2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，若，，点是上一点，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：过D作，垂足为E
∵
∴
∵
∴，即
∴
∵，
∴
∵在中，，若，
∴
∵
∴，即
∴.
故答案为：B.
【分析】过D作DE⊥BC，垂足为E，由已知条件可得AD=3CD，结合AC=AD+CD=8可得CD、AD的值，由勾股定理可得BD、BC，然后根据三角函数的概念进行计算.
2．（2023九上·江北期末）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】根据正切函数的概念可求出AC的值，然后利用勾股定理进行计算.
3．（2023九上·徐州期末）如图，在中，，，，则的正弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
4．（2023九上·东阳期末）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解： 在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，
∴，
∵BD=BC=3，
∴AD=AB-BD=5-3=2，
由题意可得MN是线段AD的垂直平分线，
∴AF=AD=1，∠AFE=90°，
∵cosA=，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据线段的和差算出AD的长，根据线段垂直平分线的性质得AF=1，∠AFE=90°，进而根据余弦三角函数的定义可得cosA=，代入即可求出AE的长.
5．（2022九上·凤阳月考）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由，，可证，可得，从而得出，继而得出.
6．（2022九上·怀宁月考）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】，，
，
，
；
故正确的是B选项；
故答案为：B．
【分析】根据余角的性质可得，利用正弦函数的定义得，即可判断.
7．（2023九上·义乌期末）如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①∵，E为的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③过点E作于点M，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
故③正确；
④，
故④正确；
综上共有4个正确.
故答案为：D.
【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等边对等角及三角形外角性质得∠AED=∠EBF，从而根据同位角相等，两直线平行得BF∥ED，从而即可判断①；根据等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根据等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得BH=3FH，据此可判断②；过点E作EM⊥BF于点M，根据等腰三角形的三线合一得，根据等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFM∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM，再判断出△BHF∽△DFE，根据相似三角形对应边成比例可求出FH、BH，接着判断出△GFH∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出HG的长，最后根据正切三角函数的定义可求出tan∠GEB的值，据此可判断③；直接利用三角形面积计算公式算出△BFG的面积，可判断④.
8．（2022九上·渠县期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴ ，
∴PD2=PH CD，
∵PB=CD，
∴PD2=PH PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB sin60°=4× ，PM=PC sin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM= ，故④正确；
故答案为：B.
【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF=30°，于是得到∠CPD＝∠CDP＝75°，证得∠EDP＝∠PBD＝15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确．
②由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到，
故②错误；
③由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，结合PB＝CP，等量代换得到PD2＝PH PB，故③正确；
④过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，求得∠PCD＝30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB sin60°=4×，PM＝PC sin30°＝2，由平行线的性质得到∠EDP＝∠DPM，等量代换得到∠DBE＝∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=故④正确．
二、填空题
9．（2023九上·海曙期末）如图，已知，点P、A分别为射线、射线上的动点，将射线绕点P逆时针旋转交射线于点B，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：以为底作等腰且，过点B作垂直射线，过点O作，如图所示：
∵将射线绕点P逆时针旋转交射线于点B，
∴，
∴，，
∴点P、O、D、B在以点E为圆心的圆上，当时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
的最大值为
故答案为：.
【分析】以BP为底作等腰△BDP且PD=BD，过点B作BH垂直射线PD，过点O作OC⊥PD，根据旋转的性质可得∠BPA=∠PBD=30°，则∠BDP=120°，∠BDH=60°，推出点P、O、D、B在以点E为圆心的圆上，当OE⊥PD时，OC取得最大值，证明△AOC∽△ABH，得到，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EPB=∠EBP=30°，∠EPC=60°，则PD=2PC，根据三角函数的概念可得PE、EC、BH，据此求解.
10．（2023九上·吴兴期末）将一组完全一样的宽，高的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角的正切值为.
（1）求的长为 cm.
（2）若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则的长为 cm.
