2023-2024学年初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·武功期末）如图是一架梯子的示意图，其中，且AB=BC=CD，为了使其更加稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1），量得AE=0.4m，则AD1的长为（ ）
A．1.2m B．1m C．0.8m D．0.6m
2．（2022九上·杨浦期中）在中，点D、E分别在边、上，如果，下列条件中，能判断的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022九上·瑞安期中）如图，l1，l2，l3，l4是一组平行线，l5，l6与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若AB∶BC∶CD=2∶3∶4，EG=10，则EH的长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
4．（2022九上·温州期中）如图，在中，点D，E分别在，上，且，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·中卫期中）如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·嘉定期中）已知线段a、b、c，作线段x，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·通川期末）如图，已知.
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点.（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点.（3）作射线交于点D.（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点.（5）作直线，交分别于点E，F.
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）.
A．2 B．1 C． D．4
8．（2022九上·长兴月考）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=2，GD=1，DF=5，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022九上·中原期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，，则的值为
10．（2023九上·成都期末）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则 ．
11．（2022九上·东阳月考）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，则FN：ND＝ ．
12．（2022九上·南山期末）如图，已知，则
三、解答题
13．（2023九上·中卫期末）如图，正方形的对角线交于点O，的平分线交于G，交于F，求证：.
14．（2022九上·杨浦期中）如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．
四、作图题
15．（2022九上·东阳月考）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的线段BC上找一点O，使BO＝CO．
（2）在图②中画一条线段MN、将线段AB分为3：4两部分，（要求：点M、N均在格点上）
五、综合题
16．（2022九上·汽开区期末）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图：
（1）图①中，的长为 ．
（2）在图①中的BC边上确定一点P，使点P到三个顶点距离相等．
（3）在图②中，在的边上确定一点M，使得．
17．（2022九上·奉贤期中）如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，．
（1）求、的长；
（2）如果，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ AB=BC=CD ，
∴设AB=BC=CD =x，则AD=3x，
∵AA1∥BB1∥CC1∥DD1，
∴AB∶AD=AE∶AD1，即x∶3x=0.4∶AD1，
∴AD1=1.2.
故答案为：A.
【分析】设AB=BC=CD =x，则AD=3x，根据平行线分线段成比例定理得AB∶AD=AE∶AD1，从而代入即可算出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD：BD=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴当AE：AC=1：3时，可判断DE∥BC，
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 根据对应线段成比例，两直线平行，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
∴AC∶CD=5∶4，
∵l1∥l3∥l4，
∴AC∶CD＝EG∶GH，即5∶4＝10∶GH，
∴GH＝8，
经检验，GH＝8是所列方程的解，且符合题意，
∴EH＝EG＋GH＝10＋8＝18．
故答案为：C.
【分析】由l1∥l3∥l4，利用平行线分线段成比例，可得出AC∶CD＝EG∶GH，代入求解并检验即可得出GH的长，再将其代入EH＝EG＋GH中，即可得出结论．
4．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：A、∵，∴，本选项正确，不符合题意；
B、∵，∴，本选项正确，不符合题意；
C、∵，，本选项正确，不符合题意；
D、∵，，本选项错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例”即可一一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图：
，
只有B选项符合，A、C、D都错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，，从而即可一一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
观察选项可知，选项B符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行判断即可.
7．【答案】（1）C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由作法得平分，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，
而，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：C.
【分析】由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，则∠EAD=∠FAD，AE=DE，AF=DF，根据等腰三角形的性质可得∠EAD=∠EDA，则∠FAD=∠EDA，推出DE∥AF，同理可得AE∥DF，四边形AEDF为菱形，得到AE=AF=2，然后根据平行线分线段成比例的性质进行计算.
8．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，AD=1，DF=5，
∴AD=AG+GD=1+2=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴
故答案为：B
【分析】利用已知条件求出AD的长，再利用平行线分线段成比例定理可求出BC与CE的比值.
9．【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理建立方程，求解即可.
10．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵AD∥BE∥CF，
∴即，
解之：.
故答案为：
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得比例式，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
11．【答案】2：3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴EF：BC＝AF：AB，
∵AF：BF＝1：2，
∴AF：AB＝1：3，
∴EF：BC＝1：3，即EF＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∴FE：CD=2：3，
∵FE∥BD，
∴FN：ND＝FE：CD，
∴FN：ND＝2：3．
故答案为：2：3．
【分析】如图，过点F作FE∥BD，交AC于点E，利用平行线分线段成比例，可求出EF：BC＝1：3，即EF＝BC，又CD＝BC，从而得到FE：CD=2：3，再利用平行线分线段成比例，可得FN：ND＝FE：CD，进而求得FN：ND.
