2023-2024学年初中数学九年级上册 3.1 比例线段 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·浦东期末）已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·东莞期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如题图2）上最接近的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
4．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（ ）
A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3
5．（2023·婺城模拟）下列各组数中，成比例的是（ ）.
A．1，，， B．1，4，2，
C．5，6，2，3 D．，，1，
6．（2020七上·景德镇期中）已知非负数 x，y，z 满足. .，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
7．（2020·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020七上·景德镇期末）设 ，且 ，则 （ ）
A．673 B． C． D．674
二、填空题
9．（2023八下·浦东期末）已知P点为线段的黄金分割点，，且，则
10．（2023·肇源月考）一个比例中，两内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是 .
11．（2021九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
12．（2021九上·四川月考）如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形， ，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形 ，连接BB′，若AB＝2，则线段 的长度为 .
13．（2020九上·四川期中）若 ， 则 的值为 ．
三、解答题
14．（2022九上·宁波月考）已知，且，求的值。
15．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 互不相等)，求 的值.
解：设 ，则 ， ，
， .
依照上述方法解答下列问题：
已知 ，其中 ，求 的值.
四、综合题
16．（2020九上·湖北月考）定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割的定义计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；黄金分割
【解析】【解答】解：根据点P、Q、M、N的位置可得=，则最接近的是点M.
故答案为：C.
【分析】根据点P、Q、M、N的位置可得=，据此解答.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.
故答案为：A
【分析】利用黄金分割的定义，可得答案.
4．【答案】C
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：
作DH//BF交AC于H
设HF=a，则AH=2a
故答案为C
【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。
5．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用四条线段成比例的性质，对各选项逐一判断.
6．【答案】C
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
， ， 均为非负实数，
，
解得 ，
于是 ，
，
即 ．
的最大值是-2，最小值是-4，
的最大值与最小值的和为-6，
故答案为：C．
【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ,AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割”点，
∴ 即 ，
解得CD= ，
同理BE= ，
∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，
∴DE=CD-CE=4 -8，
∴S△ABC= = = ，
故答案为：A.
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
8．【答案】B
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设
则
将x，y，z的值代入 可得：
解得：
故答案为：B.
【分析】令 ，可将x、z的值用y与a表示，利用 求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
9．【答案】/
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P点为线段的黄金分割点，，且，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的定义求出，再根据计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】有理数的倒数；比例的性质
【解析】【解答】解：∵一个比例中，两内项互为相反数，
∴两内项之积为1，
∴两外项之积为1.
∵一个外项为3.5，
∴另一个外项为.
故答案为：.
【分析】由题意可得：两内项之积为1，根据比例的性质可得两外项之积为1，据此求解.
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：BB'交AE于M，作E ⊥AB'于 ，连接B'E，如图，
∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴AB＝ BC，
∴BC＝ ×2＝ ＋1，
∵四边形ABFG、GHED均为正方形，
∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝ ＋1 2＝ 1，
在 中，AE＝ ＝2 ，
∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'，
∴C'B'＝CB＝ ＋1，EC'＝EC＝3 ，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM，
易得四边形B'C'E 为矩形，则E ＝C'B'＝ ＋1，
∵ B'M×AE＝ AB'×E ，
∴B'M＝ ，
∴BB'＝2B'M＝ .
故答案为： .
【分析】BB交：4E于M，作EH⊥AB于H'，连接BE，利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用正方形的性质得到AG、DE和DG长，在 中，利用勾股定理求出AE，然后利用折叠的性质得到CB'、C'E和AB'的长， BB'⊥AE， B'M=BM，则EH'=C'B'，然后利用面积法求出B'M，从而求出BB的长.
13．【答案】-1或2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ,得
b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当 时， ，
，
∴ 或2．
故答案为：-1或2．
【分析】将 进行变形，求出k的值即可。
14．【答案】解：∵==，
∴3a=2b，4a=2c，
∵2a-b+c=10，
∴2a-1.5a+2a=10，
解得：a=4，
∴b=6，c=8，
∴a+2b-3c=4+2×6-3×8=-8.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】由比例性质可得3a=2b，4a=2c，再结合2a-b+c=10，可得到2a-1.5a+2a=10，解得a=4，从而求得b=6，c=8，再代入式中计算即可.
15．【答案】解：设 ，
则
① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，
，
，
原式 .
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 ，将这一式子变形可得 y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.
16．【答案】（1）证明：设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；② ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；黄金分割
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， .