【答案】（1）2
（2）
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）由题意得：在中，
，，
∵，
∴
故答案为：2
（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的点，过作地面的垂线段，延长交地面于点，如图所示：
则，，，，，
若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则
在中，
，
设，则，根据勾股定理，得
，
∴，
解得：，
∴，，
中，
，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由题意得：在Rt△DE′F中，∠DFE′=90°，E′F=1，然后根据三角函数的概念进行计算；
（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，则∠BNM=90°，∠DC′P=90°，BM=5，∠MPN=α，C′D=1，设MN=k，BN=3k，由勾股定理可得k的值，据此可得MN、BN，根据三角函数的概念可得PN、PC′，利用勾股定理求出PD，然后根据BD=BP+PD进行计算.
11．（2023九上·沭阳期末）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角，交AC于点M，交BC于点N，则的值为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CPD=60°，
∴∠MPD=∠NCD，
∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴∠PDM=∠CDN=α，
∴△PDM∽△CDN，
∴，
在Rt△PCD中，∵，
∴.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=DB，由等腰三角形的性质可得∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，推出∠MPD=∠NCD，由旋转的性质可得∠PDM=∠CDN=α，证明△PDM∽△CDN，然后根据三角函数的概念以及相似三角形的性质进行解答.
12．（2023九上·嵊州期末）如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为 .
【答案】或
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
①当在线段上时，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
设中，边上的高为，则，
∴
∵，
即当时，
∴
解得：（负值舍去）
∴；
②当在的延长线上时，如图
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵的面积为，
∴四边形的面积为，
即
即
解得：或（，不合题意舍去）
∴，
故答案为：或.
【分析】根据矩形的性质可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根据三角函数的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①当E在线段AB上时，设AE=nBE，则，证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质可得AF，然后表示出AE，设△AFC中，AE边上的高为h，然后根据三角形的面积公式可得S△AFC，求出S△ABC，结合题意可得S△AFC=S△ABC，据此可求出n的值，进而可得AE；②当E在AB的延长线上时，同理求解即可.
13．（2023九上·永嘉期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 .
【答案】5
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，
∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴，
∴DQ+CQ的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】连接AC、AQ，根据正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，进而根据等角的同名三角函数值相等得∠ACB=∠PCO，则可判断出△BCP∽△ACQ，根据相似三角形的性质可求出AQ=2，故Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，再根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝QD，所以DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案.
三、解答题
14．（2022九上·潞城月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA =，CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值.
【答案】解：
∵，
∴
∵，，
∴
根据勾股定理可得
∴
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据，，求出AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再利用正切的定义可得。
15．（2022九上·杨浦期中）如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点D、E．求线段的长．
【答案】解：过A作 ，垂足为点H．
在 中，∵ ， ，
∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ 垂直平分 ，∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ．
∴ ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出AH和BH的长，再根据锐角三角函数定义求出CH的长，从而求出BC的长，再求出BE的长，利用CE=BC-BE，即可得出CE的长.
四、作图题
16．（2023九上·徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为；
（2）根据（1）的作图， .
【答案】（1）解：在y轴左侧，以O为位似中心，相似比为，
∴如图所示，
∴即为所求图形.
（2）
【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点B作于D，
∵，，，
∴，点A到的距离（高）是，
∴，且，
∴，即，
在中，，
∴，
∵是的相似图形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使AO=2A1O，BO=2B1O，CO=2C1O，然后顺次连接即可；
（2）过点B作BD⊥AC于D，求出BC、AC、AB的值，根据等面积法可求出BD的值，由勾股定理可得AD，根据相似图形的性质可得∠B1A1C1=∠A，然后根据三角函数的概念进行计算.
五、综合题
17．（2023九上·嵊州期末）如图，矩形中，，，点是射线上的动点，点是射线上的动点，满足.
（1）若点是的中点，求的长和的值.
