2023-2024学年初中数学九年级上册 3.4 相似图形的判定与性质 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·高州期末）如图，等腰△ABC的周长为16，底边BC=，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则下列说法中错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．平分
C．△CBE的周长为， D．△ABE的周长为：
2．（2023·明水模拟）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·赤峰）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
5．（2023·巴中）如图，在中，，，、分别为、中点，连接、相交于点，点在上，且：：，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·深圳期末）如图，D、E分别是的边AB、BC上的点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·中江期末）如图，已知F是内的一点，，，若四边形的面积为2，，，则的面积是（ ）．
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2023八下·和平期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③；④S△CBG＝2S△FHD．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023·抚顺）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点E，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为 ．
10．（2023·明水模拟）如图，已知是反比例函数图象上的一点，过点作轴交的图象于点以，为边作 ，连结交轴于点，则 ．
11．（2023·鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE∶EQ=3∶2，则的值是 ．
12．（2023·锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．
13．（2023八下·宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为 ；②当平分时，正方形的面积为 ．
三、解答题
14．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
15．（2023·陇县模拟）某校九年级一班的兴趣小组准备测量学校外一栋建筑物的高度，出于安全考虑，他们不得离开校园，于是便利用所学知识制定了如下的测量方案：如图所示，首先，王磊站在点，并在正前方米的点放置一平面镜，通过平面镜王磊刚好可以看到建筑物的顶端点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为米；然后，刘慧在建筑物的影子顶端点竖立了一根高米的标杆，此时测得标杆的影子长为米，而王磊与刘慧之间的距离为米，已知，，，点，，，，在一条直线上，请根据以上数据，计算目标建筑物的高度平面镜大小忽略不计．
四、综合题
16．（2023·泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
17．（2023八下·相城期末）如图，在中，直线DF与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，与线段BC延长线相交于点F.
（1）若，，求的值.
（2）若，，其中m＞n＞0，求的值.
（3）请根据上述（1）（2）的结论，猜想= （直接写出答案，不需要证明）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：B、∵∠A=36°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°
∵DE垂直平分AB
∴EA=EB
∴∠EBA=∠A=36°
∴
∴BE平分∠ABC，故B不符合题意；
A、∵∠EBC=∠ABC-∠EBA=72°-36°=36°
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴△EBC为等腰三角形，故A不符合题意；
C、∵等腰△ABC的周长为16，底边BC= ，
∴，
∵CB=BE=AE
∴△BCE的周长为，故C不符合题意；
∵，
∴△ABE的周长为，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C，∠ABC的度数，利用垂直平分线的性质可求出∠EBA的度数，据此可推出∠ABE=∠ABC，可对B作出判断；再求出∠EBC，∠BEC的度数，可证得∠BEC=∠C，可对A作出判断；易证AE=BE=BC，可知△CBE的周长=AC+BC，代入计算可对C作出判断；同时可证得△ABE的周长=2BC+AB，代入计算可对D作出判断.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E⊥AC于点E，交BC于点D，
∴AD=A′D，AF=A′F，A′E最短，
∴AD+DE=A′D+DE=A′E，此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；
在Rt△ABC中，，
∴
∴，
解之：，
∴；
∵∠C+∠FAC=90°，∠A′+∠FAC=90°，
∴∠A′=∠C，
∵∠AEA′=∠BAC=90°，
∴△A′AE∽△CBA，
∴即
解之：.
∴DA+DE的最小值就是.
故答案为：B
【分析】作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E⊥AC于点E，交BC于点D，利用垂线段最短可知A′E的值最小，利用对称点的性质可知AD=A′D，AF=A′F，A′E最短，同时可证得此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；利用勾股定理求出BC的长，利用同一个直角三角形的面积不变，可求出AF的长，即可得到A′A的长；再证明△A′AE∽△CBA，利用相似三角形的对应边相等，可求出A′E的长.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△BED∽△CDA，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到∠B=∠C=60°，进而结合题意即可得到∠CAD=∠EDB，再根据相似三角形的判定与性质证明△BED∽△CDA即可得到，再结合题意代入数值即可求解。
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
四边形是菱形，
，
，
，
，正确；
由题意可得，
四边形是边长为5菱形，
，
，
，，
，
，正确；
，
，，
，
，
，正确；
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，错误，
故答案为：A.
