2023-2024学年初中数学九年级上册 3.4 相似图形的判定与性质 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
3．（2022九上·定海月考）给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
4．（2022九上·柯城月考）如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022九上·杨浦期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）．
A．有一个内角是的两个直角三角形
B．有一个内角是的两个等腰三角形
C．两条直角边的比都是的两个直角三角形
D．腰与底的比都是的两个等腰三角形
6．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
7．（2022九上·杭州期中）如图，在中，点D，E分别在上，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·永春期中）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
二、填空题
9．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，∠AED=∠B，若AB=10，AE=8，DE=6，则BC的长为 .
10．（2022九上·长顺期末）如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是
11．（2022九上·余杭期中）如图，那么与的相似比为 .
12．（2023·大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
13．（2023·东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
三、解答题
14．（2022九上·永春期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．求证：
15．（2022九上·道县期中）如图，为中边上的一点，，若，，，求的长．
四、作图题
16．（2022九上·咸阳月考）如图，在中，点为边AB的中点，请用尺规作图法在边AC上求作一点，使得.(保留作图痕迹，不写作法)
五、综合题
17．（2022九上·海曙期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.
（1）求证：△ADE∽△ACB.
（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.
18．（2019九上·太原期中）方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质可得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，可得，
即
解得AE＝；
当△AED∽△ABC，得，
即
解得AE=3，
综上AE的长为：3或.
故答案为：D.
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，当△AED∽△ABC，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可．
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，
，
.，，，
设AP的长为x，则BP长为8-x.
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得或.
满足条件的点的个数是3个，
故答案为：C.
【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，则BP长为8-x，此题分两种情况：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可得出满足条件的点P的个数.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个内角是50°的直角三角形一定相似，故A不符合题意；
B、有一个顶角是50°的等腰三角形与有一个底角是50°的等腰三角形不相似，故B符合题意；
C、两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形一定相似，故C不符合题意；
D、腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形一定相似，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF
∴相似比为：，
△ABC的周长为：，
∴△DEF的周长为：，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ADE与△ACB中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例可得，再代入即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠EAD=∠BAC，
当，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；
C选项中∠A不是成比例的两边的夹角，故选项C符合题意；
当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由于两个三角形具有公共角∠EAD=∠BAC，故可以添加∠B=∠ADE或∠C=∠AED，利用有两组角对应相等的两个三角形相似即可判断出△ABC∽△ADE；也可以添加，利用有两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△ADE，从而一一判断得出答案.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠AED=∠B ，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得.
故答案为：.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
10．【答案】(0，1)
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
∴即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOC∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OC的长，从而即可得出点C的坐标.
11．【答案】2：3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴与的相似比为，
故答案为：2∶3.
【分析】由AD∶DB=2∶1，可得AD∶AB=2∶3，进而根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比就是相似比即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴∠A=∠BMN=90°，
∴∠DMN+∠CMB=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DNM+∠AMN=90°，
∴∠DNM=∠CMB，
∴△NDM∽△MCB.
故答案为：△MCB.
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质可证得∠A=∠BMN=90°，∠D=∠C=90°，再利用余角的性质可证得∠DNM=∠CMB，然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△NDM∽△MCB，即可求解.
13．【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，
∴△BFC∽△BGA，
∴，
∵，，，
∴CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，
∴，
故答案为：-1
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，进而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据点的坐标得到CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，进而代入即可求解。
14．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等，得∠BED=∠C，∠B=∠FEC，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论.
15．【答案】解：在和中，，
，
，
，，，
，
解得，
故的长为3．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△ADC∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
16．【答案】解：如图，点E即为所求.(答案不唯一）
【知识点】作图﹣相似变换；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据相似三角形的性质和三角形中位线定理只需过点D作出BC的平行线与AC的交点即可.
17．【答案】（1）证明：∵∠ADE= ∠ACB ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
（2）解：∵点E是AC的中点
∴AC=2AE
∵△ADE∽△ACB
∴ 即
∴ =40
∴AE= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
18．【答案】（1）解：相似；
根据题意，四边形ABCD中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四边形EFGH中， ，FG=2，GH=4，EH= ；
∴ ，即 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为： .
（2）解：根据题意，设相似比为 ，则四边形MNPQ的各边为：
MN=2，NP= ，PQ= ，MQ= ，
如图，四边形MNPQ即为所求.
