2023-2024学年初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·朝阳期末）如图，已知ABCDEF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=12，那么CE等于（ ）
A．9 B．4 C．6 D．3
2．（2023九下·鹿城月考）如图，在矩形中，，延长至点，使得，以为直径的半圆交延长线于点.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形的面积等于的平方（即）.现连接并延长交于点，若，则与矩形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023·香坊模拟）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·晋中期末）如图，与相交于点G，且，则＝（ ）
A．5：3 B．1：3 C．3：5 D．2：3
6．（2023九上·亳州期末）如图，直线a∥b∥c，则下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·镇海区期中）如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·鄞州期末）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M.若，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
9．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
10．（2023·十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．
11．（2023·南开模拟）如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接，若C为中点，，则的长为 ．
12．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 ；的面积与的面积差为 .
13．（2022九上·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）如图，在中，，若，求的长.
15．（2022九上·杨浦期中）如图，梯形中，，点E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，交于点G．求证：．
四、综合题
16．（2023·江西）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为．
求证：是菱形．
（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．
①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值．
17．（2023·文成模拟）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.
（1）在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边，上，且与互相平分.
（2）在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边，上，且要求分为两部分.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由题意可得：AF=BE=12
故答案为：3
【分析】根据直线平行性质，以及线段比性质即可求出答案。
2．【答案】B
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵OF=2OG，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴，
∴CF=2BC，
设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，
∵DE是半圆O的直径，
∴DE=2OE=2（a+b），
∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，
∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，
∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，
∴4a2=a(a+2b），
∴b=，
∵S△OCF=OC·CF=b·2a=，
∴S△OCF∶S矩形ABCD=.
故答案为：B.
【分析】由矩形对边平行得CD∥AB，由平行线分线段成比例及已知得，则CF=2BC，设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由线段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b），则b=，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积，从而此题得解了.
3．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点A、B、C均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
4．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A．∵是的中位线，
∴，，，
∴，故A不符合题意；
B．∵，
∴点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C．∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，故C符合题意；
D．∵，，
∴，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据 是的中位线 ， ， 再结合图形，对每个选项一一判断即可。
5．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得。
6．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】A、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，
∵b∥c，
∴△ABH∽△ACF，
∴，本选项结论不正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设EC、AF交于点I，连接DI，
，
DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，
由DE=DC，得到为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
AE=AI，
，
AI=BF，
AB=IF，，
四边形DIFC为平行四边形，
OI=OC，OD=OF，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】如图，设EC、AF交于点I，连接DI，证明出四边形DIFC为平行四边形，得到，再根据 ，推出EI与EC的比，即得出AI与DC的比，即可得出结果.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点M作于点N，设与交与点K，如图，
四边形是正方形，
，，
，
.
由题意得：，
，.
.
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
.
，，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，根据正方形的性质可得HE=HG=GF=EF，AH∥GF，由已知条件可知AH=GH，则AH=HE=GF=EF，由题意得△ABE≌△BCF≌△ADH≌△CDG，则BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG，推出BE=EF=GF=FC，根据等腰三角形的性质可得∠BAE=∠FAE，则∠DCG=∠FAE，由平行线的性质可得∠FAE=∠GFK，进而推出MF=MC，由等腰三角形的性质可得CN=NF，则CN=CG，然后根据平行线分线段成比例的性质进行计算.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
10．【答案】6
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，
∴AC·BD=24，
∴AC=6，
∴AO=3，BO=3，
∴AB=5.
∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，
∴AE=DH=DG=FC，
∴EF∥AC∥HG，
∴，.
设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，
∴，，
∴，
∴EF+HG=6.
故答案为：6.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过C点作于H点，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵C为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过C点作于H点，证明，可得，易得，根据平行线分线段成比例可得，从而求出，由勾股定理可得，据此求出，即得，易求=45°，根据等角对等边即可求解.
12．【答案】-4；1
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：-4；1.
