2023-2024学年初中数学九年级上册 3.5 相似图形的应用 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·松阳模拟）如图，树在路灯的照射下形成投影，若树离，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△POC，
∴.
∵AB=2，AC=3，AM=4.5，
∴，
∴OP=5m.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△POC，然后由相似三角形的性质进行计算.
2．（2022·交城模拟）小孔成像是由于光在均匀介质中沿直线传播而形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是某次小孔成像实验图，其原理可以用图2所示的平面图形表示．若在这次实验中，蜡烛火焰的高度为，小孔到光屏的距离为，蜡烛到小孔的距离为，则蜡烛在光屏上所成实像的高度．其中根据的数学原理是（ ）
墨子，名翟，公元前476或480年—公元前390或420年．我国古代教育家、思想家、哲学家．
A．图形的旋转 B．图形的轴对称 C．图形的平移 D．图形的相似
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∴
故答案为：D.
【分析】先证出，可得，再求出，因此利用图形的相似求解即可。
3．（2023九上·温州期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（ ）
A．25m B．26.5m C．50m D．51.5m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB=1.5m，EF=3m，BF=1.2m，BD=20m，四边形ABFG、四边形ABDH都是矩形，
∴FG=AB=1.5m，BF=AG=1.2m，AB=DH=1.5m，BD=AH=20m，
∴EG=EF-FG=3-1.5=15m
∵CD∥EF∥AB，
∴△AEG∽△ACH，
∴EG∶CH＝AG∶AH，即1.5∶CH＝1.2∶20，
解得：CH＝25m，
∴CD＝CH＋DH＝25＋1.5＝26.5（m）；
答： 楼房的高度是26.5m.
故答案为：B.
【分析】由题意得出CD∥EF∥AB，证出△AEG∽△ACH，得出对应边成比例EG∶CH＝AG∶AH，求出CH，即可得出结果.
4．（2022九上·平遥期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（ ）
A．25米 B．15米 C．16米 D．20米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
则小明和路灯的距离为20米．
故答案为：D．
【分析】由可证，利用相似三角形的性质即可求解.
5．（2022九上·温州月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（ ）
A．1cm B．cm C．2cm D．cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CD：AC，
∵AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，
∴CD=4，AC=6，
∴DE：3=4：6，
∴DE＝2cm，
∴小玻璃管口径DE是2cm．
故答案为：C．
【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，可得DE：AB＝CD：AC，再由AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，可得CD=4，AC=6，再将数据代入计算，即可求解.
6．（2022九上·东阳月考）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A、＝，
B、＝，
C、＝，
D、＝，
∴＝＝≠，
∴B选项不符合标准.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，再进行比较，即可得到符合题意的答案．
7．（2022九上·南山期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，则女孩的影子长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：D．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，即，再求出PB的长即可。
8．（2022九上·江城期末）如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒处准备了一支蜡烛，蜡烛长为，纸筒的长度为，则这支蜡烛所成像的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作，的延长线交于点E，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
答：这支蜡烛所成像的高度为．
故答案为：B．
【分析】过点O作，的延长线交于点E，先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可。
二、填空题
9．（2023·巴中模拟）小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔在北偏东方向上，在处东600米的处，测得海中灯塔在北偏东30°方向上，则灯塔到环海路的距离 米（用根号表示）．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=600，
则，设PC=x，则
解得
故答案为
【分析】判断相似三角形，利用相似比性质即可得出答案。
10．（2023·五华模拟）为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点E处，然后观测者沿着直线后退到点D，恰好在镜子里看到树的最高点A，再用皮尺测量，和观测者目高．若，，，则树的高度为 m．
【答案】4.2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BD于点E，如图所示：
∵∠FEB=∠FED=90°，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠EBA=∠EDC=90°，
∴△EBA∽△EDC，
∴，
∴AB=4.2m，
故答案为：4.2.
【分析】过点E作EF⊥BD于点E，先根据题意得到∠AEB=∠CED，∠EBA=∠EDC=90°，再运用相似三角形的判定与性质即可得到，进而即可求解。
11．（2023·本溪）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴
即
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴
即
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
12．（2022·番禺模拟）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．
由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M，
∴AM，
∵S△ABB′，
∴1 BN×3，则BN，
∴AN，
∵AB//DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴，
设CG＝a，则EGa，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴，解得a．
∴CG，EG，
∴EC．
故答案为：．
【分析】作辅助线，构造三角形。根据旋转的性质得△ABB′是等腰三角形，解得AM及S△ABB′的面积；根据一个三角形的面积相等，不同的底乘以高的结果是相等的，得出AN；根据△ANB∽△B′GE，把每条边表示出来，解得EC。
13．（2022九下·东阳期中）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点在的中垂线上，且，.如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行，当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，则 ；将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与到的距离之比，则 .
【答案】；
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：连接BE，BF，过点作于J，
由题意，CE=CF=CB，
，
，AE=30cm，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
可以假设，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
则有，
解得，
故答案为：，.
