2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得，
则，
故答案为：B.
【分析】首先利用勾股定理算出BC的长，进而根据余弦函数的定义即可求出cosB的值.
2．（2022九上·晋江期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长CB交网格于D，连接AD，如图所示：
则，
，，
的正切值；
故答案为：D.
【分析】延长CB交网格于D，连接AD，利用方格纸的特点易得∠ADC=90°，根据勾股定理算出AD、CD的长，进而根据正切函数的定义即可算出∠ACB的正切值.
3．（2022九上·寒亭期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：科学计算器计算，按键顺序是，
故答案为：D．
【分析】 根据科学计算器的使用方法知：按键顺序是.
4．（2022九上·龙口期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】由即可求出AC的长.
5．（2023九上·新邵期末）如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为h，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：，，
，
在中，，
，
故答案为：A.
【分析】由同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，由余弦函数的定义，由即可得出答案.
6．（2023九上·宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形位置如图放置，点分别在轴上，将逆时针旋转到，使得点落在y轴的负半轴上，连接，交轴于点.若，，则点D的纵坐标是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
即点D的纵坐标为 .
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质及正切三角函数的定义得OA=4，在Rt△AOB中利用勾股定理算出OB，根据旋转的性质得B'O=BO=5，可得AB'=9，由OD∥AB可推出△B'DO∽△B'BA，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
7．（2023九上·武功期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ，
∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠COD=90°，
∴∠COD=∠A，
又∵∠COD=∠BOE，
∴∠A=∠BOE，
∴sinA=sin∠DCE=sin∠BOE，
又∵，，，，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义得∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，根据同角的余角相等及对顶角相等得∠A=∠BOE=∠COD，进而根据等角的同名三角函数值相等得sinA=sin∠DCE=sin∠BOE，进而根据正弦函数的定义可得，据此一一判断得出答案.
8．（2022九上·舟山月考）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为，点B的对应点为点M，交于N，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，DH=b，
∴CH=2a-b，
∵ 将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为，点B的对应点为点M，
∴EH=CH=2a-b，DE=AE=×2a=a，∠BEH=∠C=90°，
在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2即a2+b2=（2a-b）2
解之：，
∵∠DEH+∠AEN=90°，∠AEN+∠DEH=90°，
∴∠ANE=∠DEH，
∴tan∠ANE=tan∠DEH=.
故答案为：C
【分析】设正方形的边长为2a，DH=b，可表示出CH的长，利用折叠的性质可表示出DE，AE的长及EH的长；利用勾股定理可用含a的代数式表示出b，再利用余角的性质可证得∠ANE=∠DEH，利用锐角三角函数的定义可求出AE与AN的比值.
二、填空题
9．（2023九上·义乌期末）如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，则的值是 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，点D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长，进而根据余弦函数的定义可求出答案.
10．（2021九上·岑溪期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5， ，则AC＝ .
【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，
又∵
∴
∵c＝5
∴
解得AC=4
故答案为：4.
【分析】 在Rt△ABC中 ，由sinB=，据此即可求出AC.
11．（2023九上·长兴期末）如图，在一张长方形纸片中， 点，分别是和的中点，点是上一点，将矩形的一角沿所在的直线翻折，点恰好落在上，若，则的长是 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，分别是和的中点，
∴，，
∵沿所在的直线翻折后得到，
∴， ，
在中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质以及中点的概念可得AE=BE=5，∠B=90°，由折叠的性质可得AB′=AB=10，∠B′=∠B=90°，易得∠AB′E=∠BAH=30°，据此不难求出BH的值.
12．（2023九上·越城期末）如图，在中，，.D是边BC的中点，点E在AB边上，将沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若时，则 .
【答案】4
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于，如图，
，
，
，
设，，
，
沿直线翻折得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
.
故答案为：4.
【分析】过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，根据三角函数的概念可设DG=3x，BD=5x，由勾股定理可得BG=4x，根据折叠的性质可得∠BDE=∠FDE，由平行线的性质得∠FDE=∠H，∠BDE=∠DBH，则∠H=∠DBH，推出DH=DB=5x，根据平行线分线段成比例的性质可得BE，证明△BDG∽△BAC，根据相似三角形的性质可得AB，由AE=AB-BE可得AE，据此求解.
13．（2023九上·武义期末）图1是一种折叠式晾衣架展开时的情况，图2是示意图，两个支脚和晾衣臂，张开夹角，晾衣臂支架.
（1）当时，的度数为 .
（2）当OC从水平方向旋转到时，的面积为 .
