2023-2024学年初中数学九年级上册 3.5 相似图形的应用 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·宜宾模拟）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设DE=4k，EC=k，则CD=5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5k，DE⊥AB，
△DEF~△BAF，
，
故答案为C
【分析】设未知数k，由平行四边形推出，AB=CD，DE∥AB，得出△DEF~△BAF，推出。
2．（2023九上·宜宾期末）如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，
∴
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△ODC∽△OAB，根据相似三角形对应边上高之比等于相似比建立方程，求解即可.
3．（2021九上·长清期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m，
∴ ，
解得，DC＝17.5（m），
即建筑物CD的高是17.5m，
故答案为：A．
【分析】由△ABE∽△ACD可得关系式即可求解。
4．（2021·江州模拟）如图，圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．1.44πm2 D．3.24πm2
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，
∴△OBC∽△OAD
∴ ，而OD=3，CD=1，
∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= ×1.2=0.6
∴ ，
∴AD=0.9 S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2.
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△OBC∽△OAD，由相似三角形的性质可得比例式，结合已知求出AD的值，再根据圆的面积S=可求解.
5．（2023·威海）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，由题意得，
解得a=，
∴顶角为的等腰三角形底边长为727.2千米，
故答案为：D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，进而根据相似三角形的判定与性质即可列出方程，从而即可求出a，进而即可求解。
6．（2023·隆昌模拟）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m
A．3.5 B．4 C．4.5 D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：△ABE∽△ACD，
∴，
∵AB=3m，BC=7m，
∴AC=AB+BC=10m，
∴，
∴CD=5，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出CD的长即可。
7．（2023·长丰模拟）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的应用
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝60°，∠BAD＝90°，AC＝AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴△CAD是等腰三角形，∠CAD＝150°，
∴∠ADC＝15°，∠BAC＝4∠ADC，
故选项A正确；
∵∠ADB＝∠ABD＝45°，∠ADC＝15°，
∴∠EDF＝30°，
又∵AH⊥CD，AE⊥BD且∠AFG＝60°，
∴∠FAP＝30°，∠DAE＝45°，
∴∠BAH＝∠ADC＝15°，
在△ADF和△BAH中，
∴△ADF≌△BAH（ASA），
∴DF＝AH，AF＝BH，
故选项B正确；
∵∠FAP＝30°，AH⊥CD，
∴AF＝2PF，
∴BH＝2PF，
故选项C正确；
∵∠AFG＝∠CBG＝60°，∠AGF＝∠CGB，
∴△AFG∽△CBG，
∵2CG＝3BG，
∴2AG＝3FG，
故选项D不正确，
故答案为：D
【分析】根据等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质可得△CAD是等腰三角形，∠CAD＝150°，求解可知A正确；由等腰直角三角形的性质以及三线合一定理得出∠DAE＝45°，由三角形的内角和可求出∠BAH＝∠ADF，通过证明△ADF≌△BAH即可得到DF＝AH；由△ADF≌△BAH可知BH＝AF，再结合求出的∠PAF＝30°，可知AF＝BH＝2PF；通过证明△AFG∽△CBG可得，最后得出2AG＝3FG．
8．（2023九下·慈溪月考）有一块锐角三角形余料，边的长为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：当最上层的小长方形的一边与交于点E、F时，，于，交于，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵小长方形的宽为
∴能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，
设第二层靠近点A的边为x，
根据三角形相似可得：，
解得，即第二层正好能分割两个小长方形，
设最下层靠近点A的边为，
根据三角形相似可得：，
解得，即最下层正好能分割三个小长方形，
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个，
故答案为：B.
【分析】 当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，EF∥BC，AD⊥BC于D，交EF于G，则△AEF∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AG的长，然后根据DG=AD-AG可求出DG的长， 所以△ABC能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，设第二层靠近点A的边为x，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x=10，即第二层正好能分割两个小长方形，设最下层靠近点A的边为y，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出y=15，即最下层正好能分割三个小长方形，从而即可得出答案.