【分析】连接BE、 BF，过点B'作BJ⊥EF于J，利用勾股定理求出EB的长，证明△ABE∽△EBF，求出FB的长 ，则可求得EF，假设B'G=l6kcm，E'H= 1kcm，可得JE'=5kcm，，然后证明，列比例式求出BJ长，最后在中根据勾股定理建立关于k的方程，从而可解决问题.
三、解答题
14．（2019九上·泊头期中）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？
【答案】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
∴ ．
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
∴ ，
∴FH＝1.05里．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
15．（2019九上·罗湖期中）如图，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
【答案】解：如图，过点D作DM⊥CD，交AE于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
则四边形BDMN为矩形，∴MN＝BD，BN＝DM.
由题意，得 .
∴DM＝DE×1.6÷2＝14.4(m)．
∵MN＝BD＝ CD＝6 m， ，
∴AN＝1.6×6＝9.6(m)，
∴AB＝AN＋BN＝9.6＋14.4＝24(m)．
答：铁塔AB的高度为24 m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点D构造矩形,把塔高的影长分解为平地上的BD斜坡上的DE.然后根据影长的比分別求得AN,GB长,把它们相加即可
四、综合题
16．（2021·东胜模拟）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米，乙树的高度为 米﹔
（2）请求出丙树的高度．
【答案】（1）5.1；4.2
（2）解：如图3，
假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长，
线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长，
则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米，
又与图1中的相似，
又
故丙树的高为5.56米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
米，
故甲树的高为5.1米；
如图2，假设线段
是乙树，线段
为乙树在墙壁上的影长，
线段
为乙树落在地面上的影长，
与图1中的
相似，
又
，
故乙树的高为4.2米；
故答案为：5.1，4.2；
【分析】（1）直接利用相似比求甲数的高度，画出几何图形，把树高分成两个部分，其中一部分等于墙壁上的影长，另外一部分利用相似可求出乙树的高度；
（2）利用两个不同的相似比分别求出对应高，再求和即可。
17．（2021九上·内江期末）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）3； ABC∽ ACD， ABC∽ CBD， ACD∽ CBD
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝3.
∵△ABC的面积＝ AB CD＝ AC BC，
∴CD＝ ＝ .
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝ ，
∴OB＝ .
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得t＝ ，即 ，
∴ .
在△BPQ中，由勾股定理，得 ，
∴点P的坐标为 ；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
解得t＝ ，即 ，
过点P作PE⊥x轴于点E.
∵△QPB∽△ACB，
∴ ，即 ，
∴PE＝ .
在△BPE中， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
综上可得，点P的坐标为( ， )；( ， ).
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到 AB CD＝ AC BC，即可求出CD的长.
（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.5 相似图形的应用 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·松阳模拟）如图，树在路灯的照射下形成投影，若树离，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022·交城模拟）小孔成像是由于光在均匀介质中沿直线传播而形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是某次小孔成像实验图，其原理可以用图2所示的平面图形表示．若在这次实验中，蜡烛火焰的高度为，小孔到光屏的距离为，蜡烛到小孔的距离为，则蜡烛在光屏上所成实像的高度．其中根据的数学原理是（ ）
墨子，名翟，公元前476或480年—公元前390或420年．我国古代教育家、思想家、哲学家．
A．图形的旋转 B．图形的轴对称 C．图形的平移 D．图形的相似
3．（2023九上·温州期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（ ）
A．25m B．26.5m C．50m D．51.5m
4．（2022九上·平遥期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（ ）
A．25米 B．15米 C．16米 D．20米
5．（2022九上·温州月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（ ）
A．1cm B．cm C．2cm D．cm
6．（2022九上·东阳月考）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022九上·南山期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，则女孩的影子长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·江城期末）如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒处准备了一支蜡烛，蜡烛长为，纸筒的长度为，则这支蜡烛所成像的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·巴中模拟）小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔在北偏东方向上，在处东600米的处，测得海中灯塔在北偏东30°方向上，则灯塔到环海路的距离 米（用根号表示）．
10．（2023·五华模拟）为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点E处，然后观测者沿着直线后退到点D，恰好在镜子里看到树的最高点A，再用皮尺测量，和观测者目高．若，，，则树的高度为 m．
11．（2023·本溪）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
12．（2022·番禺模拟）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 ．
13．（2022九下·东阳期中）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点在的中垂线上，且，.如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行，当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，则 ；将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与到的距离之比，则 .
三、解答题
14．（2019九上·泊头期中）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？
15．（2019九上·罗湖期中）如图，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
四、综合题
16．（2021·东胜模拟）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米，乙树的高度为 米﹔
（2）请求出丙树的高度．
17．（2021九上·内江期末）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△POC，
∴.
∵AB=2，AC=3，AM=4.5，
∴，
∴OP=5m.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△POC，然后由相似三角形的性质进行计算.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∴
故答案为：D.
