2023-2024学年初中数学九年级上册 2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·荔湾期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
2．（2023·眉山）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·宁波期中）已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2023八下·义乌期中）有两个关于x的一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．
其中错误的结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2023八下·乐清期中）欧几里得的《原本》记载，形如x2+bx=a2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC= ，再在斜边AB上截取AD= ．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．BD的长
6．（2021九上·防城期中）二次函数y=x2+x+1与x轴的交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．没有交点
7．（2022九上·沈阳期末）若一元二次方程有两实数根和下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·相城期末）关于x的一元二次方程x2+2x-a＝0的一个根是2，则另一个根是 .
10．（2023·营口）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
11．（2023八下·蜀山期中）已知实数，且满足，．请解决下列问题：
（1）当时，的值为 ；
（2）当时，的值为 ．
12．（2023·四川模拟）已知双曲线与函数的图像有两个交点，则a的值是 .
13．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．(填写序号)
三、解答题
14．（2023·凤县模拟）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
15．（2023·舟山模拟）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程的两实数根为，，若，求m的值.
波波同学的解答过程如框：
解： 由题意可知： ∵， ∴， 解得：或
波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
四、综合题
16．（2023七下·虹口期末）设，为关于的方程的两根，为实数．
（1）求证：．
（2）当时，求的最大值．
17．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=-3，
∴原式=（x1+x2）2-x1x2=4+3=7.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式转化为（x1+x2）2-x1x2，然后整体代入求值.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系即可求解。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得
x1+x2=-2a=3，x1x2=b=1，
解之： ，b=1.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2=-2a=3，x1x2 =b=1，然后解方程求出a，b的值.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴方程M有一个根为1，方程N有一个根为1，故①正确；
∵a+c=0，
∴a=-c，
∴=-1，
∴方程M和N的两根之积必相等，故②正确；
∵2是方程M的一个根，
∴4a+2b+c=0，即a+b+c=0，
∴是方程N的一个根，故③正确；
设相同的根为m，则
两式相减可得(a-c)m2=a-c.
∵a≠0，c≠0，
∴m2=1，
∴m=±1，即相同的根为征服1，故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据a+b+c=0可得方程M有一个根为1，方程N有一个根为1，据此判断①；根据a+c=0可得=-1，然后结合根与系数的关系可判断②；将x=2代入方程M中可得4a+2b+c=0，则a+b+c=0，据此判断③；设相同的根为m，代入方程M、N中，并将两式相减可得(a-c)m2=a-c，求出m的值，进而判断④.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：设BD=x，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a， AC= ，
由勾股定理得（x+）2=a2+（）2，
整理得 x2+bx-a2=0（a≠0，b≠0），
∵△=b2+4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，因为两根之积等于-a2＜0，
∴方程的根一正一负，
∴方程的正根是BD的长.
故答案为：D.
【分析】设BD=x，根据勾股定理建立出关于x的方程，由根的判别式判断出方程有两个不相等的实数根，由根与系数的关系判断出两根之积等于-a2＜0，可得方程的根一正一负，从而即可得出方程的正根是BD的长.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，则x2+x+1=0，
∴ =1-4=-3＜0，
∴方程x2+x+1=0没有实数根，
∴ 二次函数y=x2+x+1与x轴没有交点.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出方程x2+x+1=0没有实数根，即可得出二次函数y=x2+x+1与x轴没有交点.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两实数根和
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可。
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
9．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 设方程x2+2x-a＝0另一个根是x，
∴x+2=-2，
解得：x=-4，
故答案为：-4.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系“”解答即可.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3，
∴两根之积为-12，
∴另一根为-12÷3=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据根与系数的关系可得：两根之积为-12，据此求解.
11．【答案】（1）
（2）2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，
故答案为：-3；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，ab=-c，
∴，
∴，
故答案为：2
【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，联立得：，
设方程的两个根分别为，
∴，
∴方程的两个根为一正一负，
∴当时，函数与双曲线只有1个交点，
同理可得当时，函数与双曲线只有1个交点，
联立得，
∴，
∴，
又∵当时，此时双曲线在第三象限，而函数的函数图象不经过第三象限，
∴
故答案为：.