【分析】本题是菱形的翻折问题，利用菱形的性质和折叠性质可判断正确；利用等腰三角形性质可以求出BQ的长度，判断正确；通过相似三角形的相似比可以求出BP的长度，判断正确；根据线段之比可判断BD、FQ是否平行.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接DE，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴S△ABC=，因为点D是AC的中点，所以∵点E是BC的中点，∴∵DG∶GC=1∶2，∴又∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE∶AB=1∶2，∴△ABF∽△EDF，∴DF∶FB=DE∶AB=1∶2，∴∴S四边形DFEG=S△DEG+S△DEF=2+2=4（cm2）。
故答案为：B.
【分析】首先可求得直角三角形ABC的面积为24cm2，然后根据D、E分别是AC、BC中点，可以得出，再根据DG∶GC=1∶2，，根据DE是△ABC的中位线，可得最后得出S四边DFEG=S△DEG+S△DEF=2+2=4（cm2）。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：S△BDE：S△CDB=1：3，
得到： ，
又∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，
∴，
∴A△DOE：S△AOC=，
故答案为：C.
【分析】 考查等底等高的三角形面积相等，再利用相似三角形的性质与判定求出比值.
7．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长EF交AC于点M，延长DF交AC于点N，
∵，，
∴BA=3BD，BC=4BE，
∵DF∥BC，即DN∥BC，
∴=2，
∵EF∥AB，即EM∥AB，
∴，
设AM=m，则：CM=3m，
∴AC=AM+CM=4m，
∴，
∴MN=AN-AM=，
∵FM∥AD，
∴△FMN∽△DAN，
∴，
设S△FMN=a，则S△DAN=64a，
∴S四边形ADFM=S△DAN-S△FMN=39a，
同理，可根据FN∥EC，可得：S△MEC=81a，S四边形FECN=46a，
∵DN∥BC，
∴，
∴S△ABC=144a，
∴S四边形BDFE=S△ABC-S四边形ADFM-S△MEC=144a-39a-81a=24a，
∴24a=2，
∴a=，
∴S△ABC=144a=12.
故答案为：D。
【分析】延长EF交AC于点M，延长DF交AC于点N，设AM=m，首先根据平行线分线段成比例分别得出CM=3m，AN=，AC=3m，MN=，然后根据相似三角形的性质，从而求得三角形面积之间的关系，即可求出答案。
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=AB，DF=CF=CD，
∴AE=BE=DF=CF，
∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正确；
∵△CBE≌△ADF，
∴∠BCE=∠DAF.
∵BC=AD，∠CBD=∠ADB，
∴△CBG≌△ADH（ASA），
∴CG=AH，故②正确；
∵AE=CE，AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴EC∥AF.
∵AE=BE，
∴BG=GH.
∵CF=DF，AF∥CE，
∴GH=DH，
∴BG=GH=DH，
∴BG=GD，故③正确.
∵AB∥DF，
∴∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，
∴△ABH∽△FDH，
∴，
∴S△ADH=2S△DFH.
∵△CBG≌△ADH，
∴S△CBG＝2S△FHD，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ADB，结合中点的概念可得AE=BE=DF=CF，利用全等三角形的判定定理可判断①；由全等三角形的性质可得∠BCE=∠DAF，利用ASA证明△CBG≌△ADH，进而可判断②；易得四边形AECF为平行四边形，则EC∥AF，BG=GH，同理可得GH=DH，则BG=GH=DH，据此判断③；由平行线的性质可得∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABH∽△FDH，由相似三角形的性质结合三角形的面积公式可得S△ADH=2S△DFH，由全等三角形的性质可得S△CBG=S△ADH，据此判断④.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴AC=BE=2OA，
∴△OAF∽△EBF，
∴
∴，
∴S△BEF=4S△AOF，
∴，
∴S△AEF=2S△AOF，
同理可证S△BEF=2S△OBF，
S△OBC=S△AOB，
设S△AOF=x，则S△BEF=4x，S△AEF=2x，S△OBF=2x，
∴S△OBC=S△AOB=3x，
S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF=3x+2x=5x，
∴四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比为.