（2）若是等腰三角形，求的长.
（3）若，点是射线上的点，满足，直接写出的长.
【答案】（1）解：∵矩形中，，，
∴，
∴，
当点E为的中点时，
，
∴，
∴；
过点F作，，连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：i当点E在线段上时，F在线段上时，
设，则，，，且()
①当时，如图所示：
∴，无解，不存在；
②当时，如图所示：
过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
解得：，不符合题意，舍去；
③当时，过点E作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：；
ii同理：当点E在射线上时，F在线段上时，
设，则，，，
方法类似：只有当BF=BE时，成立，如图所示：
∴，
解得：；
iii当点E在射线上时，F在射线上时，
设，则，，，，
①当时，如图所示：
∴，无解，不存在；
②当时，如图所示：
过点F作FG⊥AB，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
不符合题意，舍去；
③当时，过点E作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：，不符合题意；
综上可得：当或9时，是等腰三角形；
（3）解：的长为或3.2
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）如图所示：当点E、F在点B左侧，点P在点下方时，过点B作BG⊥PE，
∵，
∴，，
设，
则 ，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE，
同理解得：，故不存在；
当点E、F在点B右侧时，点P在点下方时，过点E作，
∵，
∴，，
设，
则 ，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
当点E、F在点B右侧时，点P在点上方时，过点E作，
同理解得：，故不存在；
综上可得：的长为或.
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC=6，利用勾股定理可得BD，当点E为AB的中点时， AE=BE=4，AE=DF=4，则BF=6，过点F作FG⊥AB，EH⊥BD，连接EF，则△ABD∽△GBF，△ABD∽△HBE，根据相似三角形的性质可得EH、FG，利用勾股定理求出BH，然后求出FH，再根据三角函数的概念进行计算；
（2）当点E在线段AB上时，F在线段BD上时，设AE=x，则BE=8-x，DF=x，BF=10-x，①当BE=BF时，无解；②当BF=EF时，过点E作EH⊥AB，证明△FBH∽△DBA，根据相似三角形的性质可得BH，然后表示出BE、AE，据此可求出x的值；③当BE=EF时，过点E作EG⊥BD，证明△ABD∽△GBE，然后根据相似三角形的性质可得x；同理可求出当点E在射线AB上时，F在线段BD上，对应的x的值；当点E在射线AB上时，F在射线BD上时， 同理求解即可；
（3）当点E、F在点B左侧，点P在点D下方时，过点B作BG⊥PE，则DF=AE=6，BE=2，设AP=x，则PE=，证明△EBG∽△EPA，根据相似三角形的性质可得BG、EG，然后表示出PG， 根据三角函数的概念可得x的值，进而可得DP；点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE，同理可得PA的值；当点E、F在点B右侧时，点P在点D下方时，过点E作EG⊥BP，同理求解即可.当点E、F在点B右侧时，点P在点D上方时，同理求解即可.
18．（2023九上·桂平期末）综合与时间
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.
（1）数学思考：请解答上述问题.
（2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若，，求的值.
（3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出的面积.
【答案】（1）解：，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴在中，，
∴.
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）连接，交于E，过点E作于H，如图所示：
四边形是矩形，且对角线交于E，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，
，，
，
，即，，即，
，，
又点是的中点，且，
是的中位线，
，
，
，
，
.
【分析】（1）BF=CG.理由：由正方形的性质可得，，从而推出，根据ASA证明△BEF≌△GEC，利用全等三角形的性质可得BF=CG；
（2）根据两角分别相等证明，可得，由，继而得出结论；
（3）连接，交于E，过点E作于H，利用勾股定理求出BD=10，根据矩形的性质可得，再证，可得，据此求出FC，EF的长，根据三角形中位线定理可得，利用勾股定理求出FH的长，从而求出GF的长，根据CG=CF-GF可可求出CG的长，再利用三角形的面积公式即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，若，，点是上一点，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023九上·江北期末）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2023九上·徐州期末）如图，在中，，，，则的正弦值为( )
A． B． C． D．
4．（2023九上·东阳期末）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2022九上·凤阳月考）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022九上·怀宁月考）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·义乌期末）如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022九上·渠县期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2023九上·海曙期末）如图，已知，点P、A分别为射线、射线上的动点，将射线绕点P逆时针旋转交射线于点B，则的最大值为 .
