2023-2024学年初中数学九年级上册 2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·深圳期末）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：已知x1x2是方程x2-6x-7=0的两个根，
解方程：（x+1）（x-7）=0，
∴x1=-1，x2=7，
运用韦达定理：
x1+x2=，
x1·x2=，
故答案为：A.
【分析】先要解出一元二次方程的两个解，运用韦达定理公示求出解.
2．（2020九上·南京期中）如果2是方程x 3x+k=0的一个根，则此方程的另一根为（ ）
A．2 B．1 C． 1 D． 2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x1，
根据题意得：2+x1=3，
∴x1=1.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系：代入即可得另一根.
3．（2023八下·岑溪期末）若是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵是一元二次方程的两根，
∴=3，=-2，
∴=3+（-2）=1
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出、的值，再代入计算即可.
4．（2023八下·蜀山期末）方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。
故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
5．（2023八下·定远期中）下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①∵，
∴b=a+c，
∴，①为假命题；
②∵两根为和，
∴，
∴，②为真命题；
③∵方程有一个根是，
∴，
∴，
∴，③为真命题；
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系结合一元二次方程根的判别式、真命题和假命题对选项逐一判断即可求解。
6．（2023八下·包河期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
7．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】B
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴=，
∴原式=-=-，位于②段.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.
8．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
二、填空题
9．（2023·泰州）关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的两个根分别为、，
，
故答案为：-2.
【分析】如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么，，据此直接结算可得答案.
10．（2023·本溪）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k<-
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即（-1）2-4（k+1）＞0
化简得，1-4k-4＞0，-4k＞3，
∴，
故答案为.
【分析】利用一元二次方程根和系数的关系求解：当方程有两个不相等的实数根时，.
11．（2023·怀化）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ，另一个根为 ．
【答案】-1；2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的另一个根为t，
∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴-1×t=-2，1-m-2=0，
解得：t=2，m=-1，
故答案为：-1；2.
【分析】根据一元二次方程的根和根与系数的关系计算求解即可。
12．（2023八下·玄武期末）写一个一元二次方程： ，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2，.
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵两根分别为2、-3，
∴两根之和为=-1，两根之积为=-6.
∵二次项系数b=2，
∴a=2，c=-12，
∴对应的方程为2x2+2x-12=0.
故答案为：2x2+2x-12=0.
【分析】根据根与系数的关系可得=-1，=-6，结合b=2可得a、c的值，进而可得对应的一元二次方程.
13．（2023八下·姜堰期末）若和是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，
∴a2-3a-5=0，a+b=3，
∴a2-3a=5，
a2-3a+a+b=5+3=8；
故答案为：8.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系，可得a2-3a=5，a+b=3，再将原式变形为a2-3a+a+b，然后整体代入计算即可.
三、解答题
14．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，求的值．
【答案】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-4，将待求式变形为mn(m+n)，然后代入进行计算.
15．（2023八下·萧山期中）已知一元二次方程．
①若方程两根为1和2，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立．
判断以上说法是否正确，并说明理由．
【答案】解：①
∵方程两根为1和2，
，
，
正确；
②，
，
正确；
③是方程的一个根，
，
，
，
正确；
∴①②③正确．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得1×2=，则2a=c，据此判断①；当b=2a+c时，△=4(a+c)2+5c2，结合偶次幂的非负性可判断②；根据方程根的概念可得am2=-(bm+c)，则(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2=-4a(bm+c)+4abm+b2=b2-4ac，据此判断③.
四、综合题
16．（2023八下·江州期末）已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若，满足，求a的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=[2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0
解得：a<3，
∵a为正整数，∴a=1，2；
（2）解：∵x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2
∵x12+x22-x1x2=16
∴(x1+x2)2-3x1x2=16
∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16，
解得，a1=-1，a2=6
∵a<3，∴a=1．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 由于关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，，可得，据此解出a<3，因为a为正整数，所以得到a=1，2.
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2，对式子x12+x22-x1x2进行化简，得到(x1+x2)2-3x1x2，将x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2代入即可求出答案.
