2023-2024学年初中数学九年级上册 3.6 位似 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·临渭期末）如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（2023九上·越城期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·武义期末）如图，和是位似三角形，，的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
4．（2023九上·凤翔期末）三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标是（ ）
A． B．或
C．或 D．
5．（2023九上·赵县期末）如图，在平面直角坐标系×Oy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)
6．（2023九上·通川期末）在平面直角坐标系中，已知点，.若与关于点位似，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2023九上·温州期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3．若AB=3，则DE的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
8．（2022九上·聊城期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
9．（2023九上·兴化期末）如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若，则点G的坐标为 .
10．（2022九上·包头期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为 ．
11．（2022九上·汽开区期末）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为6，则的周长是 ．
12．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
三、解答题
13．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
14．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．
四、作图题
16．（2023九上·西安期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.
五、综合题
17．（2023九上·礼泉期末）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(-1，1)，B(2，3)，C(0，3).
（1）以原点O为位似中心，在x轴上方作△ABC的位似图形，与△ABC的相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为
（2）在(1)的条件下，写出点的坐标.
18．（2020九上·惠山月考）（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.
（1）点B的坐标为 ，△ABC的面积为 ；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为 .
（4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.
①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∴面积比为：4：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16.
故答案为：D.
【分析】根据点A、D的坐标可得位似比为2：1，则面积比为4：1，据此求解.
2．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可得△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行解答.
3．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 与 是位似图形，
∴ ，，
∴，
∴，
∴ ，
∵的面积为2，
∴的面积为18，
故答案为：D.
【分析】由题意可得△ABC∽△DEF，AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
4．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，把缩小为原来的，得到，
∵点A的坐标为，
∴点的坐标为或，
即点坐标为或，
故答案为：B.
【分析】给点A的横、纵坐标分别乘以或-就可得到点A′的坐标.
5．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），
∴
∵A（1，2），
∴C()
故答案为：B
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系
6．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵与关于点O位似，且，
∴与的相似比为，
∵点E的坐标为，
∴点的坐标为或，
即或，
故答案为：C.
【分析】根据位似图形面积之比等于相似比的平方结合题意可得相似比为2：1，给点E的横纵坐标分别乘以2或-2可得点E′的坐标.
7．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE＝2：3．
∵AB＝3，
∴DE＝4.5．
故答案为：B.
【分析】位似图形就是特殊的相似图形，所以位似比等于相似比，进而利用相似三角形的性质即可求解．
8．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：点，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即，或者，即，
故答案为：．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
9．【答案】(6，3)
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质以及位似图形的性质可得BC=AD=CD=6，BG∥CD，，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质可得OB、BG的值，进而可得点G的坐标.
10．【答案】10
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为，
∴，即，
解得：．
故答案为：10．
【分析】利用位似图形的性质可得，即，再求出即可。
11．【答案】9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是位似图形，位似比为2：3，
∴和的相似比为3：2，
∴的周长的周长=9，
故答案为：9．
【分析】先求出和的相似比为3：2，再求出的周长的周长即可。
12．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6，
∴
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
13．【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
14．【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
15．【答案】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为（3，1）
（2）解：如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，根据三角形逆时针向左旋转90°即可写出对应的中心点坐标。
（2）根据位似比，C2的坐标在第一象限或第四象限，根据位似中心确定相关的对应点，描点连线即可。
16．【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：
（0，-2）
（2）解：如图所示：即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接AA1、BB1并延长，交于一点，该点即为点P，结合点P的位置可得相应的坐标；
（2）连接AO、BO、CO并延长，使AO=A2O，BO=B2O，CO=C2O，然后顺次连接即可.
17．【答案】（1）解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
（2）解：点 的坐标为(-2，2).
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质及位似比为2：1，以O为位似中心，分别作出点A，B，C的对应点A′，B′，C′，然后画出△A′B′C′即可.
（2）利用（1）中的图形，写出点A′的坐标.
18．【答案】（1）；4
（2）解：如图，连接OA取，OA中点记作点 ，用同样的方法找到点 和点 ，就得到缩小后的 ；
（3）
（4）解：①如图，连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求，
根据平行四边形的性质，O是BD中点，
∴CO是 的中线，
∵E是CD中点，
∴BE也是 的中线，
根据三条中线交于一点，所以连接DG并延长，得到 的最后一条中线，则F是BC中点；
②如图，分别过点B、C作 的矩形对角线BD， 的矩形对角线CE，
， ，则直线BD与CE的交点F就是 的高所在直线的交点，
连接AF角BC于点H，线段AH就是所求的 的高.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）根据图上点B的位置，点B的坐标是 ，
，
故答案是： ，4；
（ 3 ）根据（2）中的做法，点 就是OP的中点，根据中点坐标公式得 ，
故答案是： ；
【分析】（1）根据点B在平面直角坐标系中的位置写出点B坐标，三角形ABC的面积，以AB为底，点C到AB的距离为高，求解；
（2）分别连接点O和点A、B、C，取它们的中点，构成 ；
（3）根据（2）的做法得到，点 就是QP的中点，用中点坐标公式求出点 的坐标；
（4）①连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求；②作 ， ，找到高的交点F，连接AF并延长交BC于点H，得到高AH.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 3.6 位似 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·临渭期末）如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∴面积比为：4：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16.
