2023-2024学年初中数学九年级上册 4.2 正切 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·鄠邑期末）如图，在中，，，是腰上的高，则的长（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·包头）下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·农安模拟）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
4．（2023·九台模拟）已知，如图，点A是直线上一点，过点A作x轴平行线，与反比例函数交于点B，以为边向下作，点C恰好在轴上，且，，若的面积为，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2023·嘉兴）如图，已知矩形纸片ABCD，其中，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．
则DH的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·海南期中）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·深圳期末）如图，在矩形ABCD中，.把AD沿AE折叠，使点恰好落在AB边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点.设交AB于点，连接.有如下结论：①；②的长度是；③；④.上述结论中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·黄冈）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
9．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
10．（2023·菏泽）计算： ．
11．（2023·山西）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．
12．（2023八下·金平期末）如图，在中，斜边，，的垂直平分线分别交、于点E、点D，连接，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
13．（2023八下·上虞期末）如图，在中，，点D为边的中点，点E在边上，，将沿BE折叠至，当时，则 ．
三、解答题
14．（2023·广东模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC ，垂足是点D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
15．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
四、综合题
16．（2023八下·德清期末）已知菱形ABCD和等边△CEF，∠ABC=60°，
（1）当E，F分别在CA，CB的延长线上时(如图1)，连结AF，DE.
①求证：AF=DE：
②连结DF，交AB于点N(如图2)，取AE的中点M，连结MN.若AE=4C=3，求MN的长：
（2）当点F在DA的延长线上时(如图3)，连结AE，DE，分别取AE，DF的中点M，N，连结MN.若AC=2，CE=，求MN的长，
17．（2023八下·龙岗月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个，的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片中，，，．
（1）如图1，将一个与全等的沿较长的直角边重合，拼成一个四边形．
①求证：四边形是平行四边形；
②连接交于点，求的面积；
（2）在（1）的条件下，将一条直角边与重合的等腰直角三角形卡片与四边形拼成如图2所示的平面图形，请求出点到的距离；
（3）一个斜边长度与相等的三角板（，）如图3摆放，将绕点Ａ顺时针旋转，旋转角为，旋转后的三角形记为．在旋转过程中，直线所在的直线与直线，交于，两点，当为等腰三角形时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠BCA=15°，
∴∠CAD=∠B+∠BCA=30°，
∴CD=AC=2.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠BCA=15°，根据三角形外角的性质可得∠CAD=∠B+∠BCA=30°，由含30°角的直角三角形的性质就可求出CD的长.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵小正方形的面积为1， 大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长是1，大正方形的边长是5，
设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
由勾股定理得，a2+（a+1）2=52，
解得，a1=3，a2=-4（舍去），
∴a=3，
∴.
故答案为：D.
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为ā+1，利用勾股定理得到关于a的方程，解方程求出直角三角形的两个直角边的长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosα的值.
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
由矩形的性质得AD=CE=1.4，AE=CD=100，
∴，
∴BE=，
∴=，
故答案为：A
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，先根据矩形的性质得到AD=CE=1.4，AE=CD=100，再根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作DC⊥AB于点D，设DC=m，
∵，AB平行x轴，
∴∠OCA=∠BAC=30°，
∴，
∵，
∴CD=BD=m，
∴，
∴m=2，
∴
∴k=，
故答案为：A
【分析】过点C作DC⊥AB于点D，设DC=m，先根据平行线的性质得到∠OCA=∠BAC=30°，再根据锐角三角函数的定义结合等腰三角形的性质、三角形的面积公式即可得到，进而即可得到m的值，再而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥BD于点G，
由折叠可得BE=EC=EH=BC=2，
∴△BEH为等腰三角形，
∴BG=GH.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=3，
∴tan∠DBC=，
设EG=3x，则BG=4x.
∵在Rt△BEG中，EG2+BG2=BE2，
∴9x2+16x2=4，
解得x=，
∴BG=4x=，
∴BH=2BG=.
∵BC=4，CD=3，
∴BD==5，
∴DH=BD-BH=5-=.
故答案为：D.
【分析】过点E作EG⊥BD于点G，由折叠可得BE=EC=EH=BC=2，则△BEH为等腰三角形，BG=GH，根据矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD=3，利用勾股定理可得BD的值，根据锐角三角函数的概念可得tan∠DBC=，设EG=3x，则BG=4x，在Rt△BEG中，由勾股定理可得x的值，据此可得BG，然后求出BH，再根据DH=BD-BH进行计算.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB==，AC==5，BC==，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
∴sin∠ACB==.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可得AB、AC、BC的值，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠B=90°，利用三角函数的概念求出sin∠ACB的值，据此判断.
7．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】 【解答】解：由折叠可知∠D=∠ADE'=90°，AD=AD'. ∴四边形ABCD为正方形，得到：AD'=AD=DE'=DE=，AE=，∠EAD'=AED'=45°，∠AEA'=45°.