【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝b c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c， ），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴＝，
∴AD＝EM，
设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴b2+（a+b）2＝（a）2，
∴2b2+2ab﹣4a2＝0，
（b﹣a）（b+2a）＝0，
∵b+2a≠0，
∴b﹣a＝0，
∴b＝a，
∴AE＝DM＝a，
如图，延长BF交CD于N，
∵BN∥DE，CF＝FM，
∴DN＝CN，
∴EN＝DM＝a，
∵PN∥BG，
∴，
设PN＝x，则BG＝4x，
∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，
∴△BFG≌△DEP（AAS），
∴PD＝BG＝4x，
同理得：EG＝FP，
∴DN＝3x＝CN，
∴PC＝2x，
∵CP∥BG，
∴， 即 ，
∴PH＝PG＝，
∵，
∴EF＝a＝GP＝，
∴a＝，
∴AD＝a＝．
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD＝EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化简得AE＝DM＝a，延长BF交CD于N，则EN＝DM＝a，根据平行线分线段成比例的性质可得，，设PN＝x，则BG＝4x，易证△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，则DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝，
EF＝a＝GP，据此求出a的值，进而可得AD.
14．【答案】解：∵，且，
∴，即，
解得：，
∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据可得AE的值，然后根据EC=AC-AE进行计算.
15．【答案】证明：∵ ，∴ ， ．
∵点E是边 的中点，∴ ．
∴ ．∴ ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，根据线段中点定义得出AE=DE，从而得出，即可证出EF·GB=BF·GE.
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，则，
又∵
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作交于点，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；
（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G， 可得：，所以，要求只需求即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根据三角形中位线定理的推论，得出，从而得出，所以。
17．【答案】（1）解：如图1或图2，即为所求.
如图1：根据勾股定理可得：，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分.
如图2：根据勾股定理可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分.
（2）解：如图∶
∵，
∴点G、H、为EI的三等分点，
∵，
∴点J、K为EF的三点等分点，
过EF的三等分点画出MN即可.
如图，M1N1、M2N2、M3N3即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）答案不唯一，将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；
（2）易得JG∥KH∥FI，由平行线等分线段定理得 点J、K为EF的三点等分点， 过EF的三等分点画出MN即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·朝阳期末）如图，已知ABCDEF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=12，那么CE等于（ ）
A．9 B．4 C．6 D．3
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由题意可得：AF=BE=12
故答案为：3
【分析】根据直线平行性质，以及线段比性质即可求出答案。
2．（2023九下·鹿城月考）如图，在矩形中，，延长至点，使得，以为直径的半圆交延长线于点.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形的面积等于的平方（即）.现连接并延长交于点，若，则与矩形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵OF=2OG，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴，
∴CF=2BC，
设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，
∵DE是半圆O的直径，
∴DE=2OE=2（a+b），
∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，
∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，
∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，
∴4a2=a(a+2b），
∴b=，
∵S△OCF=OC·CF=b·2a=，
∴S△OCF∶S矩形ABCD=.
故答案为：B.
【分析】由矩形对边平行得CD∥AB，由平行线分线段成比例及已知得，则CF=2BC，设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由线段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b），则b=，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积，从而此题得解了.
3．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点A、B、C均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
4．（2023·香坊模拟）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A．∵是的中位线，
∴，，，
∴，故A不符合题意；
B．∵，
∴点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C．∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，故C符合题意；
D．∵，，
∴，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据 是的中位线 ， ， 再结合图形，对每个选项一一判断即可。
5．（2022九上·晋中期末）如图，与相交于点G，且，则＝（ ）
A．5：3 B．1：3 C．3：5 D．2：3
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得。
6．（2023九上·亳州期末）如图，直线a∥b∥c，则下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】A、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，
∵b∥c，
∴△ABH∽△ACF，
∴，本选项结论不正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
7．（2023八下·镇海区期中）如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设EC、AF交于点I，连接DI，
，
DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，
由DE=DC，得到为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
AE=AI，
，
AI=BF，
AB=IF，，
四边形DIFC为平行四边形，
OI=OC，OD=OF，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】如图，设EC、AF交于点I，连接DI，证明出四边形DIFC为平行四边形，得到，再根据 ，推出EI与EC的比，即得出AI与DC的比，即可得出结果.
