2023-2024学年初中数学九年级上册 3.3 相似图形 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·茂南模拟）任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：正方形的四个角均为直角且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
等腰直角三角形的两锐角均为45°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
矩形的对应边不成比例，故不属于相似图形，满足题意；
等边三角形的三个角均为60°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意.
故答案为：C.
【分析】各角分别相等，各边对应成比例的两个图形为相似图形，据此判断.
2．（2023·东洲模拟）下列各组图形不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
选项B形状不相同，不符合相似形的定义；
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的定义逐项判断即可。
3．（2023·锦江模拟）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：因为两个图形相似：
解得：，x=2，
A、C选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意；
，
D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形对应边成比例可得，据此分别建立方程，求解可判断A、B、C选项；根据相似多边形对应角相等并结合四边形的内角和定理可判断D选项.
4．（2023九上·沭阳期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】形状相同的图形叫相似图形，据此判断.
5．（2023·威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由折叠得AD=DH，GC=CB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=1，
∴DH=GC=1，
设DC=a，则GH=2-a，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵四边形为矩形，
∴EH=1，
∴解得a=，
∴的长为，
故答案为：C
【分析】先根据折叠即可得到AD=DH，GC=CB，再根据矩形的性质即可得到CB=DA=1，EH=1，进而得到DH=GC=1，设DC=a，则GH=2-a，根据相似多边形的性质结合题意即可求出a，进而即可求解。
6．（2023九上·诸暨期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例
∴五边形和五边形一定不相似.
故答案为：B.
【分析】根据各边对应成比例的两个图形为相似图形进行判断.
7．（2023九上·宁波期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）
A．四边形和四边形的面积之差
B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差
D．四边形和四边形的面积之差
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
四边形ABCD四边形HGFA，相似比，
，，，
则，，
，
，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，根据相似多边形的性质并结合相似比k=3得，CD=3AF=SME，BC=3FG=3BJ，△BCD∽△BJI，从而找出对应图形的面积关系为，，再结合即可得出正确的选项.
8．（2023九上·府谷期末）下列各组图形中一定相似的是（ ）.
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个直角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；
B、任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，符合题意；
C、任意两个两个菱形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；
D、任意两个矩形的对应边的比不一定成比例，但对应角相等，故不一定相似，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据相似图形的概念进行判断.
二、填空题
9．（2023·泰州）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 两个相似图形的周长比为3∶2，
两个相似图形的相似比为3∶2，
两个相似图形的面积比为9∶4，
故答案为：9：4.
【分析】根据相似图形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方可得答案.
10．（2023九上·余姚期末）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的周长比是 .
【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 两个相似多边形的相似比是2：3 ，
∴这两个相似多边形的周长之比是2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比即可直接得出答案.
11．（2022·中卫期中）图中的两个四边形相似，则 .
【答案】63
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个四边形相似，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63.
【分析】根据相似多边形对应边成比例可得，据此即可求出x、y的值，最后再求和即可.
12．（2023八下·肇源月考）一个六边形六边长分别为，，，，，，另一个与它相似的六边形的最短边为，则其周长为 ．
【答案】66
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个六边形的最短边长为3，另一个与它相似的六边形的最短边为6，
∴相似比为3：6=1：2，
∵六边形的周长为3+4+5+6+7+8=33，
∴与它相似的六边形的周长为33×2=66.
故答案为：66.
【分析】根据最短边长可得相似比为3：6=1：2，然后求出六边形的周长，根据周长比等于相似比可得与它相似的六边形的周长.
13．（2023·婺城模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 .
【答案】1
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1.
【分析】利用矩形的性质可得到矩形的边长，再根据余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，利用其对应边成比例，可求出CE的长.
三、解答题
14．（2021九上·六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
【答案】解：∵，
∴.
∵四边形 四边形，
∴，，
即.
∴.
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形内角和为360°可得∠D=80°，由相似图形的性质可得∠D1=∠D，，据此求解.
15．（2020九上·镇海期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积.
【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得 ， ，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列出方程，求解即可.
四、综合题
16．（2023九上·滨江期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【知识点】相似图形
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
17．（2022九上·高陵期中）如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若，求矩形的面积．
【答案】（1）解：设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是．
由题意得，
∴，
解得或（舍去），
∴原矩形的长和宽的比为．
（2）解：由（1）得，∵，
∴，
∴.
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）利用两个矩形相似，则对应边成比例，可得到关于a，b的比例式，然后求出a与b的关系即可.
（2）利用（1）中代入计算求出AD的长；然后求出矩形ABCD的面积.