故答案为：.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，OA=OC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出AC=BE=2OA，同时可证得△OAF∽△EBF，利用相似三角形的性质，可求出OF与EF的比值，同时可证得S△BEF=4S△AOF，S△AEF=2S△AOF，S△BEF=2S△OBF，S△OBC=S△AOB，设S△AOF=x，可表示出△BEF，△AEF，△OBF，△OBC的面积，再根据S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF，可表示出四边形BCOF的面积，然后求出四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比.
10．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵AB∥x轴，
∴∠BFE=∠AEF=∠BAE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴OC=AB=EF，
∴OF=CE，
∵点A是反比例函数上的一点，点B是反比例函数上的一点，
∴OF：OE=4：1，S△OBF=×4=2
∴OC：CF=5：9，
设OD=y，OF=CE=4x，OE=x，OC=5x，CF=9x，
∵OD∥BF，
∴△OCD∽△FCB，
∴即
解之：，
∴
∴，
∴.
故答案为：
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质可证得OC=AB=EF，可推出OF=CE，利用反比例函数的解析式，可得到OF：OE=4：1，同时求出△OBF的面积，可推出OC：CF=5：9；设OD=y，OF=CE=4x，OE=x，OC=5x，CF=9x，由OD∥BF，可推出△OCD∽△FCB，利用小数是边形的性质可表示出BF的长，再利用三角形的面积公式可求出xy的值，然后求出△OCD的面积.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∴BE=b，EH=b-a.
∵BE：EQ=3：2，
∴EQ=b，
∴QH=EH-EQ=a-b-b=a-b.
∵AH∥EC，
∴△AHQ∽△CEQ，
∴，
∴，
∴3a2-5ab-2b2=0，
∴a=2b，
∴BQ=BE+EQ=b+b=b.
∵∠BEC=90°，BE=b，CE=a=2b，
∴BC==b.
∵∠QEO=∠QCB=45°，∠EQO=∠CQB，
∴△QEO∽△QCB，
∴.
∵赵爽弦图是中心对称图形，
∴OP=OQ，
∴==.
故答案为：.
【分析】设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则BE=b，EH=b-a，EQ=b，QH=EH-EQ=a-b，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△AHQ∽△CEQ，根据相似三角形的性质可得a=2b，由勾股定理可得BC，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△QEO∽△QCB，由相似三角形的性质可得，据此求解.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵B2（3，0），A1（3，1），
∴O1，A1B2⊥x轴，
同理A2B3⊥x轴，A3B4⊥x轴，
∴△A1B1B2∽△A2B2B3，
∴，
∵A1B1=B2C1，
∴，
∴B2B3=，
∴，
可得△O2A3B3∽△O1A2B2，
∴，
∴，……，
∴.
故答案为：.
【分析】根据B2与A1的坐标可得点O1的坐标及A1B2⊥x轴，从而判断出△A1B1B2∽△A2B2B3，由相似三角形对应边成比例可求出B2B3=，进而根据三角形面积计算公式算出△OA2B2的面积，再判断出△O2A3B3∽△O1A2B2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可算出△O2A3B3的面积，从而找到规律，进而根据规律即可得出答案.
13．【答案】；12
【知识点】反比例函数的图象；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OC=OD，∠AOD=90°，∠OAD=45°.
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AMO=∠OND=90°.
∵∠AOM+∠DON=90°，∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠DON=∠OAM，
∴△AOM≌△ODN（AAS），
∴OM=DN，AM=ON.
①将A（1，m）代入y=中可得m=，
∴A（1，），
∴OM=DN=1，AM=ON=，
∴D（，-1）.
②作EF⊥OA于点F，
∵CE平分∠ACD，
∴ED=EF.