【分析】当x≥a时，联立y=x-a与y=可得x2-ax-3=0，由根与系数的关系可得x1x2=-3，则方程的两个根为一正一负，故当x≥a时，两函数图象只有1个交点；同理可得当x
13．【答案】①②③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；
② 若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2， 由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；
③ 若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根 ，则-4ac＞0， 所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0 一定有两个不相等的实数根，故正确；
④ 若b＝2a＋c， 则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根正确.
故答案为：①②③④.
【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故 b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④ 把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.
14．【答案】解：设AB= ，AC=
∵x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴ ＝2k+3， ＝k2+3k+2．
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴ ＝52，
∵
∴
整理得k2+3k-10＝0，
解得：k1＝-5，k2＝2．
又∵AB+AC＞0，
∴2k+3＞0，
∴k＝2．
∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2， 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.
15．【答案】解：波波的解法不正确；
由题意可知：
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出两根之和为两根之积，结合已知条件可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac≥0，可求出m的取值范围，即可得到符合题意的m的值.
16．【答案】（1）证明：∵为的两根，
∴，，，，
∴
；
（2）解：，
解得：，
又当时满足题意，
故p的最大值是．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先根据根与系数的关系得出两根之和等于2p，两根之积等于-p，以及根据方程有两根，可以得出根的判别式=4p2+4p≥0，再根据方程的解得意义可得出x22-2px2-p=0，∴x22=2px2+p①，然后把①代入2px1+x22+3p中，得2px1+x22+3p=4p2+4p，即可得出结论；
（2）先把丨x1-x2丨变形为含有x1+x2与x1x2的式子，再利用根与系数的关系，得出关于p的不等式，解不等式，求出解集，取符合条件的最大值即可。
17．【答案】（1）证明：∵Δ＝[-2（n-1）]2-4（n2-2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100-20（n-1）+n2-2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2-22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2-18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）＝100，
解得n＝8或-6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8-1）＝14，符合题意，
当n＝-6时，AB+AC＝2×（-6-1）＝-14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；
（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·荔湾期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=-3，
∴原式=（x1+x2）2-x1x2=4+3=7.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式转化为（x1+x2）2-x1x2，然后整体代入求值.
2．（2023·眉山）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系即可求解。
3．（2023八下·宁波期中）已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得
x1+x2=-2a=3，x1x2=b=1，
解之： ，b=1.
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2=-2a=3，x1x2 =b=1，然后解方程求出a，b的值.
4．（2023八下·义乌期中）有两个关于x的一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．
其中错误的结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴方程M有一个根为1，方程N有一个根为1，故①正确；
∵a+c=0，
∴a=-c，
∴=-1，
∴方程M和N的两根之积必相等，故②正确；
∵2是方程M的一个根，
∴4a+2b+c=0，即a+b+c=0，
∴是方程N的一个根，故③正确；
设相同的根为m，则
两式相减可得(a-c)m2=a-c.
∵a≠0，c≠0，
∴m2=1，
∴m=±1，即相同的根为征服1，故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据a+b+c=0可得方程M有一个根为1，方程N有一个根为1，据此判断①；根据a+c=0可得=-1，然后结合根与系数的关系可判断②；将x=2代入方程M中可得4a+2b+c=0，则a+b+c=0，据此判断③；设相同的根为m，代入方程M、N中，并将两式相减可得(a-c)m2=a-c，求出m的值，进而判断④.
5．（2023八下·乐清期中）欧几里得的《原本》记载，形如x2+bx=a2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC= ，再在斜边AB上截取AD= ．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．BD的长
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：设BD=x，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a， AC= ，
由勾股定理得（x+）2=a2+（）2，
整理得 x2+bx-a2=0（a≠0，b≠0），
∵△=b2+4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，因为两根之积等于-a2＜0，
∴方程的根一正一负，
∴方程的正根是BD的长.
故答案为：D.
【分析】设BD=x，根据勾股定理建立出关于x的方程，由根的判别式判断出方程有两个不相等的实数根，由根与系数的关系判断出两根之积等于-a2＜0，可得方程的根一正一负，从而即可得出方程的正根是BD的长.