.
∴∠AEF=45°+30°=75°，故①正确.
∵D'B=2，∴点F为BD'的中点，DF'=BF=1，得到EF=2.
将△AED′绕点E顺时针旋转α.
∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝a，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，A'F=，故②正确.
∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°.
∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°.
∴∠A'AF＝7.5°，故③正确.
∵D'E＝D''E，EG＝EG.
∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL）.
∴∠D'GE＝∠D''GE.
∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝=75°+30°=105°.
∴∠D'GE＝=52.5°＝∠AA'F.
又∵∠AFA'＝∠EFG.
∴△AFA'∽△EFG，故④正确.
故答案为：D.
【分析】①选项运用图形的折叠知道角相等、线段相等，由题意可知能够得到∠FED的正切值，计算出角AEF的度数，②根据翻折得到线段AE的长度，利用正方形的性质得到AF的长度，③利用正方形的性质与判定，求出其他各个角度，再用角的转化，求出∠A'AF度数④需要证明两个Rt△ED'G≌Rt△ED''G直角三角形全等，角相等，再利用相似三角形的性质得出△AFA'∽△EFG相似.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过R作RK⊥BD于点K，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，∠BCD=90°.
∵CN⊥BM，
∴∠CMB=∠CDN=90°，
∴∠CBM+∠BCM=90°，∠BCM+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BMC∽△CDN，
∴，
∴BM·CN=CD·CB=12.
∵∠BCD=90°，CD=3，BC=4，
∴BD=5.
由作图可得BP平分∠CBD.
∵RK⊥BD，RC⊥BC，
∴RK=RC.
∵S△BCD=S△BDR+S△BCR，
∴×3×4=×5·RK+×4×RC，
∴RC=RK=，
∴BR==.
∵cos∠CBR=，
∴，
∴BM=，
∴CN·BM=12，
∴CN=.
故答案为：A.
【分析】过R作RK⊥BD于点K，由矩形的性质可得 AB=CD=3，∠BCD=90°，根据同角的余角相等可得∠CBM=∠DCN，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BMC∽△CDN，根据相似三角形的性质可得BM·CN=CD·CB=12，由勾股定理可得BD=5，由作图可得BP平分∠CBD，则RK=RC，根据S△BCD=S△BDR+S△BCR结合三角形的面积公式可得RC=RK=，由勾股定理可得BR，利用三角函数的概念可得BM，据此求解.
9．【答案】或
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，AB=2，A（1，0），∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边上的高为2×sin60°=，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴C1的坐标为（1-，3）或（1+，-3）.
故答案为：（1-，3）或（1+，-3）.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD=2，根据三角函数的概念可得AB边上的高为2×sin60°=，据此不难得到点C1的坐标.
10．【答案】1
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：1
【分析】根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂进行运算，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解： 在中， ，AD∥BC，
∴∠ABC=∠D=60°，
由作图知AB=BE，BP平分∠ABE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABO=∠EBO=30°，
∴AO=BO，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBO=30°，
在Rt△FAO中，∠AFO=30°，
∴tan∠AFO=tan30°==，
∴OF：OE=OF：OA=；
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠D=60°，AD∥BC，结合作图可得∠ABO=∠EBO=30°，AO=BO，由平行线的性质可得∠AFB=∠EBO=30°，根据tan∠AFO=tan30°==即可求解.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接EM，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°.
∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴BD为∠ABC的平分线，
∴DE=DC.
∵DE=DC，∠ABD=∠DBC=30°，∠DEB=∠C=90°，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BC=BE.
∵BC=BE，∠EBD=∠DBC，BM=BM，
∴△BEM≌△BCM（SAS），
∴CM=EM，
∴CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，
∴EN=BE·sin60°=2×=.
故答案为：.
【分析】连接EM，由内角和定理可得∠ABC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，则∠ABD=∠A=30°，∠ABD=∠DBC=30°，推出BD为∠ABC的平分线，得到DE=DC，利用AAS证明△BED≌△BCD，得到BC=BE，然后利用SAS证明△BEM≌△BCM，得到CM=EM，则CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，接下来根据三角函数的概念计算即可.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长C′E交BC的延长线于点F，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCB=∠DBC.
∵C′E∥CD，
∴∠F=∠DCB，
∴∠F=∠DBC.
设CE=x，则AC=x+2.
由折叠得BC′=BC=2，C′E=CE=x，
∵tanF=tan∠ABC，
∴，
∴，
∴CF=，
∴BF=BC+CF=.
∵sinF=，
∴，
∴EF=.
∵CE2+CF2=EF2，
∴x2+()2=()2，
∴x=，
∴BE==.
故答案为：.
【分析】延长C′E交BC的延长线于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=BD，则∠DCB=∠DBC，由平行线的性质可得∠F=∠DCB，则∠F=∠DBC，设CE=x，则AC=x+2，由折叠得BC′=BC=2，C′E=CE=x，根据三角函数的概念可得CF、EF，然后在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x的值，接下来在Rt△BCE中，利用勾股定理就可求出BE的值.
