2023-2024学年初中数学九年级上册 4.2 正切 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值和二次根式的加法法则计算求解即可。
2．（2023·红河模拟）如图，某段河流的两岸互相平行，为测量此段的河宽（与河岸垂直），测得两点的距离为米，，则河宽的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，AC=m米，∠ACB=θ
根据正切定理得：
∴AB=m·tanθ
故答案为A。
【分析】根据直角三角形的锐角三角函数正切的定义可以得出。
3．（2023·德惠模拟）如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为，则B、C之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】平行线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得∠ABC=，
在Rt△ABC中，，
∴BC=，
故答案为：A
【分析】先根据平行线的性质得到∠ABC=，再运用正切值的定义即可求解。
4．（2023九下·上城月考）已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：是锐角，，
.
故答案为：B.
【分析】若α与β互余，则sinα=cosβ，据此解答.
5．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
6．（2023八下·确山期末）延时课上，王林用四根长度都为的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图2的图形，并测得，在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．长度不变，为 B．长度变小，减少
C．面积变小，减少 D．长度变大，增大
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：正方形ABCD的面积为4×4=16cm2，平行四边形ABCD的面积为4×4×sin60°=16×=cm2，
∴面积减少了(16-)cm2=8(2-)cm2，故C错误，符合题意.
AB的长度不变，为4cm，故A正确，不符合题意；
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴AC的长度减小了(-4)cm=4(-1)cm，故B正确，不符合题意；
正方形中BD的长为，平行四边形中BD的长度为2×4×cos30°=，
∴BD的长度变大，增大了(-)=4()cm，故D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】正方形ABCD的面积为4×4=16cm2，平行四边形ABCD的面积为4×4×sin60°=16×=cm2，据此判断C；AB的长度不变，为4cm，据此判断A；易得△ABC为等边三角形，则AC=AB=4，由勾股定理可得正方形ABCD中AC的长度，据此判断B；正方形中BD的长为，平行四边形中BD的长度为2×4×cos30°=，据此判断D.
7．（2023·杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AE=a，DE=b，
∵△ADE≌△BAF，
∴BF=AE=a，AF=DE=b，
∵，，，
∴，
∴（b-a）2=ab，
∴a2+b2=3ab，
∵a2+b2=AD2=S正方形ABCD，（b-a）2=EF2=S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD=ab∶3ab=1∶3，
∵S正方形EFGH∶S正方形ABCD=1∶n，
∴n=3.
故答案为：C.
【分析】设AE=a，DE=b，由全等三角形的对应边相等得BF=AE=a，AF=DE=b，根据正切函数的定义得，，结合可得（b-a）2=ab，化简得a2+b2=3ab，结合勾股定理及正方形的面积计算公式可求出S正方形EFGH∶S正方形ABCD=1∶3，从而此题得解.
8．（2023·河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点在原点上，OA边在轴的正半轴上，轴，，将四边形OABC绕点送时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵每次旋转90°，
∴每4次回到开始的位置.
∵2023=505×4+3，
∴第2023次旋转结束时，即为开始的位置绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形OA′B′C′，过C′作C′E⊥y轴，过B′作B′D⊥A′C′，
由旋转可得A′B′=B′C′=AB=BC=2，OA′=OC′，∠COA=∠C′OA′=60°，∠OAB=∠OA′B′=60°，
∴∠C′A′B′=30°，△OA′C′为等边三角形，
∴A′D=A′B′·cos30°=2×=，
∴A′C′=OC′=，
∴OE=OC′·cos60°=×=，EC′=OC′·sin60°=×=3，
∴C′（3，-）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：第2023次旋转结束时，即为开始的位置绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形OA′B′C′，过C′作C′E⊥y轴，过B′作B′D⊥A′C′，由旋转可得A′B′=B′C′=AB=BC=2，OA′=OC′，∠COA=∠C′OA′=60°，∠OAB=∠OA′B′=60°，推出∠C′A′B′=30°，△OA′C′为等边三角形，由三角函数的概念可得A′D，则A′C′=OC′=，再在Rt△OEC′，利用三角函数的概念求出OE、EC′，进而可得点C′的坐标.