.
【知识点】相似多边形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.4 相似图形的判定与性质 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质可得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案.
2．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，可得，
即
解得AE＝；
当△AED∽△ABC，得，
即
解得AE=3，
综上AE的长为：3或.
故答案为：D.
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，当△AED∽△ABC，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可．
3．（2022九上·定海月考）给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
4．（2022九上·柯城月考）如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，
，
.，，，
设AP的长为x，则BP长为8-x.
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得或.
满足条件的点的个数是3个，
故答案为：C.
【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，则BP长为8-x，此题分两种情况：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可得出满足条件的点P的个数.
5．（2022九上·杨浦期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）．
A．有一个内角是的两个直角三角形
B．有一个内角是的两个等腰三角形
C．两条直角边的比都是的两个直角三角形
D．腰与底的比都是的两个等腰三角形
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个内角是50°的直角三角形一定相似，故A不符合题意；
B、有一个顶角是50°的等腰三角形与有一个底角是50°的等腰三角形不相似，故B符合题意；
C、两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形一定相似，故C不符合题意；
D、腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形一定相似，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
6．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF
∴相似比为：，
△ABC的周长为：，
∴△DEF的周长为：，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
7．（2022九上·杭州期中）如图，在中，点D，E分别在上，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ADE与△ACB中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例可得，再代入即可求出答案.
8．（2022九上·永春期中）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠EAD=∠BAC，
当，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；
C选项中∠A不是成比例的两边的夹角，故选项C符合题意；
当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由于两个三角形具有公共角∠EAD=∠BAC，故可以添加∠B=∠ADE或∠C=∠AED，利用有两组角对应相等的两个三角形相似即可判断出△ABC∽△ADE；也可以添加，利用有两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△ADE，从而一一判断得出答案.
二、填空题
9．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，∠AED=∠B，若AB=10，AE=8，DE=6，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠AED=∠B ，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得.
故答案为：.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
10．（2022九上·长顺期末）如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是
【答案】(0，1)
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
∴即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOC∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OC的长，从而即可得出点C的坐标.
11．（2022九上·余杭期中）如图，那么与的相似比为 .
【答案】2：3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴与的相似比为，
故答案为：2∶3.
【分析】由AD∶DB=2∶1，可得AD∶AB=2∶3，进而根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比就是相似比即可得出答案.
12．（2023·大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴∠A=∠BMN=90°，
∴∠DMN+∠CMB=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DNM+∠AMN=90°，
∴∠DNM=∠CMB，
∴△NDM∽△MCB.
故答案为：△MCB.
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质可证得∠A=∠BMN=90°，∠D=∠C=90°，再利用余角的性质可证得∠DNM=∠CMB，然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△NDM∽△MCB，即可求解.
13．（2023·东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，
∴△BFC∽△BGA，
∴，
∵，，，
∴CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，
∴，
故答案为：-1
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，进而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据点的坐标得到CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，进而代入即可求解。
三、解答题
14．（2022九上·永春期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．求证：
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等，得∠BED=∠C，∠B=∠FEC，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论.
15．（2022九上·道县期中）如图，为中边上的一点，，若，，，求的长．
【答案】解：在和中，，
，
，
，，，
，
解得，
故的长为3．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△ADC∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
四、作图题
16．（2022九上·咸阳月考）如图，在中，点为边AB的中点，请用尺规作图法在边AC上求作一点，使得.(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】解：如图，点E即为所求.(答案不唯一）
【知识点】作图﹣相似变换；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据相似三角形的性质和三角形中位线定理只需过点D作出BC的平行线与AC的交点即可.
五、综合题
17．（2022九上·海曙期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.
（1）求证：△ADE∽△ACB.
（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵∠ADE= ∠ACB ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
（2）解：∵点E是AC的中点
∴AC=2AE
∵△ADE∽△ACB
∴ 即
∴ =40
∴AE= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
18．（2019九上·太原期中）方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
【答案】（1）解：相似；
根据题意，四边形ABCD中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四边形EFGH中， ，FG=2，GH=4，EH= ；
∴ ，即 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为： .
（2）解：根据题意，设相似比为 ，则四边形MNPQ的各边为：
MN=2，NP= ，PQ= ，MQ= ，
如图，四边形MNPQ即为所求.
.
【知识点】相似多边形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案；（2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形.
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