6．（2021九上·防城期中）二次函数y=x2+x+1与x轴的交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．没有交点
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，则x2+x+1=0，
∴ =1-4=-3＜0，
∴方程x2+x+1=0没有实数根，
∴ 二次函数y=x2+x+1与x轴没有交点.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出方程x2+x+1=0没有实数根，即可得出二次函数y=x2+x+1与x轴没有交点.
7．（2022九上·沈阳期末）若一元二次方程有两实数根和下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两实数根和
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可。
8．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
二、填空题
9．（2023八下·相城期末）关于x的一元二次方程x2+2x-a＝0的一个根是2，则另一个根是 .
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 设方程x2+2x-a＝0另一个根是x，
∴x+2=-2，
解得：x=-4，
故答案为：-4.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系“”解答即可.
10．（2023·营口）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3，
∴两根之积为-12，
∴另一根为-12÷3=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据根与系数的关系可得：两根之积为-12，据此求解.
11．（2023八下·蜀山期中）已知实数，且满足，．请解决下列问题：
（1）当时，的值为 ；
（2）当时，的值为 ．
【答案】（1）
（2）2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，
故答案为：-3；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，ab=-c，
∴，
∴，
故答案为：2
【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。
12．（2023·四川模拟）已知双曲线与函数的图像有两个交点，则a的值是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，联立得：，
设方程的两个根分别为，
∴，
∴方程的两个根为一正一负，
∴当时，函数与双曲线只有1个交点，
同理可得当时，函数与双曲线只有1个交点，
联立得，
∴，
∴，
又∵当时，此时双曲线在第三象限，而函数的函数图象不经过第三象限，
∴
故答案为：.
【分析】当x≥a时，联立y=x-a与y=可得x2-ax-3=0，由根与系数的关系可得x1x2=-3，则方程的两个根为一正一负，故当x≥a时，两函数图象只有1个交点；同理可得当x13．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．(填写序号)
【答案】①②③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；
② 若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2， 由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；
③ 若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根 ，则-4ac＞0， 所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0 一定有两个不相等的实数根，故正确；
④ 若b＝2a＋c， 则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根正确.
故答案为：①②③④.
【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故 b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④ 把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.
三、解答题
14．（2023·凤县模拟）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】解：设AB= ，AC=
∵x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴ ＝2k+3， ＝k2+3k+2．
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴ ＝52，
∵
∴
整理得k2+3k-10＝0，
解得：k1＝-5，k2＝2．
又∵AB+AC＞0，
∴2k+3＞0，
∴k＝2．
∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2， 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.
15．（2023·舟山模拟）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程的两实数根为，，若，求m的值.
波波同学的解答过程如框：
解： 由题意可知： ∵， ∴， 解得：或
波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
【答案】解：波波的解法不正确；
由题意可知：
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出两根之和为两根之积，结合已知条件可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac≥0，可求出m的取值范围，即可得到符合题意的m的值.
四、综合题
16．（2023七下·虹口期末）设，为关于的方程的两根，为实数．
（1）求证：．
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）证明：∵为的两根，
∴，，，，
∴
；
（2）解：，
解得：，
又当时满足题意，
故p的最大值是．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先根据根与系数的关系得出两根之和等于2p，两根之积等于-p，以及根据方程有两根，可以得出根的判别式=4p2+4p≥0，再根据方程的解得意义可得出x22-2px2-p=0，∴x22=2px2+p①，然后把①代入2px1+x22+3p中，得2px1+x22+3p=4p2+4p，即可得出结论；
（2）先把丨x1-x2丨变形为含有x1+x2与x1x2的式子，再利用根与系数的关系，得出关于p的不等式，解不等式，求出解集，取符合条件的最大值即可。
17．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：∵Δ＝[-2（n-1）]2-4（n2-2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100-20（n-1）+n2-2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2-22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2-18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）＝100，
解得n＝8或-6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8-1）＝14，符合题意，
当n＝-6时，AB+AC＝2×（-6-1）＝-14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；
（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.
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