二、填空题
9．（2023·巴中）如图，已知正方形和正方形，点在上，与交于点，，正方形的边长为，则的长为 ．
【答案】10
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠ABG+∠AGB=90°，∵AB=8，∴AG=4，∴GD=4，又∵四边形GBEF是正方形，∴∠BGF=90°，∴∠AGB+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠ABG，∴∴，∴CH=DC-DH=8-2=6，∴在Rt△BCH中，
故 第1空 答案为：10.
【分析】在直角三角形ABG中，根据正切的定义，可求得AG=4，又根据同角的余角相等，得出∠DGH=∠ABG，在直角三角形DHG中，根据正切的定义，求得DH=2，从而得出CH=6，然后在直角三角形BCH中，根据勾股定理求得BH的长即可。
10．（2023八下·玄武期末）如图，反比例函数的图像经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点.若，则点的坐标是 .
【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数的图象；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设菱形AOCB的边长为a，
∵∠A=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴A（ a，a），
∴C（a，a）.
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴a×a=，
∴a=2，
∴菱形的边长为2，
∴点D的纵坐标为2
将y=2代入y=中可得x=，
∴D（，2）.
故答案为：（，2）.
【分析】设菱形AOCB的边长为a，由题意可得△ABO为等边三角形，结合三角函数的概念可得A（ a，a），则C（a，a），代入反比例函数解析式中可得a的值，据此可得点D的纵坐标，然后代入反比例函数解析式中求出x的值，进而可得点D的坐标.
11．（2023·黄冈）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在x轴上取点D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，过C作CF⊥x轴于点F，
∵C（7，h），
∴OF=7，CH=h.
∵∠CEF=180°-∠AEC=60°，CF=h，
∴EF=h，CE==h，∠BAC=120°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=120°，
∴∠CAE=∠ABD.
∵AB=CA，
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AD=CE=h，AE=BD.
∵A（3，0），
∴OD=OA-AD=3-h.
∵∠BDO=180°-∠ADB=60°，
∴BD==6-h，
∴AE=BD=6-h.
∵OA+AE+EF=OF，
∴3+6-h+h=7，
解得h=.
故答案为：.
【分析】在x轴上取点D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，过C作CF⊥x轴于点F，根据点C的坐标可得OF=7，CH=h，由三角函数的概念可得EF、CE，利用AAS证明△CAE≌△ABD，得到AD=CE=h，AE=BD，则OD=OA-AD=3-h，由三角函数的概念可得BD，即为AE，然后根据OA+AE+EF=OF就可求出h的值.
12．（2023八下·武昌期末）已知一个菱形的边长是，一个内角为，则这个菱形的面积是 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2.
∵∠ABC=60°，
∴AM=AB·sin60°=，
∴菱形的面积为2×=cm2.
故答案为：.
【分析】连接AC，过A作AM⊥BC于点M，由菱形的性质可得AB=BC=2，根据三角函数的概念可得AM，然后由菱形的面积公式进行计算.
13．（2023·荆州）如图，∠AOB=60o，点C在OB上，OC=，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 ．
【答案】1
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设AP的延长线与OB交于点E.
由作图可得PE垂直平分OC，OP为∠AOB的平分线，则P到OA的距离等于P到OB的距离，
∴OE=OC=.
∵∠AOB=60°，
∴∠POC=30°，
∴PE=OE·tan30°=×=1，
∴P到OA的距离为1.
故答案为：1.
【分析】设AP的延长线与OB交于点E，由作图可得PE垂直平分OC，OP为∠AOB的平分线，则P到OA的距离等于P到OB的距离，OE=OC=，由角平分线的概念可得∠POC=30°，利用三角函数的概念可得PE，据此解答.
