2023-2024学年初中数学九年级上册 3.6 位似 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·张家口模拟）如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点 B．位似中心是点
C．位似比为 D．位似比为
2．（2023·梧州模拟）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．（2023·锦江模拟）如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G
4．（2022·宁夏）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
5．（2023·遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·鲁甸模拟）如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·嘉兴）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·舟山模拟）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
9．（2023八下·九龙期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要 元．
10．（2023·鞍山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是 ．
11．（2023九上·金牛期末）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 .
12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
13．（2023·扶风模拟）如图所示△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，已知点C'是OC的三等分点，则△A'B'C'与△ABC的面积之比为 ．
三、解答题
14．（2022九上·淅川期中）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（ 1 ）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
（ 2 ）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是 ；
（ 3 ）△A2BC2的面积是 平方单位.
15．（2022八下·龙口期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
四、作图题
16．（2023八下·朝阳期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
⑴以原点O为位似中心，在网格中y轴右侧作△ABC的位似图形，使△ABC与的相似比为；
⑵作关于y轴对称后的图形；
⑶. ▲ ．
五、综合题
17．（2023·南山模拟）如图，已知点，，以坐标原点O为位似中心，在第四象限将缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为）．
（1）画出缩小后的图形；
（2）写出B点的对应点坐标；
（3）如果内部一点M的坐标为，写出点M经位似变换后的对应点坐标．
18．（2023·亳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与的位似比为2的位似图形；
（2）直接写出顶点的坐标为 ， ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】
如下图所示，作出与的位似中心为H，位似比为4：2=2：1，
∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C。
【分析】此题考察位似图形的基础知识，难度很低。
2．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为1∶2，若点A的坐标为（2，3），则点A'的坐标为（4，6 ）或（-4，-6）.
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
3．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：作射线AO，
，
射线AO经过点D和点G，且，，
∴点A的对应点为点D或点G，
故答案为：A.
【分析】作射线AO，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可.
4．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故答案为：D．
【分析】在手电筒光线的照射下，三角尺的影子与原三角形相比形状不变，但变大了；由于旋转、轴对称及平移都不会改变图形的大小及形状，据此即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；位似变换；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点A（1，2），D（3，4）代入得，
解得，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
∵直线AD与直线BEx轴的交点坐标即为位似中心，
∴当y=0时，x=-1，
∴位似中心的坐标为，
故答案为：A
【分析】设直线AD的解析式为y=kx+b，先根据待定系数法求一次函数即可得到直线AD的解析式，再根据一次函数的性质结合位似图形的性质即可求解。
6．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为1：2，C（3，2），
∴C′（3×2，2×2），即（6，4）.
故答案为：C.
【分析】给点C的横、纵坐标分别乘以2可得点C′的坐标.
8．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵相似比为，A（-4，2），
∴A′（-4×，2×）或（4×，-2×），
∴A′（-2，1）或（2，-1）.
故答案为：D.
【分析】给点A的横、纵坐标分别乘以或-，即可得到对应点A′的坐标.
9．【答案】1020
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得：（m）
则所需地毯总长为12+5=17（m）
地毯面积为（m2）
铺完这个楼道需要（元）
故答案为：1020
【分析】由图可知地毯总长为楼梯水平部分与竖直部分的和，求出地毯面积，即可求出铺完地毯所需费用。
10．【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，
∴点B的对应点的坐标是 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】利用三角形的相似比计算求解即可。
11．【答案】100
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝5cm，OA'＝10cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比1：2，
故五边形A′B′C′D′E′的周长为：100cm.
故答案为：100．
【分析】根据位似图形的位似比等于一对对应点与位似中心所连线段的比值，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10＝1：2，进而根据相似图形的周长的比等于相似比可得答案.
12．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
13．【答案】1：9
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点C′是OC的三等分点，
∴
∴△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C′， A'C ||AC，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴，
∴.
故答案为：1：9
【分析】利用点C′是OC的三等分点，可求出OC′与OC的比值，再利用位似图形的性质，可得到△ABC∽△A'B'C′， A'C′ ||AC，由此可得到△AOC∽△A′OC′，利用相似三角形的性质可求出A′C′与AC的比值，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出结果.
14．【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：C2（1，0）
（3）10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C2=BC2=，A2B=，
∴A2C22+BC22= A2B2，
∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，
∴△A2BC2的面积位为：×（）2＝10平方单位，
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意并结合网格图的特征可求解；
（2）根据位似比并结合网格图的特征可求解；
（3）根据网格图的特征用勾股定理求得A2C2=BC2、A2B的值，然后根据勾股定理的逆定理可判断△A2BC2是等腰直角三角形，于是根据S△=BC22可求解.
15．【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求作.
A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【分析】根据位似图形的定义作出图象，再利用平面直角坐标系直接写出点坐标即可。
16．【答案】解：⑴如图，即为所求作；
⑵如上图，即为所求作；
⑶
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∴sinA=
【分析】（1）根据题意找到点A1，B1，C1，再连线即可求出答案。
（2）根据题意找到A2，B2，C2，再连线即可求出答案。
（3）运用勾股定理求出，再求sinA即可求出答案。
17．【答案】（1）解：如图，为所求作的图形．
（2）解：由（1）得B点的对应点坐标：．
（3）解：M由第二象限变换到第四象限为，
新图形与原图形的相似比为
．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据（1）中的图形求点的坐标即可；
（3）根据 M由第二象限变换到第四象限为， 求点的坐标即可。
18．【答案】（1）解：为所作，如图所示：
（2）（4，6）；1：4
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（2）解：顶点B'的坐标为：；．
故答案为：（4，6）；．
【分析】（1）根据题意要求作图即可；
（2）结合（1）所作的图形，求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.6 位似 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·张家口模拟）如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点 B．位似中心是点
C．位似比为 D．位似比为
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】
如下图所示，作出与的位似中心为H，位似比为4：2=2：1，
∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C。
【分析】此题考察位似图形的基础知识，难度很低。
2．（2023·梧州模拟）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为1∶2，若点A的坐标为（2，3），则点A'的坐标为（4，6 ）或（-4，-6）.
