2023-2024学年初中数学九年级上册 3.1 比例线段 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·礼泉期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1 ，2，3，6 D．1 ，3，4，7
3．（2023九上·杭州期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·赵县期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄、金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．-1 B．2-2 C．5-5 D．10-10
5．（2023九上·嵊州期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·鄞州期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·晋中期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
8．（2022九上·门头沟期末）如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·镇海区期末）已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
10．（2023九上·宁波期末）已知线段，，线段是线段，的比例中项，则 .
11．（2023九上·龙泉驿期末）已知，则＝ ．
12．（2023九上·龙泉驿期末）若四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则 ．
13．（2023九上·成都期末）黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
三、解答题
14．（2022九上·余杭月考）已知.
判断是否成立，并说明理由.
15．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为的三边长，且，，求的面积．
四、综合题
16．（2022九上·长兴月考）已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
17．（2022九上·舟山期中）已知，求：
（1）
（2）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=AB进行计算.
2．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，故B不符合题意；
C、1×6=2×3，故C符合题意；
D、1×7≠3×4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用成比例线段的特征，最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的积，再对各选项逐一判断.
3．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=4k，b=7k，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质设a=4k，b=7k，进而代入所求式子，分母合并同类项后再约分即可.
4．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝5-5（cm），
故答案为：C
【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
【分析】根据作图可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=AB，设DB=EF=a，则AB=2a，AD=a，AF=AD-DF=a-a，则，据此解答.
6．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
7．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：，黄金分割数的近似值为0.618，
体现了“黄金分割”．
故答案为：D．
【分析】利用“黄金分割”的定义求解即可。
8．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据可得，再将其代入计算即可。
9．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为.
【分析】根据比例中项的概念可得：a、b的比例中项为，据此计算.
10．【答案】8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段，，线段是线段，的比例中项，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为：8.
【分析】由线段c是线段a，b的比例中项，根据成比例线段的性质可得成=ab，进而代入求解即可.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】利用分式的性质可得到，再利用比例的性质可求出结果.
12．【答案】2
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ 四条线段a，b，c，d成比例，
∴a：b=c：d，
∴a：3=4：6，
解之：a=2.
故答案为：2
【分析】利用已知条件：四条线段a，b，c，d成比例，可得到a：b=c：d，然后代入计算求出a的值.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该演员的上半身长为xm，根据题意得
解之：，
经检验是方程的根，
故答案为：
【分析】利用当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，可得到此时的身高，设该演员的上半身长为xm，根据上半身长：下半身长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
14．【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ ，∴ ，
∴1－ ＝1－ ，
即
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例的性质可得到，可得到，再将等式的两边通分即可证得结论.
15．【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形 ，然后利用三角形的面积公式计算即可.
16．【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）将原式转化为，代入计算求出结果.
（2）先将原式转化为，代入计算求出结果.
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一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=AB进行计算.
2．（2023九上·礼泉期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1 ，2，3，6 D．1 ，3，4，7
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，故B不符合题意；
C、1×6=2×3，故C符合题意；
D、1×7≠3×4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用成比例线段的特征，最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的积，再对各选项逐一判断.
3．（2023九上·杭州期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=4k，b=7k，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质设a=4k，b=7k，进而代入所求式子，分母合并同类项后再约分即可.
4．（2023九上·赵县期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄、金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．-1 B．2-2 C．5-5 D．10-10
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝5-5（cm），
故答案为：C
【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
5．（2023九上·嵊州期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
【分析】根据作图可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=AB，设DB=EF=a，则AB=2a，AD=a，AF=AD-DF=a-a，则，据此解答.
6．（2023九上·鄞州期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
7．（2022九上·晋中期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：，黄金分割数的近似值为0.618，
体现了“黄金分割”．
故答案为：D．
【分析】利用“黄金分割”的定义求解即可。
8．（2022九上·门头沟期末）如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据可得，再将其代入计算即可。
二、填空题
9．（2023九上·镇海区期末）已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为.
【分析】根据比例中项的概念可得：a、b的比例中项为，据此计算.
10．（2023九上·宁波期末）已知线段，，线段是线段，的比例中项，则 .
【答案】8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段，，线段是线段，的比例中项，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为：8.
【分析】由线段c是线段a，b的比例中项，根据成比例线段的性质可得成=ab，进而代入求解即可.
11．（2023九上·龙泉驿期末）已知，则＝ ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】利用分式的性质可得到，再利用比例的性质可求出结果.
12．（2023九上·龙泉驿期末）若四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则 ．
【答案】2
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ 四条线段a，b，c，d成比例，
∴a：b=c：d，
∴a：3=4：6，
解之：a=2.
故答案为：2
【分析】利用已知条件：四条线段a，b，c，d成比例，可得到a：b=c：d，然后代入计算求出a的值.
13．（2023九上·成都期末）黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该演员的上半身长为xm，根据题意得
解之：，
经检验是方程的根，
故答案为：
【分析】利用当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，可得到此时的身高，设该演员的上半身长为xm，根据上半身长：下半身长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
三、解答题
14．（2022九上·余杭月考）已知.
判断是否成立，并说明理由.
【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ ，∴ ，
∴1－ ＝1－ ，
即
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例的性质可得到，可得到，再将等式的两边通分即可证得结论.
15．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为的三边长，且，，求的面积．
【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形 ，然后利用三角形的面积公式计算即可.
四、综合题
16．（2022九上·长兴月考）已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
17．（2022九上·舟山期中）已知，求：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）将原式转化为，代入计算求出结果.
（2）先将原式转化为，代入计算求出结果.
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