三、解答题
14．（2023七下·金溪期中）如图，在长方形 中，已知 为 上一点， 交 于点 ．若 ，长方形的周长为 ，且 ，求 的长．
【答案】解：四边形是长方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
解得：．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，再结合题中的已知，证出△AEF ≌ △DCE，可得出AE=DC，本题即可得到解决。
15．（2023·连云）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，.求的长及的值.
【答案】在菱形中，.
在Rt中，
为中点，
.
.
.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2AO；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出AD的长；再根据勾股定理即可求出OD；最后根据tan∠EDO=，求解tan∠EDO=.
四、计算题
16．（2023八下·朝阳期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案。
五、综合题
17．（2023·雅安）如图，已知，是对角线上两点，．
（1）求证：；
（2）若交的延长线于点，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
又∵，，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2）先根据题意得到，进而运用勾股定理即可求出BH，再运用锐角三角函数的定义结合平行四边形的面积即可求解。
18．（2023·安岳模拟）如图，我国某海域上有、两个小岛，在的正东方向．有一艘渔船在点处捕鱼，在岛测得渔船在东北方向上，在岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得、两处的距离为海里．
（1）求、两处的距离；
（2）突然，渔船发生故障，而滞留处等待救援．此时，在处巡逻的救援船立即以每小时海里的速度沿方向前往处，测得在小岛的北偏西方向上距岛海里处．求救援船到达处所用的时间（结果保留根号）．
【答案】（1）解：过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
即、两处的距离为海里．
（2）解：过点作于点，
由题意，可知，
又，
，，
又
在中，由勾股定理，得．
．
即救援船到达处需用小时．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)过点C作CE⊥AB于E点，可得∠CEA =∠CER =90°，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，进行计算即可解答；
(2) 过点作于点， 利用勾股定理求出CF的长，通过计算得出DF的长，再在Rt△ADF中利用勾股定理求出CD的长，进行计算即可解答。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 4.2 正切 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2023·红河模拟）如图，某段河流的两岸互相平行，为测量此段的河宽（与河岸垂直），测得两点的距离为米，，则河宽的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·德惠模拟）如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为，则B、C之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2023九下·上城月考）已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
5．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·确山期末）延时课上，王林用四根长度都为的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图2的图形，并测得，在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．长度不变，为 B．长度变小，减少
C．面积变小，减少 D．长度变大，增大
7．（2023·杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2023·河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点在原点上，OA边在轴的正半轴上，轴，，将四边形OABC绕点送时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·巴中）如图，已知正方形和正方形，点在上，与交于点，，正方形的边长为，则的长为 ．
10．（2023八下·玄武期末）如图，反比例函数的图像经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点.若，则点的坐标是 .
11．（2023·黄冈）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．
12．（2023八下·武昌期末）已知一个菱形的边长是，一个内角为，则这个菱形的面积是 ．
13．（2023·荆州）如图，∠AOB=60o，点C在OB上，OC=，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 ．
三、解答题
14．（2023七下·金溪期中）如图，在长方形 中，已知 为 上一点， 交 于点 ．若 ，长方形的周长为 ，且 ，求 的长．
15．（2023·连云）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，.求的长及的值.
四、计算题
16．（2023八下·朝阳期末）计算：．
五、综合题
17．（2023·雅安）如图，已知，是对角线上两点，．
（1）求证：；
（2）若交的延长线于点，，求的面积．
18．（2023·安岳模拟）如图，我国某海域上有、两个小岛，在的正东方向．有一艘渔船在点处捕鱼，在岛测得渔船在东北方向上，在岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得、两处的距离为海里．
（1）求、两处的距离；
（2）突然，渔船发生故障，而滞留处等待救援．此时，在处巡逻的救援船立即以每小时海里的速度沿方向前往处，测得在小岛的北偏西方向上距岛海里处．求救援船到达处所用的时间（结果保留根号）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值和二次根式的加法法则计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，AC=m米，∠ACB=θ
根据正切定理得：
∴AB=m·tanθ
故答案为A。
【分析】根据直角三角形的锐角三角函数正切的定义可以得出。
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得∠ABC=，
在Rt△ABC中，，
∴BC=，
故答案为：A
【分析】先根据平行线的性质得到∠ABC=，再运用正切值的定义即可求解。
4．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：是锐角，，
.