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
3．（2023·锦江模拟）如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：作射线AO，
，
射线AO经过点D和点G，且，，
∴点A的对应点为点D或点G，
故答案为：A.
【分析】作射线AO，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可.
4．（2022·宁夏）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故答案为：D．
【分析】在手电筒光线的照射下，三角尺的影子与原三角形相比形状不变，但变大了；由于旋转、轴对称及平移都不会改变图形的大小及形状，据此即可得出答案.
5．（2023·遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；位似变换；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点A（1，2），D（3，4）代入得，
解得，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
∵直线AD与直线BEx轴的交点坐标即为位似中心，
∴当y=0时，x=-1，
∴位似中心的坐标为，
故答案为：A
【分析】设直线AD的解析式为y=kx+b，先根据待定系数法求一次函数即可得到直线AD的解析式，再根据一次函数的性质结合位似图形的性质即可求解。
6．（2023·鲁甸模拟）如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质结合题意即可求解。
7．（2023·嘉兴）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为1：2，C（3，2），
∴C′（3×2，2×2），即（6，4）.
故答案为：C.
【分析】给点C的横、纵坐标分别乘以2可得点C′的坐标.
8．（2023·舟山模拟）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵相似比为，A（-4，2），
∴A′（-4×，2×）或（4×，-2×），
∴A′（-2，1）或（2，-1）.
故答案为：D.
【分析】给点A的横、纵坐标分别乘以或-，即可得到对应点A′的坐标.
二、填空题
9．（2023八下·九龙期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要 元．
【答案】1020
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得：（m）
则所需地毯总长为12+5=17（m）
地毯面积为（m2）
铺完这个楼道需要（元）
故答案为：1020
【分析】由图可知地毯总长为楼梯水平部分与竖直部分的和，求出地毯面积，即可求出铺完地毯所需费用。
10．（2023·鞍山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是 ．
【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，
∴点B的对应点的坐标是 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】利用三角形的相似比计算求解即可。
11．（2023九上·金牛期末）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 .
【答案】100
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝5cm，OA'＝10cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比1：2，
故五边形A′B′C′D′E′的周长为：100cm.
故答案为：100．
【分析】根据位似图形的位似比等于一对对应点与位似中心所连线段的比值，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10＝1：2，进而根据相似图形的周长的比等于相似比可得答案.
12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而根据位似图形的性质即可求解。
13．（2023·扶风模拟）如图所示△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，已知点C'是OC的三等分点，则△A'B'C'与△ABC的面积之比为 ．
【答案】1：9
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵点C′是OC的三等分点，
∴
∴△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C′， A'C ||AC，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴，
∴.
故答案为：1：9
【分析】利用点C′是OC的三等分点，可求出OC′与OC的比值，再利用位似图形的性质，可得到△ABC∽△A'B'C′， A'C′ ||AC，由此可得到△AOC∽△A′OC′，利用相似三角形的性质可求出A′C′与AC的比值，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出结果.
三、解答题
14．（2022九上·淅川期中）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（ 1 ）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
（ 2 ）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是 ；
（ 3 ）△A2BC2的面积是 平方单位.
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：C2（1，0）
（3）10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C2=BC2=，A2B=，
∴A2C22+BC22= A2B2，
∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，
∴△A2BC2的面积位为：×（）2＝10平方单位，
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意并结合网格图的特征可求解；
（2）根据位似比并结合网格图的特征可求解；
（3）根据网格图的特征用勾股定理求得A2C2=BC2、A2B的值，然后根据勾股定理的逆定理可判断△A2BC2是等腰直角三角形，于是根据S△=BC22可求解.
15．（2022八下·龙口期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求作.
A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【分析】根据位似图形的定义作出图象，再利用平面直角坐标系直接写出点坐标即可。
四、作图题
16．（2023八下·朝阳期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
⑴以原点O为位似中心，在网格中y轴右侧作△ABC的位似图形，使△ABC与的相似比为；
⑵作关于y轴对称后的图形；
⑶. ▲ ．
【答案】解：⑴如图，即为所求作；
⑵如上图，即为所求作；
⑶
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∴sinA=
【分析】（1）根据题意找到点A1，B1，C1，再连线即可求出答案。
（2）根据题意找到A2，B2，C2，再连线即可求出答案。
（3）运用勾股定理求出，再求sinA即可求出答案。
五、综合题
17．（2023·南山模拟）如图，已知点，，以坐标原点O为位似中心，在第四象限将缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为）．
（1）画出缩小后的图形；
（2）写出B点的对应点坐标；
（3）如果内部一点M的坐标为，写出点M经位似变换后的对应点坐标．
【答案】（1）解：如图，为所求作的图形．
（2）解：由（1）得B点的对应点坐标：．
（3）解：M由第二象限变换到第四象限为，
新图形与原图形的相似比为
．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据（1）中的图形求点的坐标即可；
（3）根据 M由第二象限变换到第四象限为， 求点的坐标即可。
18．（2023·亳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与的位似比为2的位似图形；
（2）直接写出顶点的坐标为 ， ．
【答案】（1）解：为所作，如图所示：
（2）（4，6）；1：4
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（2）解：顶点B'的坐标为：；．
故答案为：（4，6）；．
【分析】（1）根据题意要求作图即可；
（2）结合（1）所作的图形，求解即可。
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