【答案】（1）30°
（2）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，过作于，则，
∵，，
∴是等边三角形，则，
∵OC从水平方向旋转到，
∴，，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过F作于K，
在中，，，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据三角函数的概念求出sin∠EGO的值，然后结合特殊角的三角函数值就可得到∠EGO的度数；
（2）过N作NP⊥OC于P，易得△AOB是等边三角形，由旋转的性质得FN=FH=4，∠FOC=∠B=60°，利用勾股定理可得ON的值，由余角的性质可得∠NOP=30°，则NP=ON，过F作FK⊥OH于K，根据含30°角的直角三角形的性质可得OK的值，利用勾股定理求出FK、KH的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
三、解答题
14．（2023九上·嵊州期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计 方案1 方案2
裁剪方案示意图
说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据 ，，，；
任务1：探寻边角 填空： ▲ ， ▲ ；
任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比；
任务3：应用实践 若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ .
【答案】解：任务1：15；；比较面积，
设与相交于点I，正方形的边长为a，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
解得；
设正方形边长为b，
∴，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，
正方形和正方形边长之比为；
任务3：
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：任务1：探寻边角，
作于H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
故答案为：15，；
任务3：应用实践，
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，即正方形的边长为；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，
同理
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，即正方形的边长为；
∵，
∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】任务1：作CH⊥AB于H，则四边形ADCH是矩形，CH=AD=9dm，AH=CD=2dm，BH=AB-AH=12dm，利用勾股定理可得BC，然后根据三角函数的概念进行解答；
任务二：设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为a，则tanB=，cosB=，根据∠CFI=∠B结合三角函数的概念可求出a的值；设正方形MNPQ边长为b，则∠B=∠MNA，根据三角函数的概念可得BN、AN，然后根据BN+AN=AB=14可求出b的值，据此解答；
任务3：在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m，则BE=8dm，BK=8-m，根据∠B正切函数的概念可得m的值，据此可得正方形EKJL的边长；在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n，同理可得n的值，据此解答.
15．（2023九上·平昌期末）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E.
①求证：△ABM∽△EMA.
②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值.
【答案】解：①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB，
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，
∴△ABM∽△EMA；
②解：∵△ABM∽△EMA，
∴∠E＝∠BAM，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，
∴sin∠BAM＝，
∴sinE＝.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】①根据矩形的性质可得∠B＝90°，AD∥BC，由平行线的性质可得∠EAM＝∠AMB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
②根据相似三角形的性质可得∠E＝∠BAM，利用勾股定理可得AM，然后根据三角函数的概念进行计算.
四、综合题
16．（2023九上·长兴期末）在和中，点在同一直线上，.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如果，，.
如图2，当时，求的长；
如图3，点是延长线上一点，且，连结，如果，求的值.
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
（2）解：如图，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
，，
，
；
如图所示，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
点是延长线上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CAB=∠CBE=∠EDB=90°，由同角的余角相等可得∠C=∠DBE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BFE，根据相似三角形的性质可得BF的值，然后根据AB=AD-BF-DF进行计算；
②过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BHE，根据相似三角形的性质求出BH、EH的值，证明△GAB∽△DHE，由相似三角形的性质求出DH的值，然后根据AB=AD-BH-DH求出AB的值，再根据三角函数的概念进行解答.
17．（2023九上·武义期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B， 然后以同样速度沿运动到点C停止.设当点E的运动时间为x秒时，长为y.下面是小聪的探究过程，请补充完整.
（1）根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长.
（2）小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
x 0 1 2 3 4 5
y 5 4.82 4.84 5.06 5.46 6
请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质.
（3）结合图象探究发现时，x有四个不同的值.求y取何值时，x有且仅有两个不同的值.
【答案】（1）解：∵四边形菱形，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形菱形，
∴，
∴点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，
在同一坐标系中补全图象如图，
这个函数的两条性质：
2 这个函数关于直线对称；
②这个函数的最大值为6；
（3）解：观察图象，当时，x有且仅有两个不同的值；
当y取最小值时，x也有且仅有两个不同的值，此时，或，
在中，，，
∴，
∴；
综上，当或时，x有且仅有两个不同的值
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得∠AOB=90°，根据三角函数的概念可求出OB的值，然后根据BD=2OB可得BD的值；
（2）易证△ABD≌△CBD，则点E在BC上的运动情况，与点E在AB上的运动情况对称，据此可补全图象，然后根据最值、对称性写出两条性质即可；
（3）观察图象：当51 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·晋江期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022九上·寒亭期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九上·龙口期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2023九上·新邵期末）如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为h，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形位置如图放置，点分别在轴上，将逆时针旋转到，使得点落在y轴的负半轴上，连接，交轴于点.若，，则点D的纵坐标是（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2023九上·武功期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示的式子为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·舟山月考）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为，点B的对应点为点M，交于N，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·义乌期末）如图，在中，，点D为边的中点，连接，若，则的值是 .