故答案为：B.
【分析】若α与β互余，则sinα=cosβ，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：正方形ABCD的面积为4×4=16cm2，平行四边形ABCD的面积为4×4×sin60°=16×=cm2，
∴面积减少了(16-)cm2=8(2-)cm2，故C错误，符合题意.
AB的长度不变，为4cm，故A正确，不符合题意；
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴AC的长度减小了(-4)cm=4(-1)cm，故B正确，不符合题意；
正方形中BD的长为，平行四边形中BD的长度为2×4×cos30°=，
∴BD的长度变大，增大了(-)=4()cm，故D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】正方形ABCD的面积为4×4=16cm2，平行四边形ABCD的面积为4×4×sin60°=16×=cm2，据此判断C；AB的长度不变，为4cm，据此判断A；易得△ABC为等边三角形，则AC=AB=4，由勾股定理可得正方形ABCD中AC的长度，据此判断B；正方形中BD的长为，平行四边形中BD的长度为2×4×cos30°=，据此判断D.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AE=a，DE=b，
∵△ADE≌△BAF，
∴BF=AE=a，AF=DE=b，
∵，，，
∴，
∴（b-a）2=ab，
∴a2+b2=3ab，
∵a2+b2=AD2=S正方形ABCD，（b-a）2=EF2=S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD=ab∶3ab=1∶3，
∵S正方形EFGH∶S正方形ABCD=1∶n，
∴n=3.
故答案为：C.
【分析】设AE=a，DE=b，由全等三角形的对应边相等得BF=AE=a，AF=DE=b，根据正切函数的定义得，，结合可得（b-a）2=ab，化简得a2+b2=3ab，结合勾股定理及正方形的面积计算公式可求出S正方形EFGH∶S正方形ABCD=1∶3，从而此题得解.
8．【答案】B
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵每次旋转90°，
∴每4次回到开始的位置.
∵2023=505×4+3，
∴第2023次旋转结束时，即为开始的位置绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形OA′B′C′，过C′作C′E⊥y轴，过B′作B′D⊥A′C′，
由旋转可得A′B′=B′C′=AB=BC=2，OA′=OC′，∠COA=∠C′OA′=60°，∠OAB=∠OA′B′=60°，
∴∠C′A′B′=30°，△OA′C′为等边三角形，
∴A′D=A′B′·cos30°=2×=，
∴A′C′=OC′=，
∴OE=OC′·cos60°=×=，EC′=OC′·sin60°=×=3，
∴C′（3，-）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：第2023次旋转结束时，即为开始的位置绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形OA′B′C′，过C′作C′E⊥y轴，过B′作B′D⊥A′C′，由旋转可得A′B′=B′C′=AB=BC=2，OA′=OC′，∠COA=∠C′OA′=60°，∠OAB=∠OA′B′=60°，推出∠C′A′B′=30°，△OA′C′为等边三角形，由三角函数的概念可得A′D，则A′C′=OC′=，再在Rt△OEC′，利用三角函数的概念求出OE、EC′，进而可得点C′的坐标.
9．【答案】10
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠ABG+∠AGB=90°，∵AB=8，∴AG=4，∴GD=4，又∵四边形GBEF是正方形，∴∠BGF=90°，∴∠AGB+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠ABG，∴∴，∴CH=DC-DH=8-2=6，∴在Rt△BCH中，
故 第1空 答案为：10.