12．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
将，代入得：.
故答案为.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合，可得，最后将数据代入求出即可。
13．【答案】证明：过O作交于点P，
∵正方形的对角线交于点O，且，
∴，，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；角平分线的定义
【解析】【分析】过点O作OP∥CF，交AF于点P，利用正方形的性质可证得∠ABC=90°，AO=CO，∠OBC=∠POB=∠BAC=45°，利用角平分线的定义可求出∠BAF及∠BFA的度数，利用平行线的性质可求出∠OPF的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠OGP的度数，可证得∠OGP=∠OPF，利用等角对等边可得到OP=OG；利用平行线分线段成比例定理，可证得PA=PF，从而可证得结论.
14．【答案】解：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
设 ，又 ， ，∴ ．
∴ ， （舍）．∴ ．
【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再根据三角形面积公式得出，设S△BDE=x，从而得出，求出x的值，即可得出答案.
15．【答案】（1）解：如图①中，点O为所求.
（2）解：如图②中，MN为所求．
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，对角线相互平分且相等，连接以C、B为边的中点的矩形的对角线，即对角线交BC于点O，点O即为所求；
（2）延长BC至点N，再把A点向右平移3个单位到M点，连接MN，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
16．【答案】（1）
（2）解：如图①中，点即为所求，
理由如下：
根据平行四边形对角线互相平分或平行线分线段成比例，确定出为的中点，
再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到；
（3）解：如图②中，点即为所求，
理由如下：
根据与相交于，利用网格的特点得出两个三角形相似或平行线分线段成比例，建立等式，
例如：设，
则，
解得，
即点为所求．
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：．
故答案为：；
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）找出线段BC的中点即可得到答案；
（3）设，则，再求出即可。
17．【答案】（1）解：∵直线，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∴长为，长为．
（2）解：如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点，
∵，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质可得，再利用线段的和差求出即可；
（2）将直线向左平移到直线交于H点，交于G点，根据平行线分线段成比例的性质可得，将数据代入求出，最后利用线段的和差求出即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·武功期末）如图是一架梯子的示意图，其中，且AB=BC=CD，为了使其更加稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1），量得AE=0.4m，则AD1的长为（ ）
A．1.2m B．1m C．0.8m D．0.6m
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ AB=BC=CD ，
∴设AB=BC=CD =x，则AD=3x，
∵AA1∥BB1∥CC1∥DD1，
∴AB∶AD=AE∶AD1，即x∶3x=0.4∶AD1，
∴AD1=1.2.
故答案为：A.
【分析】设AB=BC=CD =x，则AD=3x，根据平行线分线段成比例定理得AB∶AD=AE∶AD1，从而代入即可算出答案.
2．（2022九上·杨浦期中）在中，点D、E分别在边、上，如果，下列条件中，能判断的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD：BD=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴当AE：AC=1：3时，可判断DE∥BC，
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 根据对应线段成比例，两直线平行，即可得出答案.
3．（2022九上·瑞安期中）如图，l1，l2，l3，l4是一组平行线，l5，l6与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若AB∶BC∶CD=2∶3∶4，EG=10，则EH的长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
∴AC∶CD=5∶4，
∵l1∥l3∥l4，
∴AC∶CD＝EG∶GH，即5∶4＝10∶GH，
∴GH＝8，
经检验，GH＝8是所列方程的解，且符合题意，
∴EH＝EG＋GH＝10＋8＝18．
故答案为：C.
【分析】由l1∥l3∥l4，利用平行线分线段成比例，可得出AC∶CD＝EG∶GH，代入求解并检验即可得出GH的长，再将其代入EH＝EG＋GH中，即可得出结论．
4．（2022九上·温州期中）如图，在中，点D，E分别在，上，且，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：A、∵，∴，本选项正确，不符合题意；
B、∵，∴，本选项正确，不符合题意；
C、∵，，本选项正确，不符合题意；
D、∵，，本选项错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例”即可一一判断得出答案.
5．（2022·中卫期中）如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图：
，
只有B选项符合，A、C、D都错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，，从而即可一一判断得出答案.
6．（2022九上·嘉定期中）已知线段a、b、c，作线段x，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
观察选项可知，选项B符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行判断即可.
7．（2023九上·通川期末）如图，已知.