10．（2021九上·岑溪期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5， ，则AC＝ .
11．（2023九上·长兴期末）如图，在一张长方形纸片中， 点，分别是和的中点，点是上一点，将矩形的一角沿所在的直线翻折，点恰好落在上，若，则的长是 .
12．（2023九上·越城期末）如图，在中，，.D是边BC的中点，点E在AB边上，将沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若时，则 .
13．（2023九上·武义期末）图1是一种折叠式晾衣架展开时的情况，图2是示意图，两个支脚和晾衣臂，张开夹角，晾衣臂支架.
（1）当时，的度数为 .
（2）当OC从水平方向旋转到时，的面积为 .
三、解答题
14．（2023九上·嵊州期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计 方案1 方案2
裁剪方案示意图
说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据 ，，，；
任务1：探寻边角 填空： ▲ ， ▲ ；
任务2：比较面积 计算或推理：正方形和正方形边长之比；
任务3：应用实践 若在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ .
15．（2023九上·平昌期末）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E.
①求证：△ABM∽△EMA.
②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值.
四、综合题
16．（2023九上·长兴期末）在和中，点在同一直线上，.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如果，，.
如图2，当时，求的长；
如图3，点是延长线上一点，且，连结，如果，求的值.
17．（2023九上·武义期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B， 然后以同样速度沿运动到点C停止.设当点E的运动时间为x秒时，长为y.下面是小聪的探究过程，请补充完整.
（1）根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长.
（2）小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
x 0 1 2 3 4 5
y 5 4.82 4.84 5.06 5.46 6
请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质.
（3）结合图象探究发现时，x有四个不同的值.求y取何值时，x有且仅有两个不同的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得，
则，
故答案为：B.
【分析】首先利用勾股定理算出BC的长，进而根据余弦函数的定义即可求出cosB的值.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长CB交网格于D，连接AD，如图所示：
则，
，，
的正切值；
故答案为：D.
【分析】延长CB交网格于D，连接AD，利用方格纸的特点易得∠ADC=90°，根据勾股定理算出AD、CD的长，进而根据正切函数的定义即可算出∠ACB的正切值.
3．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：科学计算器计算，按键顺序是，
故答案为：D．
【分析】 根据科学计算器的使用方法知：按键顺序是.
4．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】由即可求出AC的长.
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：，，
，
在中，，
，
故答案为：A.
【分析】由同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，由余弦函数的定义，由即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
即点D的纵坐标为 .
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质及正切三角函数的定义得OA=4，在Rt△AOB中利用勾股定理算出OB，根据旋转的性质得B'O=BO=5，可得AB'=9，由OD∥AB可推出△B'DO∽△B'BA，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ，
∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠COD=90°，
∴∠COD=∠A，
又∵∠COD=∠BOE，
∴∠A=∠BOE，
∴sinA=sin∠DCE=sin∠BOE，
又∵，，，，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义得∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，根据同角的余角相等及对顶角相等得∠A=∠BOE=∠COD，进而根据等角的同名三角函数值相等得sinA=sin∠DCE=sin∠BOE，进而根据正弦函数的定义可得，据此一一判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，DH=b，
∴CH=2a-b，
∵ 将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为，点B的对应点为点M，
∴EH=CH=2a-b，DE=AE=×2a=a，∠BEH=∠C=90°，
在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2即a2+b2=（2a-b）2
解之：，
∵∠DEH+∠AEN=90°，∠AEN+∠DEH=90°，
∴∠ANE=∠DEH，
∴tan∠ANE=tan∠DEH=.
故答案为：C
【分析】设正方形的边长为2a，DH=b，可表示出CH的长，利用折叠的性质可表示出DE，AE的长及EH的长；利用勾股定理可用含a的代数式表示出b，再利用余角的性质可证得∠ANE=∠DEH，利用锐角三角函数的定义可求出AE与AN的比值.
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，点D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长，进而根据余弦函数的定义可求出答案.
10．【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，
又∵
∴
∵c＝5
∴
解得AC=4
故答案为：4.
【分析】 在Rt△ABC中 ，由sinB=，据此即可求出AC.
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，分别是和的中点，
∴，，
∵沿所在的直线翻折后得到，
∴， ，
在中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质以及中点的概念可得AE=BE=5，∠B=90°，由折叠的性质可得AB′=AB=10，∠B′=∠B=90°，易得∠AB′E=∠BAH=30°，据此不难求出BH的值.