∵Rt△AEF中，∠OAD=45°，
∴AE=EF，
∴AE=ED.
∵∠AME=∠DNE=90°，∠AEM=∠DEN，
∴△AME∽△DNE，
∴.
∵OM=DN，
∴.
设OM=x，则AM=x.
∵点A在y=上，
∴x·x.=，
∴x=，
∴OA=，AC=，OD=，
∴S正方形ABCD=×××2=12.
故答案为：（，-1），12.
【分析】连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，由正方形的性质可得OA=OC=OD，∠AOD=90°，∠OAD=45°，根据同角的余角相等可得∠DON=∠OAM，利用AAS证明△AOM≌△ODN，得到OM=DN，AM=ON，将A（1，m）代入y=中可得m的值，据此可得点A的坐标，进而可得DN、ON的值，据此可得点D的坐标；作EF⊥OA于点F，由角平分线的性质可得ED=EF，由勾股定理可得AE=EF，则AE=ED，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AME∽△DNE，设OM=x，则AM=x，由点A在y=上可得x的值，然后求出OA、AC、OD的值，据此求解.
14．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
15．【答案】解：设 米．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意得， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
答：大雁塔的高度 为64米．
【知识点】分式方程的实际应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设 米，证明出 ，得到 ，可得CN=2x， ，得到 ，列出方程求解即可.
16．【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。
17．【答案】（1）解：如图，过点C作CG∥AB交DF于点G
，
∴
又∵
；
（2）解：过点C作CG∥AB交DF于点G
，
故设
又
；
（3）1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）由 （1）（2）知：，
∴= =1；
故答案为：1.
【分析】（1）过点C作CG∥AB交DF于点G，利用平行线可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解；
（2）过点C作CG∥AB交DF于点G，利用平行线可证，可得 ，可设，由可得DB=2mk，由平行线可证，利用相似三角形对应边成比例即可求解；
（3）由 （1）（2）知，，代入原式即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.4 相似图形的判定与性质 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·高州期末）如图，等腰△ABC的周长为16，底边BC=，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则下列说法中错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．平分
C．△CBE的周长为， D．△ABE的周长为：
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：B、∵∠A=36°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°
∵DE垂直平分AB
∴EA=EB
∴∠EBA=∠A=36°
∴
∴BE平分∠ABC，故B不符合题意；
A、∵∠EBC=∠ABC-∠EBA=72°-36°=36°
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴△EBC为等腰三角形，故A不符合题意；
C、∵等腰△ABC的周长为16，底边BC= ，
∴，
∵CB=BE=AE
∴△BCE的周长为，故C不符合题意；
∵，
∴△ABE的周长为，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C，∠ABC的度数，利用垂直平分线的性质可求出∠EBA的度数，据此可推出∠ABE=∠ABC，可对B作出判断；再求出∠EBC，∠BEC的度数，可证得∠BEC=∠C，可对A作出判断；易证AE=BE=BC，可知△CBE的周长=AC+BC，代入计算可对C作出判断；同时可证得△ABE的周长=2BC+AB，代入计算可对D作出判断.
2．（2023·明水模拟）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E⊥AC于点E，交BC于点D，
∴AD=A′D，AF=A′F，A′E最短，
∴AD+DE=A′D+DE=A′E，此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；
在Rt△ABC中，，
∴
∴，
解之：，
∴；
∵∠C+∠FAC=90°，∠A′+∠FAC=90°，
∴∠A′=∠C，
∵∠AEA′=∠BAC=90°，
∴△A′AE∽△CBA，
∴即
解之：.
∴DA+DE的最小值就是.
故答案为：B
【分析】作点A关于线段BC的对称点A′，连接AA′，交BC于点F，过点A′作A′E⊥AC于点E，交BC于点D，利用垂线段最短可知A′E的值最小，利用对称点的性质可知AD=A′D，AF=A′F，A′E最短，同时可证得此时AD+DE的值最小，最小值就是A′E的长；利用勾股定理求出BC的长，利用同一个直角三角形的面积不变，可求出AF的长，即可得到A′A的长；再证明△A′AE∽△CBA，利用相似三角形的对应边相等，可求出A′E的长.