故答案为：D.
【分析】根据点A、D的坐标可得位似比为2：1，则面积比为4：1，据此求解.
2．（2023九上·越城期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可得△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行解答.
3．（2023九上·武义期末）如图，和是位似三角形，，的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 与 是位似图形，
∴ ，，
∴，
∴，
∴ ，
∵的面积为2，
∴的面积为18，
故答案为：D.
【分析】由题意可得△ABC∽△DEF，AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
4．（2023九上·凤翔期末）三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，把缩小为原来的，得到，
∵点A的坐标为，
∴点的坐标为或，
即点坐标为或，
故答案为：B.
【分析】给点A的横、纵坐标分别乘以或-就可得到点A′的坐标.
5．（2023九上·赵县期末）如图，在平面直角坐标系×Oy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），
∴
∵A（1，2），
∴C()
故答案为：B
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系
6．（2023九上·通川期末）在平面直角坐标系中，已知点，.若与关于点位似，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵与关于点O位似，且，
∴与的相似比为，
∵点E的坐标为，
∴点的坐标为或，
即或，
故答案为：C.
【分析】根据位似图形面积之比等于相似比的平方结合题意可得相似比为2：1，给点E的横纵坐标分别乘以2或-2可得点E′的坐标.
7．（2023九上·温州期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3．若AB=3，则DE的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE＝2：3．
∵AB＝3，
∴DE＝4.5．
故答案为：B.
【分析】位似图形就是特殊的相似图形，所以位似比等于相似比，进而利用相似三角形的性质即可求解．
8．（2022九上·聊城期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：点，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即，或者，即，
故答案为：．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
二、填空题
9．（2023九上·兴化期末）如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若，则点G的坐标为 .
【答案】(6，3)
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质以及位似图形的性质可得BC=AD=CD=6，BG∥CD，，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质可得OB、BG的值，进而可得点G的坐标.
10．（2022九上·包头期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为 ．
【答案】10
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为，
∴，即，
解得：．
故答案为：10．
【分析】利用位似图形的性质可得，即，再求出即可。
11．（2022九上·汽开区期末）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为6，则的周长是 ．
【答案】9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是位似图形，位似比为2：3，
∴和的相似比为3：2，
∴的周长的周长=9，
故答案为：9．
【分析】先求出和的相似比为3：2，再求出的周长的周长即可。
12．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6，
∴
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
三、解答题
13．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
14．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．
【答案】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为（3，1）
（2）解：如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，根据三角形逆时针向左旋转90°即可写出对应的中心点坐标。
（2）根据位似比，C2的坐标在第一象限或第四象限，根据位似中心确定相关的对应点，描点连线即可。
四、作图题
16．（2023九上·西安期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.
【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：
（0，-2）
（2）解：如图所示：即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接AA1、BB1并延长，交于一点，该点即为点P，结合点P的位置可得相应的坐标；
（2）连接AO、BO、CO并延长，使AO=A2O，BO=B2O，CO=C2O，然后顺次连接即可.
五、综合题
17．（2023九上·礼泉期末）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(-1，1)，B(2，3)，C(0，3).
（1）以原点O为位似中心，在x轴上方作△ABC的位似图形，与△ABC的相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为
（2）在(1)的条件下，写出点的坐标.
【答案】（1）解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
（2）解：点 的坐标为(-2，2).
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质及位似比为2：1，以O为位似中心，分别作出点A，B，C的对应点A′，B′，C′，然后画出△A′B′C′即可.
（2）利用（1）中的图形，写出点A′的坐标.
18．（2020九上·惠山月考）（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.
（1）点B的坐标为 ，△ABC的面积为 ；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为 .
（4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.
①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.
【答案】（1）；4
（2）解：如图，连接OA取，OA中点记作点 ，用同样的方法找到点 和点 ，就得到缩小后的 ；
（3）
（4）解：①如图，连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求，
根据平行四边形的性质，O是BD中点，
∴CO是 的中线，
∵E是CD中点，
∴BE也是 的中线，
根据三条中线交于一点，所以连接DG并延长，得到 的最后一条中线，则F是BC中点；
②如图，分别过点B、C作 的矩形对角线BD， 的矩形对角线CE，
， ，则直线BD与CE的交点F就是 的高所在直线的交点，
连接AF角BC于点H，线段AH就是所求的 的高.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）根据图上点B的位置，点B的坐标是 ，
，
故答案是： ，4；
（ 3 ）根据（2）中的做法，点 就是OP的中点，根据中点坐标公式得 ，
故答案是： ；
【分析】（1）根据点B在平面直角坐标系中的位置写出点B坐标，三角形ABC的面积，以AB为底，点C到AB的距离为高，求解；
（2）分别连接点O和点A、B、C，取它们的中点，构成 ；
（3）根据（2）的做法得到，点 就是QP的中点，用中点坐标公式求出点 的坐标；
（4）①连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求；②作 ， ，找到高的交点F，连接AF并延长交BC于点H，得到高AH.
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