12．【答案】4
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于，如图，
，
，
，
设，，
，
沿直线翻折得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
.
故答案为：4.
【分析】过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，根据三角函数的概念可设DG=3x，BD=5x，由勾股定理可得BG=4x，根据折叠的性质可得∠BDE=∠FDE，由平行线的性质得∠FDE=∠H，∠BDE=∠DBH，则∠H=∠DBH，推出DH=DB=5x，根据平行线分线段成比例的性质可得BE，证明△BDG∽△BAC，根据相似三角形的性质可得AB，由AE=AB-BE可得AE，据此求解.
13．【答案】（1）30°
（2）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，过作于，则，
∵，，
∴是等边三角形，则，
∵OC从水平方向旋转到，
∴，，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过F作于K，
在中，，，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据三角函数的概念求出sin∠EGO的值，然后结合特殊角的三角函数值就可得到∠EGO的度数；
（2）过N作NP⊥OC于P，易得△AOB是等边三角形，由旋转的性质得FN=FH=4，∠FOC=∠B=60°，利用勾股定理可得ON的值，由余角的性质可得∠NOP=30°，则NP=ON，过F作FK⊥OH于K，根据含30°角的直角三角形的性质可得OK的值，利用勾股定理求出FK、KH的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
14．【答案】解：任务1：15；；比较面积，
设与相交于点I，正方形的边长为a，
∵，
∴，，
在中，，，，
∴，
解得；
设正方形边长为b，
∴，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，
正方形和正方形边长之比为；
任务3：
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：任务1：探寻边角，
作于H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
，
故答案为：15，；
任务3：应用实践，
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为m，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，即正方形的边长为；
如图，在余料上再截取一个正方形，设正方形的边长为n，
同理
在中，，则，
在中，，则，
∴，
解得，即正方形的边长为；
∵，
∴在余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】任务1：作CH⊥AB于H，则四边形ADCH是矩形，CH=AD=9dm，AH=CD=2dm，BH=AB-AH=12dm，利用勾股定理可得BC，然后根据三角函数的概念进行解答；
任务二：设GF与CH相交于点I，正方形AEFG的边长为a，则tanB=，cosB=，根据∠CFI=∠B结合三角函数的概念可求出a的值；设正方形MNPQ边长为b，则∠B=∠MNA，根据三角函数的概念可得BN、AN，然后根据BN+AN=AB=14可求出b的值，据此解答；
任务3：在△BEF余料上再截取一个正方形EKJL，设正方形EKJL的边长为m，则BE=8dm，BK=8-m，根据∠B正切函数的概念可得m的值，据此可得正方形EKJL的边长；在△BEF余料上再截取一个正方形RSTU，设正方形RSTU的边长为n，同理可得n的值，据此解答.
15．【答案】解：①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB，
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，
∴△ABM∽△EMA；
②解：∵△ABM∽△EMA，
∴∠E＝∠BAM，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，
∴sin∠BAM＝，
∴sinE＝.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】①根据矩形的性质可得∠B＝90°，AD∥BC，由平行线的性质可得∠EAM＝∠AMB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
②根据相似三角形的性质可得∠E＝∠BAM，利用勾股定理可得AM，然后根据三角函数的概念进行计算.
16．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
（2）解：如图，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
，，
，
；
如图所示，过点作交于，
，，
，
由（1）同理可得：，
，
，，
，
点是延长线上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠CAB=∠CBE=∠EDB=90°，由同角的余角相等可得∠C=∠DBE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BFE，根据相似三角形的性质可得BF的值，然后根据AB=AD-BF-DF进行计算；
②过点E作EF⊥AD交AD于F，由（1）同理可得△CAB∽△BHE，根据相似三角形的性质求出BH、EH的值，证明△GAB∽△DHE，由相似三角形的性质求出DH的值，然后根据AB=AD-BH-DH求出AB的值，再根据三角函数的概念进行解答.
17．【答案】（1）解：∵四边形菱形，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形菱形，
∴，
∴点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，
在同一坐标系中补全图象如图，
这个函数的两条性质：
2 这个函数关于直线对称；
②这个函数的最大值为6；
（3）解：观察图象，当时，x有且仅有两个不同的值；
当y取最小值时，x也有且仅有两个不同的值，此时，或，
在中，，，
∴，
∴；
综上，当或时，x有且仅有两个不同的值
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得∠AOB=90°，根据三角函数的概念可求出OB的值，然后根据BD=2OB可得BD的值；
（2）易证△ABD≌△CBD，则点E在BC上的运动情况，与点E在AB上的运动情况对称，据此可补全图象，然后根据最值、对称性写出两条性质即可；
（3）观察图象：当51 / 1