【分析】在直角三角形ABG中，根据正切的定义，可求得AG=4，又根据同角的余角相等，得出∠DGH=∠ABG，在直角三角形DHG中，根据正切的定义，求得DH=2，从而得出CH=6，然后在直角三角形BCH中，根据勾股定理求得BH的长即可。
10．【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数的图象；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设菱形AOCB的边长为a，
∵∠A=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴A（ a，a），
∴C（a，a）.
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴a×a=，
∴a=2，
∴菱形的边长为2，
∴点D的纵坐标为2
将y=2代入y=中可得x=，
∴D（，2）.
故答案为：（，2）.
【分析】设菱形AOCB的边长为a，由题意可得△ABO为等边三角形，结合三角函数的概念可得A（ a，a），则C（a，a），代入反比例函数解析式中可得a的值，据此可得点D的纵坐标，然后代入反比例函数解析式中求出x的值，进而可得点D的坐标.
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在x轴上取点D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，过C作CF⊥x轴于点F，
∵C（7，h），
∴OF=7，CH=h.
∵∠CEF=180°-∠AEC=60°，CF=h，
∴EF=h，CE==h，∠BAC=120°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=120°，
∴∠CAE=∠ABD.
∵AB=CA，
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AD=CE=h，AE=BD.
∵A（3，0），
∴OD=OA-AD=3-h.
∵∠BDO=180°-∠ADB=60°，
∴BD==6-h，
∴AE=BD=6-h.
∵OA+AE+EF=OF，
∴3+6-h+h=7，
解得h=.
故答案为：.
【分析】在x轴上取点D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，过C作CF⊥x轴于点F，根据点C的坐标可得OF=7，CH=h，由三角函数的概念可得EF、CE，利用AAS证明△CAE≌△ABD，得到AD=CE=h，AE=BD，则OD=OA-AD=3-h，由三角函数的概念可得BD，即为AE，然后根据OA+AE+EF=OF就可求出h的值.
12．【答案】
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2.
∵∠ABC=60°，
∴AM=AB·sin60°=，
∴菱形的面积为2×=cm2.
故答案为：.
【分析】连接AC，过A作AM⊥BC于点M，由菱形的性质可得AB=BC=2，根据三角函数的概念可得AM，然后由菱形的面积公式进行计算.
13．【答案】1
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设AP的延长线与OB交于点E.
由作图可得PE垂直平分OC，OP为∠AOB的平分线，则P到OA的距离等于P到OB的距离，
∴OE=OC=.
∵∠AOB=60°，
∴∠POC=30°，
∴PE=OE·tan30°=×=1，
∴P到OA的距离为1.
故答案为：1.
【分析】设AP的延长线与OB交于点E，由作图可得PE垂直平分OC，OP为∠AOB的平分线，则P到OA的距离等于P到OB的距离，OE=OC=，由角平分线的概念可得∠POC=30°，利用三角函数的概念可得PE，据此解答.
14．【答案】解：四边形是长方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
解得：．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，再结合题中的已知，证出△AEF ≌ △DCE，可得出AE=DC，本题即可得到解决。
15．【答案】在菱形中，.
在Rt中，
为中点，
.
.
.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC=2AO；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出AD的长；再根据勾股定理即可求出OD；最后根据tan∠EDO=，求解tan∠EDO=.
16．【答案】解：
．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案。
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
又∵，，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2）先根据题意得到，进而运用勾股定理即可求出BH，再运用锐角三角函数的定义结合平行四边形的面积即可求解。
18．【答案】（1）解：过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
即、两处的距离为海里．
（2）解：过点作于点，
由题意，可知，
又，
，，
又
在中，由勾股定理，得．
．
即救援船到达处需用小时．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)过点C作CE⊥AB于E点，可得∠CEA =∠CER =90°，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，进行计算即可解答；
(2) 过点作于点， 利用勾股定理求出CF的长，通过计算得出DF的长，再在Rt△ADF中利用勾股定理求出CD的长，进行计算即可解答。
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