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点.（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点.（3）作射线交于点D.（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点.（5）作直线，交分别于点E，F.
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）.
A．2 B．1 C． D．4
【答案】（1）C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由作法得平分，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，
而，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：C.
【分析】由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，则∠EAD=∠FAD，AE=DE，AF=DF，根据等腰三角形的性质可得∠EAD=∠EDA，则∠FAD=∠EDA，推出DE∥AF，同理可得AE∥DF，四边形AEDF为菱形，得到AE=AF=2，然后根据平行线分线段成比例的性质进行计算.
8．（2022九上·长兴月考）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=2，GD=1，DF=5，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，AD=1，DF=5，
∴AD=AG+GD=1+2=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴
故答案为：B
【分析】利用已知条件求出AD的长，再利用平行线分线段成比例定理可求出BC与CE的比值.
二、填空题
9．（2022九上·中原期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，，则的值为
【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理建立方程，求解即可.
10．（2023九上·成都期末）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵AD∥BE∥CF，
∴即，
解之：.
故答案为：
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得比例式，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
11．（2022九上·东阳月考）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，则FN：ND＝ ．
【答案】2：3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴EF：BC＝AF：AB，
∵AF：BF＝1：2，
∴AF：AB＝1：3，
∴EF：BC＝1：3，即EF＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∴FE：CD=2：3，
∵FE∥BD，
∴FN：ND＝FE：CD，
∴FN：ND＝2：3．
故答案为：2：3．
【分析】如图，过点F作FE∥BD，交AC于点E，利用平行线分线段成比例，可求出EF：BC＝1：3，即EF＝BC，又CD＝BC，从而得到FE：CD=2：3，再利用平行线分线段成比例，可得FN：ND＝FE：CD，进而求得FN：ND.
12．（2022九上·南山期末）如图，已知，则
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
将，代入得：.
故答案为.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合，可得，最后将数据代入求出即可。
三、解答题
13．（2023九上·中卫期末）如图，正方形的对角线交于点O，的平分线交于G，交于F，求证：.
【答案】证明：过O作交于点P，
∵正方形的对角线交于点O，且，
∴，，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；角平分线的定义
【解析】【分析】过点O作OP∥CF，交AF于点P，利用正方形的性质可证得∠ABC=90°，AO=CO，∠OBC=∠POB=∠BAC=45°，利用角平分线的定义可求出∠BAF及∠BFA的度数，利用平行线的性质可求出∠OPF的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠OGP的度数，可证得∠OGP=∠OPF，利用等角对等边可得到OP=OG；利用平行线分线段成比例定理，可证得PA=PF，从而可证得结论.
14．（2022九上·杨浦期中）如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．
【答案】解：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
设 ，又 ， ，∴ ．
∴ ， （舍）．∴ ．
【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再根据三角形面积公式得出，设S△BDE=x，从而得出，求出x的值，即可得出答案.
四、作图题
15．（2022九上·东阳月考）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的线段BC上找一点O，使BO＝CO．
（2）在图②中画一条线段MN、将线段AB分为3：4两部分，（要求：点M、N均在格点上）
【答案】（1）解：如图①中，点O为所求.
（2）解：如图②中，MN为所求．
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，对角线相互平分且相等，连接以C、B为边的中点的矩形的对角线，即对角线交BC于点O，点O即为所求；
（2）延长BC至点N，再把A点向右平移3个单位到M点，连接MN，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
五、综合题
16．（2022九上·汽开区期末）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图：
（1）图①中，的长为 ．
（2）在图①中的BC边上确定一点P，使点P到三个顶点距离相等．
（3）在图②中，在的边上确定一点M，使得．
【答案】（1）
（2）解：如图①中，点即为所求，
理由如下：
根据平行四边形对角线互相平分或平行线分线段成比例，确定出为的中点，
再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到；
（3）解：如图②中，点即为所求，
理由如下：
根据与相交于，利用网格的特点得出两个三角形相似或平行线分线段成比例，建立等式，
例如：设，
则，
解得，
即点为所求．
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：．
故答案为：；
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）找出线段BC的中点即可得到答案；
（3）设，则，再求出即可。
17．（2022九上·奉贤期中）如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，．
（1）求、的长；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）解：∵直线，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∴长为，长为．
（2）解：如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点，
∵，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质可得，再利用线段的和差求出即可；
（2）将直线向左平移到直线交于H点，交于G点，根据平行线分线段成比例的性质可得，将数据代入求出，最后利用线段的和差求出即可。
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