【分析】先证出，可得，再求出，因此利用图形的相似求解即可。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB=1.5m，EF=3m，BF=1.2m，BD=20m，四边形ABFG、四边形ABDH都是矩形，
∴FG=AB=1.5m，BF=AG=1.2m，AB=DH=1.5m，BD=AH=20m，
∴EG=EF-FG=3-1.5=15m
∵CD∥EF∥AB，
∴△AEG∽△ACH，
∴EG∶CH＝AG∶AH，即1.5∶CH＝1.2∶20，
解得：CH＝25m，
∴CD＝CH＋DH＝25＋1.5＝26.5（m）；
答： 楼房的高度是26.5m.
故答案为：B.
【分析】由题意得出CD∥EF∥AB，证出△AEG∽△ACH，得出对应边成比例EG∶CH＝AG∶AH，求出CH，即可得出结果.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
则小明和路灯的距离为20米．
故答案为：D．
【分析】由可证，利用相似三角形的性质即可求解.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CD：AC，
∵AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，
∴CD=4，AC=6，
∴DE：3=4：6，
∴DE＝2cm，
∴小玻璃管口径DE是2cm．
故答案为：C．
【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，可得DE：AB＝CD：AC，再由AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，可得CD=4，AC=6，再将数据代入计算，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A、＝，
B、＝，
C、＝，
D、＝，
∴＝＝≠，
∴B选项不符合标准.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，再进行比较，即可得到符合题意的答案．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：D．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，即，再求出PB的长即可。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作，的延长线交于点E，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
答：这支蜡烛所成像的高度为．
故答案为：B．
【分析】过点O作，的延长线交于点E，先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可。
9．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=600，
则，设PC=x，则
解得
故答案为
【分析】判断相似三角形，利用相似比性质即可得出答案。
10．【答案】4.2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BD于点E，如图所示：
∵∠FEB=∠FED=90°，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠EBA=∠EDC=90°，
∴△EBA∽△EDC，
∴，
∴AB=4.2m，
故答案为：4.2.
【分析】过点E作EF⊥BD于点E，先根据题意得到∠AEB=∠CED，∠EBA=∠EDC=90°，再运用相似三角形的判定与性质即可得到，进而即可求解。
11．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴
即
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴
即
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．
由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M，
∴AM，
∵S△ABB′，
∴1 BN×3，则BN，
∴AN，
∵AB//DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴，
设CG＝a，则EGa，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴，解得a．
∴CG，EG，
∴EC．
故答案为：．
【分析】作辅助线，构造三角形。根据旋转的性质得△ABB′是等腰三角形，解得AM及S△ABB′的面积；根据一个三角形的面积相等，不同的底乘以高的结果是相等的，得出AN；根据△ANB∽△B′GE，把每条边表示出来，解得EC。
13．【答案】；
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：连接BE，BF，过点作于J，
由题意，CE=CF=CB，
，
，AE=30cm，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
可以假设，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
则有，
解得，
故答案为：，.
【分析】连接BE、 BF，过点B'作BJ⊥EF于J，利用勾股定理求出EB的长，证明△ABE∽△EBF，求出FB的长 ，则可求得EF，假设B'G=l6kcm，E'H= 1kcm，可得JE'=5kcm，，然后证明，列比例式求出BJ长，最后在中根据勾股定理建立关于k的方程，从而可解决问题.
14．【答案】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
∴ ．
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
∴ ，
∴FH＝1.05里．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
15．【答案】解：如图，过点D作DM⊥CD，交AE于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
则四边形BDMN为矩形，∴MN＝BD，BN＝DM.
由题意，得 .
∴DM＝DE×1.6÷2＝14.4(m)．
∵MN＝BD＝ CD＝6 m， ，
∴AN＝1.6×6＝9.6(m)，
∴AB＝AN＋BN＝9.6＋14.4＝24(m)．
答：铁塔AB的高度为24 m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点D构造矩形,把塔高的影长分解为平地上的BD斜坡上的DE.然后根据影长的比分別求得AN,GB长,把它们相加即可
16．【答案】（1）5.1；4.2
（2）解：如图3，
假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长，
线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长，
则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米，
又与图1中的相似，
又
故丙树的高为5.56米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
米，
故甲树的高为5.1米；
如图2，假设线段
是乙树，线段
为乙树在墙壁上的影长，
线段
为乙树落在地面上的影长，
与图1中的
相似，
又
，
故乙树的高为4.2米；
故答案为：5.1，4.2；
【分析】（1）直接利用相似比求甲数的高度，画出几何图形，把树高分成两个部分，其中一部分等于墙壁上的影长，另外一部分利用相似可求出乙树的高度；
（2）利用两个不同的相似比分别求出对应高，再求和即可。
17．【答案】（1）3； ABC∽ ACD， ABC∽ CBD， ACD∽ CBD
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝3.
∵△ABC的面积＝ AB CD＝ AC BC，
∴CD＝ ＝ .
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝ ，
∴OB＝ .
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得t＝ ，即 ，
∴ .
在△BPQ中，由勾股定理，得 ，
∴点P的坐标为 ；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
解得t＝ ，即 ，
过点P作PE⊥x轴于点E.
∵△QPB∽△ACB，
∴ ，即 ，
∴PE＝ .
在△BPE中， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
综上可得，点P的坐标为( ， )；( ， ).
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到 AB CD＝ AC BC，即可求出CD的长.
（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB.
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