8．（2023八上·鄞州期末）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M.若，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点M作于点N，设与交与点K，如图，
四边形是正方形，
，，
，
.
由题意得：，
，.
.
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
.
，，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，根据正方形的性质可得HE=HG=GF=EF，AH∥GF，由已知条件可知AH=GH，则AH=HE=GF=EF，由题意得△ABE≌△BCF≌△ADH≌△CDG，则BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG，推出BE=EF=GF=FC，根据等腰三角形的性质可得∠BAE=∠FAE，则∠DCG=∠FAE，由平行线的性质可得∠FAE=∠GFK，进而推出MF=MC，由等腰三角形的性质可得CN=NF，则CN=CG，然后根据平行线分线段成比例的性质进行计算.
二、填空题
9．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
10．（2023·十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．
【答案】6
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，
∴AC·BD=24，
∴AC=6，
∴AO=3，BO=3，
∴AB=5.
∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，
∴AE=DH=DG=FC，
∴EF∥AC∥HG，
∴，.
设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，
∴，，
∴，
∴EF+HG=6.
故答案为：6.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
11．（2023·南开模拟）如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接，若C为中点，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过C点作于H点，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵C为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过C点作于H点，证明，可得，易得，根据平行线分线段成比例可得，从而求出，由勾股定理可得，据此求出，即得，易求=45°，根据等角对等边即可求解.
12．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 ；的面积与的面积差为 .
【答案】-4；1
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：-4；1.
【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝b c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c， ），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．
13．（2022九上·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴＝，
∴AD＝EM，
设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴b2+（a+b）2＝（a）2，
∴2b2+2ab﹣4a2＝0，
（b﹣a）（b+2a）＝0，
∵b+2a≠0，
∴b﹣a＝0，
∴b＝a，
∴AE＝DM＝a，
如图，延长BF交CD于N，
∵BN∥DE，CF＝FM，
∴DN＝CN，
∴EN＝DM＝a，
∵PN∥BG，
∴，
设PN＝x，则BG＝4x，
∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，
∴△BFG≌△DEP（AAS），
∴PD＝BG＝4x，
同理得：EG＝FP，
∴DN＝3x＝CN，
∴PC＝2x，
∵CP∥BG，
∴， 即 ，
∴PH＝PG＝，
∵，
∴EF＝a＝GP＝，
∴a＝，
∴AD＝a＝．
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD＝EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化简得AE＝DM＝a，延长BF交CD于N，则EN＝DM＝a，根据平行线分线段成比例的性质可得，，设PN＝x，则BG＝4x，易证△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，则DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝，
EF＝a＝GP，据此求出a的值，进而可得AD.
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）如图，在中，，若，求的长.
【答案】解：∵，且，
∴，即，
解得：，
∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据可得AE的值，然后根据EC=AC-AE进行计算.
15．（2022九上·杨浦期中）如图，梯形中，，点E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，交于点G．求证：．
【答案】证明：∵ ，∴ ， ．
∵点E是边 的中点，∴ ．
∴ ．∴ ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，根据线段中点定义得出AE=DE，从而得出，即可证出EF·GB=BF·GE.
四、综合题
16．（2023·江西）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为．
求证：是菱形．
（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．
①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，则，
又∵
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作交于点，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；
（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G， 可得：，所以，要求只需求即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根据三角形中位线定理的推论，得出，从而得出，所以。
17．（2023·文成模拟）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.
（1）在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边，上，且与互相平分.
（2）在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边，上，且要求分为两部分.
【答案】（1）解：如图1或图2，即为所求.
如图1：根据勾股定理可得：，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分.
如图2：根据勾股定理可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分.
（2）解：如图∶
∵，
∴点G、H、为EI的三等分点，
∵，
∴点J、K为EF的三点等分点，
过EF的三等分点画出MN即可.
如图，M1N1、M2N2、M3N3即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）答案不唯一，将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；
（2）易得JG∥KH∥FI，由平行线等分线段定理得 点J、K为EF的三点等分点， 过EF的三等分点画出MN即可.
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