17．（2023八下·红谷滩期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）一元二次由两个实数根，即，将系数带入不等式即可求出答案。
（2）由韦达定理：得到一元二次方程，解一元二次方程即可求出答案。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·深圳期末）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·南京期中）如果2是方程x 3x+k=0的一个根，则此方程的另一根为（ ）
A．2 B．1 C． 1 D． 2
3．（2023八下·岑溪期末）若是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
4．（2023八下·蜀山期末）方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
5．（2023八下·定远期中）下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
6．（2023八下·包河期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
8．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·泰州）关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
10．（2023·本溪）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
11．（2023·怀化）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ，另一个根为 ．
12．（2023八下·玄武期末）写一个一元二次方程： ，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2，.
13．（2023八下·姜堰期末）若和是一元二次方程的两个实数根，则 ．
三、解答题
14．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，求的值．
15．（2023八下·萧山期中）已知一元二次方程．
①若方程两根为1和2，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立．
判断以上说法是否正确，并说明理由．
四、综合题
16．（2023八下·江州期末）已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若，满足，求a的值.
17．（2023八下·红谷滩期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：已知x1x2是方程x2-6x-7=0的两个根，
解方程：（x+1）（x-7）=0，
∴x1=-1，x2=7，
运用韦达定理：
x1+x2=，
x1·x2=，
故答案为：A.
【分析】先要解出一元二次方程的两个解，运用韦达定理公示求出解.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x1，
根据题意得：2+x1=3，
∴x1=1.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系：代入即可得另一根.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵是一元二次方程的两根，
∴=3，=-2，
∴=3+（-2）=1
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出、的值，再代入计算即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。
故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①∵，
∴b=a+c，
∴，①为假命题；
②∵两根为和，
∴，
∴，②为真命题；
③∵方程有一个根是，
∴，
∴，
∴，③为真命题；
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系结合一元二次方程根的判别式、真命题和假命题对选项逐一判断即可求解。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
7．【答案】B
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴=，
∴原式=-=-，位于②段.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的两个根分别为、，
，
故答案为：-2.
【分析】如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么，，据此直接结算可得答案.
10．【答案】k<-
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即（-1）2-4（k+1）＞0
化简得，1-4k-4＞0，-4k＞3，
∴，
故答案为.
【分析】利用一元二次方程根和系数的关系求解：当方程有两个不相等的实数根时，.
11．【答案】-1；2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的另一个根为t，
∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴-1×t=-2，1-m-2=0，
解得：t=2，m=-1，
故答案为：-1；2.
【分析】根据一元二次方程的根和根与系数的关系计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵两根分别为2、-3，
∴两根之和为=-1，两根之积为=-6.
∵二次项系数b=2，
∴a=2，c=-12，
∴对应的方程为2x2+2x-12=0.
故答案为：2x2+2x-12=0.
【分析】根据根与系数的关系可得=-1，=-6，结合b=2可得a、c的值，进而可得对应的一元二次方程.
13．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，
∴a2-3a-5=0，a+b=3，
∴a2-3a=5，
a2-3a+a+b=5+3=8；
故答案为：8.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系，可得a2-3a=5，a+b=3，再将原式变形为a2-3a+a+b，然后整体代入计算即可.
14．【答案】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-4，将待求式变形为mn(m+n)，然后代入进行计算.
15．【答案】解：①
∵方程两根为1和2，
，
，
正确；
②，
，
正确；
③是方程的一个根，
，
，
，
正确；
∴①②③正确．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得1×2=，则2a=c，据此判断①；当b=2a+c时，△=4(a+c)2+5c2，结合偶次幂的非负性可判断②；根据方程根的概念可得am2=-(bm+c)，则(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2=-4a(bm+c)+4abm+b2=b2-4ac，据此判断③.
16．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=[2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0
解得：a<3，
∵a为正整数，∴a=1，2；
（2）解：∵x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2
∵x12+x22-x1x2=16
∴(x1+x2)2-3x1x2=16
∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16，
解得，a1=-1，a2=6
∵a<3，∴a=1．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 由于关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，，可得，据此解出a<3，因为a为正整数，所以得到a=1，2.
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2，对式子x12+x22-x1x2进行化简，得到(x1+x2)2-3x1x2，将x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2代入即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）一元二次由两个实数根，即，将系数带入不等式即可求出答案。
（2）由韦达定理：得到一元二次方程，解一元二次方程即可求出答案。
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