二、填空题
9．（2023·柳北模拟）如图，某学生利用一根长1米的标杆测量一棵树的高度，测得米，米，那么树的高度为 米.
【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，CE∥BD，
∴
∴
即
解得米，
故答案为：4.
【分析】由题意可得，CE∥BD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ACE∽△ABD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出BD.
10．（2022九上·罗湖期中）如图是小孔成像原理的示意图，，，. 若物体的高度为，则像的高度是 .
【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5cm.
故答案为：5.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
11．（2021九上·二道期末）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
【答案】5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5．
∴小明的影长为5米．
【分析】先求出，再计算求解即可。
12．（2023八下·通道期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则与的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=AD=BD，
在，
故答案为
【分析】利用三角形的相似，根据相似比即可求出答案。
13．（2023·郫都模拟）我国的学者墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，早于牛顿2000多年就已经总结出相似的理论如图，平面，，相互平行，平面到平面的距离是平面到平面的距离的2倍，直角三角形光源在平面上，若，通过小孔成的像在平面上，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：
平面q到平面n的距离是平面n到平面m的距离的2倍
，
的面积为：
故答案为：
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比即可得到结论。
三、解答题
14．（2022·芜湖模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
【答案】解：由题意，BD∥AC．
∴△BDE∽△ACE．
∴．
∴．
解得AC＝8．
答：井深AC的长为8米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先证明△BDE∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得，然后将数据代入计算可得AC＝8。
15．（2023·西安模拟）铜川市【铜川1958】雕塑群体展现了铜川1958年因煤设市、因煤而兴的一个时代的记忆．某数学兴趣小组的同学计划测量雕塑上方人物铜像的高度．如图，小组同学在D处竖立一根可伸缩的标杆，甲站在G处恰好看到标杆顶端E和人物铜像底端B在一条直线上，米，米；甲站在G处不动，小组同学调整标杆的高度，当标杆的顶点恰好在F处时，甲看到标杆顶端F和人物铜像顶端A在一条直线上，米，，，，点B在上，点E在上，点C、D、G在一条水平线上，请根据以上测量数据与方法求出人物铜像的高度．
【答案】解：过点作于点，交于点，如图所示：
易得米，米，
米．
，，
，
，，
，
，
同理得：，
∴，
∴，
即，
，
人物铜像的高度为12米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点H作HM⊥AC于点M，交ED于点N，则NH=DG=3米，MN=CD=33米，MH=MN+HN=36米，由垂直于同一直线的两直线互相平行可得AC∥FD，根据平行线的性质可得∠BAH=∠EFH，∠ABH=∠FEH，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABH∽△FEH，△BHM∽
△ENH，由相似三角形的性质可求出AB的值，据此解答.
四、综合题
16．（2023·玉溪模拟）如图，是的外接圆，是的直径，点D是外一点，平分，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，点E是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为10，，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是直径，
∴ ，
∵点E是 的中点，点O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，由角平分线的定义得到∠OCA＝∠DCA，再由等边对等角推出∠OAC＝∠OCA＝∠DCA，则OA∥CD，即可证明OA⊥AD，则AD是⊙O的切线；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得到∠BAC＝90°，再证明OE是△ABC的中位线，得到AC＝2OE＝6，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出CD＝3.6．
17．（2023·临海模拟）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像.已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），CD长为y（单位：），当时，.
（1）求的长.
（2）求y关于x的函数解析式，在图中画出图像，并写出至少一条该函数性质.
（3）若要求不小于，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
，
，
解得.
（2）解：由（1）得，，
，
或，
性质：当时，y随x的增大而减小.
(注：写出其他性质，只要合理均可给分)
（3）解：由，，
则，
解得，
的取值范围为：.