10．（2023九上·吴兴期末）将一组完全一样的宽，高的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角的正切值为.
（1）求的长为 cm.
（2）若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则的长为 cm.
11．（2023九上·沭阳期末）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角，交AC于点M，交BC于点N，则的值为 .
12．（2023九上·嵊州期末）如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为 .
13．（2023九上·永嘉期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 .
三、解答题
14．（2022九上·潞城月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA =，CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值.
15．（2022九上·杨浦期中）如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点D、E．求线段的长．
四、作图题
16．（2023九上·徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为；
（2）根据（1）的作图， .
五、综合题
17．（2023九上·嵊州期末）如图，矩形中，，，点是射线上的动点，点是射线上的动点，满足.
（1）若点是的中点，求的长和的值.
（2）若是等腰三角形，求的长.
（3）若，点是射线上的点，满足，直接写出的长.
18．（2023九上·桂平期末）综合与时间
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.
（1）数学思考：请解答上述问题.
（2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若，，求的值.
（3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：过D作，垂足为E
∵
∴
∵
∴，即
∴
∵，
∴
∵在中，，若，
∴
∵
∴，即
∴.
故答案为：B.
【分析】过D作DE⊥BC，垂足为E，由已知条件可得AD=3CD，结合AC=AD+CD=8可得CD、AD的值，由勾股定理可得BD、BC，然后根据三角函数的概念进行计算.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】根据正切函数的概念可求出AC的值，然后利用勾股定理进行计算.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解： 在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，
∴，
∵BD=BC=3，
∴AD=AB-BD=5-3=2，
由题意可得MN是线段AD的垂直平分线，
∴AF=AD=1，∠AFE=90°，
∵cosA=，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据线段的和差算出AD的长，根据线段垂直平分线的性质得AF=1，∠AFE=90°，进而根据余弦三角函数的定义可得cosA=，代入即可求出AE的长.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由，，可证，可得，从而得出，继而得出.
6．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】，，
，
，
；
故正确的是B选项；
故答案为：B．
【分析】根据余角的性质可得，利用正弦函数的定义得，即可判断.
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①∵，E为的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③过点E作于点M，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
故③正确；
④，
故④正确；
综上共有4个正确.
故答案为：D.
【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等边对等角及三角形外角性质得∠AED=∠EBF，从而根据同位角相等，两直线平行得BF∥ED，从而即可判断①；根据等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根据等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得BH=3FH，据此可判断②；过点E作EM⊥BF于点M，根据等腰三角形的三线合一得，根据等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFM∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM，再判断出△BHF∽△DFE，根据相似三角形对应边成比例可求出FH、BH，接着判断出△GFH∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出HG的长，最后根据正切三角函数的定义可求出tan∠GEB的值，据此可判断③；直接利用三角形面积计算公式算出△BFG的面积，可判断④.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴ ，
∴PD2=PH CD，
∵PB=CD，
∴PD2=PH PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB sin60°=4× ，PM=PC sin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM= ，故④正确；
故答案为：B.
【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF=30°，于是得到∠CPD＝∠CDP＝75°，证得∠EDP＝∠PBD＝15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确．
②由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到，
故②错误；
③由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，结合PB＝CP，等量代换得到PD2＝PH PB，故③正确；
④过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，求得∠PCD＝30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB sin60°=4×，PM＝PC sin30°＝2，由平行线的性质得到∠EDP＝∠DPM，等量代换得到∠DBE＝∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=故④正确．
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：以为底作等腰且，过点B作垂直射线，过点O作，如图所示：
∵将射线绕点P逆时针旋转交射线于点B，
∴，
∴，，
∴点P、O、D、B在以点E为圆心的圆上，当时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
的最大值为
故答案为：.