3．（2023·东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△BED∽△CDA，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到∠B=∠C=60°，进而结合题意即可得到∠CAD=∠EDB，再根据相似三角形的判定与性质证明△BED∽△CDA即可得到，再结合题意代入数值即可求解。
4．（2023·赤峰）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
四边形是菱形，
，
，
，
，正确；
由题意可得，
四边形是边长为5菱形，
，
，
，，
，
，正确；
，
，，
，
，
，正确；
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，错误，
故答案为：A.
【分析】本题是菱形的翻折问题，利用菱形的性质和折叠性质可判断正确；利用等腰三角形性质可以求出BQ的长度，判断正确；通过相似三角形的相似比可以求出BP的长度，判断正确；根据线段之比可判断BD、FQ是否平行.
5．（2023·巴中）如图，在中，，，、分别为、中点，连接、相交于点，点在上，且：：，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接DE，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴S△ABC=，因为点D是AC的中点，所以∵点E是BC的中点，∴∵DG∶GC=1∶2，∴又∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE∶AB=1∶2，∴△ABF∽△EDF，∴DF∶FB=DE∶AB=1∶2，∴∴S四边形DFEG=S△DEG+S△DEF=2+2=4（cm2）。
故答案为：B.
【分析】首先可求得直角三角形ABC的面积为24cm2，然后根据D、E分别是AC、BC中点，可以得出，再根据DG∶GC=1∶2，，根据DE是△ABC的中位线，可得最后得出S四边DFEG=S△DEG+S△DEF=2+2=4（cm2）。
6．（2023八下·深圳期末）如图，D、E分别是的边AB、BC上的点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：S△BDE：S△CDB=1：3，
得到： ，
又∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，
∴，
∴A△DOE：S△AOC=，
故答案为：C.
【分析】 考查等底等高的三角形面积相等，再利用相似三角形的性质与判定求出比值.
7．（2023八下·中江期末）如图，已知F是内的一点，，，若四边形的面积为2，，，则的面积是（ ）．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长EF交AC于点M，延长DF交AC于点N，
∵，，
∴BA=3BD，BC=4BE，
∵DF∥BC，即DN∥BC，
∴=2，
∵EF∥AB，即EM∥AB，
∴，
设AM=m，则：CM=3m，
∴AC=AM+CM=4m，
∴，
∴MN=AN-AM=，
∵FM∥AD，
∴△FMN∽△DAN，
∴，
设S△FMN=a，则S△DAN=64a，
∴S四边形ADFM=S△DAN-S△FMN=39a，
同理，可根据FN∥EC，可得：S△MEC=81a，S四边形FECN=46a，
∵DN∥BC，
∴，
∴S△ABC=144a，
∴S四边形BDFE=S△ABC-S四边形ADFM-S△MEC=144a-39a-81a=24a，
∴24a=2，
∴a=，
∴S△ABC=144a=12.
故答案为：D。
【分析】延长EF交AC于点M，延长DF交AC于点N，设AM=m，首先根据平行线分线段成比例分别得出CM=3m，AN=，AC=3m，MN=，然后根据相似三角形的性质，从而求得三角形面积之间的关系，即可求出答案。
8．（2023八下·和平期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③；④S△CBG＝2S△FHD．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=AB，DF=CF=CD，
∴AE=BE=DF=CF，
∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正确；
∵△CBE≌△ADF，
∴∠BCE=∠DAF.
∵BC=AD，∠CBD=∠ADB，
∴△CBG≌△ADH（ASA），
∴CG=AH，故②正确；
∵AE=CE，AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴EC∥AF.
∵AE=BE，
∴BG=GH.
∵CF=DF，AF∥CE，
∴GH=DH，
∴BG=GH=DH，
∴BG=GD，故③正确.
∵AB∥DF，
∴∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，
∴△ABH∽△FDH，
∴，
∴S△ADH=2S△DFH.