【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.1 比例线段 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·浦东期末）已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割的定义计算求解即可。
2．（2023七下·东莞期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如题图2）上最接近的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；黄金分割
【解析】【解答】解：根据点P、Q、M、N的位置可得=，则最接近的是点M.
故答案为：C.
【分析】根据点P、Q、M、N的位置可得=，据此解答.
3．（2023·广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.
故答案为：A
【分析】利用黄金分割的定义，可得答案.
4．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（ ）
A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3
【答案】C
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：
作DH//BF交AC于H
设HF=a，则AH=2a
故答案为C
【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。
5．（2023·婺城模拟）下列各组数中，成比例的是（ ）.
A．1，，， B．1，4，2，
C．5，6，2，3 D．，，1，
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用四条线段成比例的性质，对各选项逐一判断.
6．（2020七上·景德镇期中）已知非负数 x，y，z 满足. .，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】C
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
， ， 均为非负实数，
，
解得 ，
于是 ，
，
即 ．
的最大值是-2，最小值是-4，
的最大值与最小值的和为-6，
故答案为：C．
【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。
7．（2020·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ,AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割”点，
∴ 即 ，
解得CD= ，
同理BE= ，
∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，
∴DE=CD-CE=4 -8，
∴S△ABC= = = ，
故答案为：A.
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
8．（2020七上·景德镇期末）设 ，且 ，则 （ ）
A．673 B． C． D．674
【答案】B
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设
则
将x，y，z的值代入 可得：
解得：
故答案为：B.
【分析】令 ，可将x、z的值用y与a表示，利用 求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
二、填空题
9．（2023八下·浦东期末）已知P点为线段的黄金分割点，，且，则
【答案】/
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P点为线段的黄金分割点，，且，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的定义求出，再根据计算求解即可。
10．（2023·肇源月考）一个比例中，两内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是 .
【答案】
【知识点】有理数的倒数；比例的性质
【解析】【解答】解：∵一个比例中，两内项互为相反数，
∴两内项之积为1，
∴两外项之积为1.
∵一个外项为3.5，
∴另一个外项为.
故答案为：.
【分析】由题意可得：两内项之积为1，根据比例的性质可得两外项之积为1，据此求解.
11．（2021九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.
12．（2021九上·四川月考）如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形， ，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形 ，连接BB′，若AB＝2，则线段 的长度为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：BB'交AE于M，作E ⊥AB'于 ，连接B'E，如图，
∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴AB＝ BC，
∴BC＝ ×2＝ ＋1，
∵四边形ABFG、GHED均为正方形，
∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝ ＋1 2＝ 1，
在 中，AE＝ ＝2 ，
∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'，
∴C'B'＝CB＝ ＋1，EC'＝EC＝3 ，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM，
易得四边形B'C'E 为矩形，则E ＝C'B'＝ ＋1，
∵ B'M×AE＝ AB'×E ，
∴B'M＝ ，
∴BB'＝2B'M＝ .
故答案为： .
【分析】BB交：4E于M，作EH⊥AB于H'，连接BE，利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用正方形的性质得到AG、DE和DG长，在 中，利用勾股定理求出AE，然后利用折叠的性质得到CB'、C'E和AB'的长， BB'⊥AE， B'M=BM，则EH'=C'B'，然后利用面积法求出B'M，从而求出BB的长.
13．（2020九上·四川期中）若 ， 则 的值为 ．
【答案】-1或2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ,得
b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当 时， ，
，
∴ 或2．
故答案为：-1或2．
【分析】将 进行变形，求出k的值即可。
三、解答题
14．（2022九上·宁波月考）已知，且，求的值。
【答案】解：∵==，
∴3a=2b，4a=2c，
∵2a-b+c=10，
∴2a-1.5a+2a=10，
解得：a=4，
∴b=6，c=8，
∴a+2b-3c=4+2×6-3×8=-8.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】由比例性质可得3a=2b，4a=2c，再结合2a-b+c=10，可得到2a-1.5a+2a=10，解得a=4，从而求得b=6，c=8，再代入式中计算即可.
15．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 互不相等)，求 的值.
解：设 ，则 ， ，
， .
依照上述方法解答下列问题：
已知 ，其中 ，求 的值.
【答案】解：设 ，
则
① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，
，
，
原式 .
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 ，将这一式子变形可得 y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.
四、综合题
16．（2020九上·湖北月考）定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA【答案】（1）证明：设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；② ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；黄金分割
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， .
【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.
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