【分析】以BP为底作等腰△BDP且PD=BD，过点B作BH垂直射线PD，过点O作OC⊥PD，根据旋转的性质可得∠BPA=∠PBD=30°，则∠BDP=120°，∠BDH=60°，推出点P、O、D、B在以点E为圆心的圆上，当OE⊥PD时，OC取得最大值，证明△AOC∽△ABH，得到，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EPB=∠EBP=30°，∠EPC=60°，则PD=2PC，根据三角函数的概念可得PE、EC、BH，据此求解.
10．【答案】（1）2
（2）
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）由题意得：在中，
，，
∵，
∴
故答案为：2
（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的点，过作地面的垂线段，延长交地面于点，如图所示：
则，，，，，
若③号骨牌与地面的夹角的正切值为，则
在中，
，
设，则，根据勾股定理，得
，
∴，
解得：，
∴，，
中，
，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由题意得：在Rt△DE′F中，∠DFE′=90°，E′F=1，然后根据三角函数的概念进行计算；
（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，则∠BNM=90°，∠DC′P=90°，BM=5，∠MPN=α，C′D=1，设MN=k，BN=3k，由勾股定理可得k的值，据此可得MN、BN，根据三角函数的概念可得PN、PC′，利用勾股定理求出PD，然后根据BD=BP+PD进行计算.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CPD=60°，
∴∠MPD=∠NCD，
∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴∠PDM=∠CDN=α，
∴△PDM∽△CDN，
∴，
在Rt△PCD中，∵，
∴.
故答案为：.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=DB，由等腰三角形的性质可得∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，推出∠MPD=∠NCD，由旋转的性质可得∠PDM=∠CDN=α，证明△PDM∽△CDN，然后根据三角函数的概念以及相似三角形的性质进行解答.
12．【答案】或
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
①当在线段上时，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
设中，边上的高为，则，
∴
∵，
即当时，
∴
解得：（负值舍去）
∴；
②当在的延长线上时，如图
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵的面积为，
∴四边形的面积为，
即
即
解得：或（，不合题意舍去）
∴，
故答案为：或.
【分析】根据矩形的性质可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根据三角函数的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①当E在线段AB上时，设AE=nBE，则，证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质可得AF，然后表示出AE，设△AFC中，AE边上的高为h，然后根据三角形的面积公式可得S△AFC，求出S△ABC，结合题意可得S△AFC=S△ABC，据此可求出n的值，进而可得AE；②当E在AB的延长线上时，同理求解即可.
13．【答案】5
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，
∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴，
∴DQ+CQ的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】连接AC、AQ，根据正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，进而根据等角的同名三角函数值相等得∠ACB=∠PCO，则可判断出△BCP∽△ACQ，根据相似三角形的性质可求出AQ=2，故Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，再根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝QD，所以DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案.
14．【答案】解：
∵，
∴
∵，，
∴
根据勾股定理可得
∴
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据，，求出AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再利用正切的定义可得。
15．【答案】解：过A作 ，垂足为点H．
在 中，∵ ， ，
∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ 垂直平分 ，∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ．
∴ ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出AH和BH的长，再根据锐角三角函数定义求出CH的长，从而求出BC的长，再求出BE的长，利用CE=BC-BE，即可得出CE的长.
16．【答案】（1）解：在y轴左侧，以O为位似中心，相似比为，
∴如图所示，
∴即为所求图形.