∵△CBG≌△ADH，
∴S△CBG＝2S△FHD，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ADB，结合中点的概念可得AE=BE=DF=CF，利用全等三角形的判定定理可判断①；由全等三角形的性质可得∠BCE=∠DAF，利用ASA证明△CBG≌△ADH，进而可判断②；易得四边形AECF为平行四边形，则EC∥AF，BG=GH，同理可得GH=DH，则BG=GH=DH，据此判断③；由平行线的性质可得∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABH∽△FDH，由相似三角形的性质结合三角形的面积公式可得S△ADH=2S△DFH，由全等三角形的性质可得S△CBG=S△ADH，据此判断④.
二、填空题
9．（2023·抚顺）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点E，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴AC=BE=2OA，
∴△OAF∽△EBF，
∴
∴，
∴S△BEF=4S△AOF，
∴，
∴S△AEF=2S△AOF，
同理可证S△BEF=2S△OBF，
S△OBC=S△AOB，
设S△AOF=x，则S△BEF=4x，S△AEF=2x，S△OBF=2x，
∴S△OBC=S△AOB=3x，
S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF=3x+2x=5x，
∴四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比为.
故答案为：.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，OA=OC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出AC=BE=2OA，同时可证得△OAF∽△EBF，利用相似三角形的性质，可求出OF与EF的比值，同时可证得S△BEF=4S△AOF，S△AEF=2S△AOF，S△BEF=2S△OBF，S△OBC=S△AOB，设S△AOF=x，可表示出△BEF，△AEF，△OBF，△OBC的面积，再根据S四边形BCOF=S△BOC+S△BOF，可表示出四边形BCOF的面积，然后求出四边形BCOF的面积与△AEF的面积之比.
10．（2023·明水模拟）如图，已知是反比例函数图象上的一点，过点作轴交的图象于点以，为边作 ，连结交轴于点，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵AB∥x轴，
∴∠BFE=∠AEF=∠BAE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴OC=AB=EF，
∴OF=CE，
∵点A是反比例函数上的一点，点B是反比例函数上的一点，
∴OF：OE=4：1，S△OBF=×4=2
∴OC：CF=5：9，
设OD=y，OF=CE=4x，OE=x，OC=5x，CF=9x，
∵OD∥BF，
∴△OCD∽△FCB，
∴即
解之：，
∴
∴，
∴.
故答案为：
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质可证得OC=AB=EF，可推出OF=CE，利用反比例函数的解析式，可得到OF：OE=4：1，同时求出△OBF的面积，可推出OC：CF=5：9；设OD=y，OF=CE=4x，OE=x，OC=5x，CF=9x，由OD∥BF，可推出△OCD∽△FCB，利用小数是边形的性质可表示出BF的长，再利用三角形的面积公式可求出xy的值，然后求出△OCD的面积.
11．（2023·鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE∶EQ=3∶2，则的值是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∴BE=b，EH=b-a.
∵BE：EQ=3：2，
∴EQ=b，
∴QH=EH-EQ=a-b-b=a-b.
∵AH∥EC，
∴△AHQ∽△CEQ，
∴，
∴，
∴3a2-5ab-2b2=0，
∴a=2b，
∴BQ=BE+EQ=b+b=b.
∵∠BEC=90°，BE=b，CE=a=2b，
∴BC==b.
∵∠QEO=∠QCB=45°，∠EQO=∠CQB，
∴△QEO∽△QCB，
∴.
∵赵爽弦图是中心对称图形，
∴OP=OQ，
∴==.
故答案为：.
【分析】设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则BE=b，EH=b-a，EQ=b，QH=EH-EQ=a-b，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△AHQ∽△CEQ，根据相似三角形的性质可得a=2b，由勾股定理可得BC，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△QEO∽△QCB，由相似三角形的性质可得，据此求解.
12．（2023·锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵B2（3，0），A1（3，1），
∴O1，A1B2⊥x轴，
同理A2B3⊥x轴，A3B4⊥x轴，
∴△A1B1B2∽△A2B2B3，
∴，
∵A1B1=B2C1，
∴，
∴B2B3=，
∴，
可得△O2A3B3∽△O1A2B2，
∴，
∴，……，
∴.