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线可证 ， 可得 ， 据此即可求出EF的长；
（2） 由（1）得， 据此可得 ， 从增减性写出性质即可；
（3） 由题意知，即得，据此求解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.5 相似图形的应用 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·宜宾模拟）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·宜宾期末）如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
3．（2021九上·长清期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
4．（2021·江州模拟）如图，圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．1.44πm2 D．3.24πm2
5．（2023·威海）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
6．（2023·隆昌模拟）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m
A．3.5 B．4 C．4.5 D．
7．（2023·长丰模拟）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
8．（2023九下·慈溪月考）有一块锐角三角形余料，边的长为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二、填空题
9．（2023·柳北模拟）如图，某学生利用一根长1米的标杆测量一棵树的高度，测得米，米，那么树的高度为 米.
10．（2022九上·罗湖期中）如图是小孔成像原理的示意图，，，. 若物体的高度为，则像的高度是 .
11．（2021九上·二道期末）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
12．（2023八下·通道期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则与的数量关系是 ．
13．（2023·郫都模拟）我国的学者墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，早于牛顿2000多年就已经总结出相似的理论如图，平面，，相互平行，平面到平面的距离是平面到平面的距离的2倍，直角三角形光源在平面上，若，通过小孔成的像在平面上，则的面积为 ．
三、解答题
14．（2022·芜湖模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
15．（2023·西安模拟）铜川市【铜川1958】雕塑群体展现了铜川1958年因煤设市、因煤而兴的一个时代的记忆．某数学兴趣小组的同学计划测量雕塑上方人物铜像的高度．如图，小组同学在D处竖立一根可伸缩的标杆，甲站在G处恰好看到标杆顶端E和人物铜像底端B在一条直线上，米，米；甲站在G处不动，小组同学调整标杆的高度，当标杆的顶点恰好在F处时，甲看到标杆顶端F和人物铜像顶端A在一条直线上，米，，，，点B在上，点E在上，点C、D、G在一条水平线上，请根据以上测量数据与方法求出人物铜像的高度．
四、综合题
16．（2023·玉溪模拟）如图，是的外接圆，是的直径，点D是外一点，平分，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，点E是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为10，，求的长．
17．（2023·临海模拟）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像.已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），CD长为y（单位：），当时，.
（1）求的长.
（2）求y关于x的函数解析式，在图中画出图像，并写出至少一条该函数性质.
（3）若要求不小于，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设DE=4k，EC=k，则CD=5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5k，DE⊥AB，
△DEF~△BAF，
，
故答案为C
【分析】设未知数k，由平行四边形推出，AB=CD，DE∥AB，得出△DEF~△BAF，推出。
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，
∴
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△ODC∽△OAB，根据相似三角形对应边上高之比等于相似比建立方程，求解即可.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m，
∴ ，
解得，DC＝17.5（m），
即建筑物CD的高是17.5m，
故答案为：A．
【分析】由△ABE∽△ACD可得关系式即可求解。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，
∴△OBC∽△OAD
∴ ，而OD=3，CD=1，
∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= ×1.2=0.6
∴ ，
∴AD=0.9 S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2.