（2）
【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点B作于D，
∵，，，
∴，点A到的距离（高）是，
∴，且，
∴，即，
在中，，
∴，
∵是的相似图形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使AO=2A1O，BO=2B1O，CO=2C1O，然后顺次连接即可；
（2）过点B作BD⊥AC于D，求出BC、AC、AB的值，根据等面积法可求出BD的值，由勾股定理可得AD，根据相似图形的性质可得∠B1A1C1=∠A，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．【答案】（1）解：∵矩形中，，，
∴，
∴，
当点E为的中点时，
，
∴，
∴；
过点F作，，连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：i当点E在线段上时，F在线段上时，
设，则，，，且()
①当时，如图所示：
∴，无解，不存在；
②当时，如图所示：
过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
解得：，不符合题意，舍去；
③当时，过点E作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：；
ii同理：当点E在射线上时，F在线段上时，
设，则，，，
方法类似：只有当BF=BE时，成立，如图所示：
∴，
解得：；
iii当点E在射线上时，F在射线上时，
设，则，，，，
①当时，如图所示：
∴，无解，不存在；
②当时，如图所示：
过点F作FG⊥AB，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
不符合题意，舍去；
③当时，过点E作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：，不符合题意；
综上可得：当或9时，是等腰三角形；
（3）解：的长为或3.2
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）如图所示：当点E、F在点B左侧，点P在点下方时，过点B作BG⊥PE，
∵，
∴，，
设，
则 ，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE，
同理解得：，故不存在；
当点E、F在点B右侧时，点P在点下方时，过点E作，
∵，
∴，，
设，
则 ，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
当点E、F在点B右侧时，点P在点上方时，过点E作，
同理解得：，故不存在；
综上可得：的长为或.
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC=6，利用勾股定理可得BD，当点E为AB的中点时， AE=BE=4，AE=DF=4，则BF=6，过点F作FG⊥AB，EH⊥BD，连接EF，则△ABD∽△GBF，△ABD∽△HBE，根据相似三角形的性质可得EH、FG，利用勾股定理求出BH，然后求出FH，再根据三角函数的概念进行计算；
（2）当点E在线段AB上时，F在线段BD上时，设AE=x，则BE=8-x，DF=x，BF=10-x，①当BE=BF时，无解；②当BF=EF时，过点E作EH⊥AB，证明△FBH∽△DBA，根据相似三角形的性质可得BH，然后表示出BE、AE，据此可求出x的值；③当BE=EF时，过点E作EG⊥BD，证明△ABD∽△GBE，然后根据相似三角形的性质可得x；同理可求出当点E在射线AB上时，F在线段BD上，对应的x的值；当点E在射线AB上时，F在射线BD上时， 同理求解即可；
（3）当点E、F在点B左侧，点P在点D下方时，过点B作BG⊥PE，则DF=AE=6，BE=2，设AP=x，则PE=，证明△EBG∽△EPA，根据相似三角形的性质可得BG、EG，然后表示出PG， 根据三角函数的概念可得x的值，进而可得DP；点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE，同理可得PA的值；当点E、F在点B右侧时，点P在点D下方时，过点E作EG⊥BP，同理求解即可.当点E、F在点B右侧时，点P在点D上方时，同理求解即可.
18．【答案】（1）解：，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴在中，，
∴.
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）连接，交于E，过点E作于H，如图所示：
四边形是矩形，且对角线交于E，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，
，，
，
，即，，即，
，，
又点是的中点，且，
是的中位线，
，
，
，
，
.
【分析】（1）BF=CG.理由：由正方形的性质可得，，从而推出，根据ASA证明△BEF≌△GEC，利用全等三角形的性质可得BF=CG；
（2）根据两角分别相等证明，可得，由，继而得出结论；
（3）连接，交于E，过点E作于H，利用勾股定理求出BD=10，根据矩形的性质可得，再证，可得，据此求出FC，EF的长，根据三角形中位线定理可得，利用勾股定理求出FH的长，从而求出GF的长，根据CG=CF-GF可可求出CG的长，再利用三角形的面积公式即可求解.
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