B正确；
当x=1时，y6=0；当x=2时，y6=，
∴y随x的增大而增大，故C错误；
y6-y4=-，当x足够大时，y6与y4越接近，故D正确.
故答案为：BD.
②x-=kx+3，
∴kx2+2x+1=0.
∵k≠0，
∴该方程为一元二次方程，△=.
当△=>0，即k<1且k≠0时，交点个数为2个；
当△==0，即k=1时，交点个数为1个；
△=<0，即k>1，交点个数为0个.
【分析】（1）①由y3=y1+y2可得y3=x+，令y3=，可得x+=，求解可得x的值；
②当x>0时，y3=x+≥2=2；当x<0时，y3=x+≤-=-2，据此判断；
（2）①由题意可得y6=x-，令x=1，求出y6的值，据此判断A；根据正比例函数与反比例函数图象的性质可判断B；求出x=1、2对应的y6的值，进而判断C；y6-y4=-，当x足够大时，y6-y4接近于0，据此判断D；
②联立两个函数解析式可得x-=kx+3，则kx2+2x+1=0，△=，据此解答.
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