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△OBC∽△OAD，由相似三角形的性质可得比例式，结合已知求出AD的值，再根据圆的面积S=可求解.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，由题意得，
解得a=，
∴顶角为的等腰三角形底边长为727.2千米，
故答案为：D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，进而根据相似三角形的判定与性质即可列出方程，从而即可求出a，进而即可求解。
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：△ABE∽△ACD，
∴，
∵AB=3m，BC=7m，
∴AC=AB+BC=10m，
∴，
∴CD=5，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出CD的长即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的应用
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝60°，∠BAD＝90°，AC＝AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴△CAD是等腰三角形，∠CAD＝150°，
∴∠ADC＝15°，∠BAC＝4∠ADC，
故选项A正确；
∵∠ADB＝∠ABD＝45°，∠ADC＝15°，
∴∠EDF＝30°，
又∵AH⊥CD，AE⊥BD且∠AFG＝60°，
∴∠FAP＝30°，∠DAE＝45°，
∴∠BAH＝∠ADC＝15°，
在△ADF和△BAH中，
∴△ADF≌△BAH（ASA），
∴DF＝AH，AF＝BH，
故选项B正确；
∵∠FAP＝30°，AH⊥CD，
∴AF＝2PF，
∴BH＝2PF，
故选项C正确；
∵∠AFG＝∠CBG＝60°，∠AGF＝∠CGB，
∴△AFG∽△CBG，
∵2CG＝3BG，
∴2AG＝3FG，
故选项D不正确，
故答案为：D
【分析】根据等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质可得△CAD是等腰三角形，∠CAD＝150°，求解可知A正确；由等腰直角三角形的性质以及三线合一定理得出∠DAE＝45°，由三角形的内角和可求出∠BAH＝∠ADF，通过证明△ADF≌△BAH即可得到DF＝AH；由△ADF≌△BAH可知BH＝AF，再结合求出的∠PAF＝30°，可知AF＝BH＝2PF；通过证明△AFG∽△CBG可得，最后得出2AG＝3FG．
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：当最上层的小长方形的一边与交于点E、F时，，于，交于，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵小长方形的宽为
∴能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，
设第二层靠近点A的边为x，
根据三角形相似可得：，
解得，即第二层正好能分割两个小长方形，
设最下层靠近点A的边为，
根据三角形相似可得：，
解得，即最下层正好能分割三个小长方形，
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个，
故答案为：B.
【分析】 当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，EF∥BC，AD⊥BC于D，交EF于G，则△AEF∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AG的长，然后根据DG=AD-AG可求出DG的长， 所以△ABC能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，设第二层靠近点A的边为x，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x=10，即第二层正好能分割两个小长方形，设最下层靠近点A的边为y，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出y=15，即最下层正好能分割三个小长方形，从而即可得出答案.
9．【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，CE∥BD，
∴
∴
即
解得米，
故答案为：4.
【分析】由题意可得，CE∥BD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ACE∽△ABD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出BD.
10．【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5cm.
故答案为：5.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
11．【答案】5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5．
∴小明的影长为5米．
【分析】先求出，再计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=AD=BD，
在，
故答案为
【分析】利用三角形的相似，根据相似比即可求出答案。
13．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：
平面q到平面n的距离是平面n到平面m的距离的2倍
，
的面积为：
故答案为：
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比即可得到结论。
14．【答案】解：由题意，BD∥AC．
∴△BDE∽△ACE．
∴．
∴．
解得AC＝8．
答：井深AC的长为8米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先证明△BDE∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得，然后将数据代入计算可得AC＝8。
15．【答案】解：过点作于点，交于点，如图所示：
易得米，米，
米．
，，
，
，，
，
，
同理得：，
∴，
∴，
即，
，
人物铜像的高度为12米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点H作HM⊥AC于点M，交ED于点N，则NH=DG=3米，MN=CD=33米，MH=MN+HN=36米，由垂直于同一直线的两直线互相平行可得AC∥FD，根据平行线的性质可得∠BAH=∠EFH，∠ABH=∠FEH，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABH∽△FEH，△BHM∽
△ENH，由相似三角形的性质可求出AB的值，据此解答.
16．【答案】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是直径，
∴ ，
∵点E是 的中点，点O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，由角平分线的定义得到∠OCA＝∠DCA，再由等边对等角推出∠OAC＝∠OCA＝∠DCA，则OA∥CD，即可证明OA⊥AD，则AD是⊙O的切线；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得到∠BAC＝90°，再证明OE是△ABC的中位线，得到AC＝2OE＝6，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出CD＝3.6．
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
解得.
（2）解：由（1）得，，
，
或，
性质：当时，y随x的增大而减小.
(注：写出其他性质，只要合理均可给分)
（3）解：由，，
则，
解得，
的取值范围为：.
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线可证 ， 可得 ， 据此即可求出EF的长；
（2） 由（1）得， 据此可得 ， 从增减性写出性质即可；
（3） 由题意知，即得，据此求解即可.
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