故答案为：.
【分析】根据B2与A1的坐标可得点O1的坐标及A1B2⊥x轴，从而判断出△A1B1B2∽△A2B2B3，由相似三角形对应边成比例可求出B2B3=，进而根据三角形面积计算公式算出△OA2B2的面积，再判断出△O2A3B3∽△O1A2B2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可算出△O2A3B3的面积，从而找到规律，进而根据规律即可得出答案.
13．（2023八下·宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为 ；②当平分时，正方形的面积为 ．
【答案】；12
【知识点】反比例函数的图象；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OC=OD，∠AOD=90°，∠OAD=45°.
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AMO=∠OND=90°.
∵∠AOM+∠DON=90°，∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠DON=∠OAM，
∴△AOM≌△ODN（AAS），
∴OM=DN，AM=ON.
①将A（1，m）代入y=中可得m=，
∴A（1，），
∴OM=DN=1，AM=ON=，
∴D（，-1）.
②作EF⊥OA于点F，
∵CE平分∠ACD，
∴ED=EF.
∵Rt△AEF中，∠OAD=45°，
∴AE=EF，
∴AE=ED.
∵∠AME=∠DNE=90°，∠AEM=∠DEN，
∴△AME∽△DNE，
∴.
∵OM=DN，
∴.
设OM=x，则AM=x.
∵点A在y=上，
∴x·x.=，
∴x=，
∴OA=，AC=，OD=，
∴S正方形ABCD=×××2=12.
故答案为：（，-1），12.
【分析】连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，由正方形的性质可得OA=OC=OD，∠AOD=90°，∠OAD=45°，根据同角的余角相等可得∠DON=∠OAM，利用AAS证明△AOM≌△ODN，得到OM=DN，AM=ON，将A（1，m）代入y=中可得m的值，据此可得点A的坐标，进而可得DN、ON的值，据此可得点D的坐标；作EF⊥OA于点F，由角平分线的性质可得ED=EF，由勾股定理可得AE=EF，则AE=ED，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AME∽△DNE，设OM=x，则AM=x，由点A在y=上可得x的值，然后求出OA、AC、OD的值，据此求解.
三、解答题
14．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
15．（2023·陇县模拟）某校九年级一班的兴趣小组准备测量学校外一栋建筑物的高度，出于安全考虑，他们不得离开校园，于是便利用所学知识制定了如下的测量方案：如图所示，首先，王磊站在点，并在正前方米的点放置一平面镜，通过平面镜王磊刚好可以看到建筑物的顶端点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为米；然后，刘慧在建筑物的影子顶端点竖立了一根高米的标杆，此时测得标杆的影子长为米，而王磊与刘慧之间的距离为米，已知，，，点，，，，在一条直线上，请根据以上数据，计算目标建筑物的高度平面镜大小忽略不计．
【答案】解：设 米．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意得， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
答：大雁塔的高度 为64米．
【知识点】分式方程的实际应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设 米，证明出 ，得到 ，可得CN=2x， ，得到 ，列出方程求解即可.
四、综合题
16．（2023·泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。
17．（2023八下·相城期末）如图，在中，直线DF与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，与线段BC延长线相交于点F.
（1）若，，求的值.
（2）若，，其中m＞n＞0，求的值.
（3）请根据上述（1）（2）的结论，猜想= （直接写出答案，不需要证明）.
【答案】（1）解：如图，过点C作CG∥AB交DF于点G
，
∴
又∵
；
（2）解：过点C作CG∥AB交DF于点G
，
故设
又
；
（3）1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）由 （1）（2）知：，
∴= =1；
故答案为：1.
【分析】（1）过点C作CG∥AB交DF于点G，利用平行线可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解；
（2）过点C作CG∥AB交DF于点G，利用平行线可证，可得 ，可设，由可得DB=2mk，由平行线可证，利用相似三角形对应边成比例即可求解；
（3）由 （1）（2）知，，代入原式即可求解.
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