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一、选择题
1．（2023·茂南模拟）任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
2．（2023·东洲模拟）下列各组图形不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·锦江模拟）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·沭阳期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·诸暨期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
7．（2023九上·宁波期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）
A．四边形和四边形的面积之差
B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差
D．四边形和四边形的面积之差
8．（2023九上·府谷期末）下列各组图形中一定相似的是（ ）.
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
二、填空题
9．（2023·泰州）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
10．（2023九上·余姚期末）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的周长比是 .
11．（2022·中卫期中）图中的两个四边形相似，则 .
12．（2023八下·肇源月考）一个六边形六边长分别为，，，，，，另一个与它相似的六边形的最短边为，则其周长为 ．
13．（2023·婺城模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 .
三、解答题
14．（2021九上·六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
15．（2020九上·镇海期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积.
四、综合题
16．（2023九上·滨江期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
17．（2022九上·高陵期中）如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若，求矩形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：正方形的四个角均为直角且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
等腰直角三角形的两锐角均为45°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
矩形的对应边不成比例，故不属于相似图形，满足题意；
等边三角形的三个角均为60°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意.
故答案为：C.
【分析】各角分别相等，各边对应成比例的两个图形为相似图形，据此判断.
2．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
选项B形状不相同，不符合相似形的定义；
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：因为两个图形相似：
解得：，x=2，
A、C选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意；
，
D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形对应边成比例可得，据此分别建立方程，求解可判断A、B、C选项；根据相似多边形对应角相等并结合四边形的内角和定理可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】形状相同的图形叫相似图形，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由折叠得AD=DH，GC=CB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=1，
∴DH=GC=1，
设DC=a，则GH=2-a，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵四边形为矩形，
∴EH=1，
∴解得a=，
∴的长为，
故答案为：C
【分析】先根据折叠即可得到AD=DH，GC=CB，再根据矩形的性质即可得到CB=DA=1，EH=1，进而得到DH=GC=1，设DC=a，则GH=2-a，根据相似多边形的性质结合题意即可求出a，进而即可求解。
6．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例
∴五边形和五边形一定不相似.
故答案为：B.
【分析】根据各边对应成比例的两个图形为相似图形进行判断.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
四边形ABCD四边形HGFA，相似比，
，，，
则，，
，
，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，根据相似多边形的性质并结合相似比k=3得，CD=3AF=SME，BC=3FG=3BJ，△BCD∽△BJI，从而找出对应图形的面积关系为，，再结合即可得出正确的选项.
8．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、任意两个直角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；
B、任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，符合题意；
C、任意两个两个菱形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；
D、任意两个矩形的对应边的比不一定成比例，但对应角相等，故不一定相似，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据相似图形的概念进行判断.
9．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 两个相似图形的周长比为3∶2，
两个相似图形的相似比为3∶2，
两个相似图形的面积比为9∶4，
故答案为：9：4.
【分析】根据相似图形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方可得答案.
10．【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 两个相似多边形的相似比是2：3 ，
∴这两个相似多边形的周长之比是2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比即可直接得出答案.
11．【答案】63
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个四边形相似，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63.
【分析】根据相似多边形对应边成比例可得，据此即可求出x、y的值，最后再求和即可.
12．【答案】66
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个六边形的最短边长为3，另一个与它相似的六边形的最短边为6，
∴相似比为3：6=1：2，
∵六边形的周长为3+4+5+6+7+8=33，
∴与它相似的六边形的周长为33×2=66.
故答案为：66.
【分析】根据最短边长可得相似比为3：6=1：2，然后求出六边形的周长，根据周长比等于相似比可得与它相似的六边形的周长.
13．【答案】1
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1.
【分析】利用矩形的性质可得到矩形的边长，再根据余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，利用其对应边成比例，可求出CE的长.
14．【答案】解：∵，
∴.
∵四边形 四边形，
∴，，
即.
∴.
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形内角和为360°可得∠D=80°，由相似图形的性质可得∠D1=∠D，，据此求解.
15．【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得 ， ，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列出方程，求解即可.
16．【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【知识点】相似图形
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
17．【答案】（1）解：设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是．
由题意得，
∴，
解得或（舍去），
∴原矩形的长和宽的比为．
（2）解：由（1）得，∵，
∴，
∴.
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）利用两个矩形相似，则对应边成比例，可得到关于a，b的比例式，然后求出a与b的关系即可.
（2）利用（1）中代入计算求出AD的长；然后求出矩形ABCD的面积.
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