14．【答案】解：在Rt△ABD中，=
∴BD=AD·×
∴
∴sinC=
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用三角函数的定义，直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值；直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与直角三角形斜边的比值；直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方的和。
15．【答案】解：
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
16．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC
∵∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=CD=AD
∵△CEF是等边三角形，
∴∠FCA=∠ECD=60°，FC=EC .
∴△FCA≌△ECD
∴AF=ED
②连结EB，
∵AE=AC=3，CE=CF， CA=CB=AD
∴AD=BF=BC=3， CE=6
∵AD// BC
∴∠DAN=∠FBN，∠ADN=∠BFN
∴△AND≌△BNF
∴AN=BN
∵M是AE中点
∴MN是△EAB的中位线
，
∵△CEF是等边三角形，BF=BC
∴BE⊥FC，
（2）解：过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN，
∵△ACD是等边三角形，
∵∠FCE=∠ACD=60°
∴∠FCA=∠ECD
又∵CA=CD，CF=CE，
∴△FCA≌△ECD
∴AF= DE
∵QM是△EFA的中位线，QN是△EFD的中位线
∴QM=QN
∵∠F4C=∠EDC=180°-∠CAD=120°
∴∠FDE= 120°-∠ADC=60°
∵QN// DE
∴∠FNQ=∠FDE=60°
∵QM// AF
∴∠MQN=∠FNQ=60°
∴△QMN是等边三角形，
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）①由菱形的性质可得AB=BC，则△ABC是等边三角形，AC=BC=CD=AD，∠FCA=∠ECD=60°，FC=EC ，利用SAS证明△FCA≌△ECD，据此可得结论；
②连结EB，易得AD=BF=BC=3， CE=6，由平行线的性质可得∠DAN=∠FBN，∠ADN=∠BFN，利用ASA证明△AND≌△BNF，得到AN=BN，由题意可得MN是△EAB的中位线，则MN=EB，由等边三角形的性质可得BE⊥FC，利用勾股定理可得EB，据此解答；
（2）过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN，由三角函数的概念可得CG、AG，由勾股定理可得FG，利用SAS证明△FCA≌△ECD，得到AF= DE，根据中位线的性质可推出QM=QN，由平行线的性质可得∠FNQ=∠FDE=60°，∠MQN=∠FNQ=60°，推出△QMN是等边三角形，据此求解.
17．【答案】（1）解：①由题意可知：，
∴，
∴四边形是平行四边形．
②∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
（2）解：过点C作交于点M，作，交延长线于点N，如图，
∵等腰，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即点E到的距离为：．
（3）解：，或
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3），或．
①当时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
由旋转性质可得：，
即；
②当时，
∵，
∴，
∵∠，
∴，
∵，
∴，
∴．
③当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
④当时，此时，所以不需要讨论．
【分析】）（1）①由题意可知△ABD≌△CDB，则AD=BC，AB=CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
②易得BD=，根据平行四边形的性质可得OD=BD=，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，作EN⊥CM，交MC延长线于点N，由等腰直角三角形的性质可得AC=CE，∠ACE=90°=∠M=∠N，利用AAS证明△ACM≌△CEN，得到AM=CN，易得BM、CM的值，然后求出AB，据此解答；
（3）①当QP=QB时，∠QPB=∠B=30°，∠AQP=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得AE=1，由旋转性质可得AE′=AE=1，然后根据三角函数的概念可得E′Q；②当BQ=BP时，∠2=∠BQP=∠BPQ=15°，∠1=∠2，AD′=QD′=2，据此求解；③当BQ=BP时，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BQP∽△AQD′，则∠BPQ=∠BQP=∠D′QA=∠D′AQ，据此求解.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 4.2 正切 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023八下·鄠邑期末）如图，在中，，，是腰上的高，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠BCA=15°，
∴∠CAD=∠B+∠BCA=30°，
∴CD=AC=2.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠BCA=15°，根据三角形外角的性质可得∠CAD=∠B+∠BCA=30°，由含30°角的直角三角形的性质就可求出CD的长.
2．（2023·包头）下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵小正方形的面积为1， 大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长是1，大正方形的边长是5，
设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
由勾股定理得，a2+（a+1）2=52，
解得，a1=3，a2=-4（舍去），
∴a=3，
∴.
故答案为：D.
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为ā+1，利用勾股定理得到关于a的方程，解方程求出直角三角形的两个直角边的长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosα的值.
3．（2023·农安模拟）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
由矩形的性质得AD=CE=1.4，AE=CD=100，
∴，
∴BE=，
∴=，
故答案为：A
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，先根据矩形的性质得到AD=CE=1.4，AE=CD=100，再根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
4．（2023·九台模拟）已知，如图，点A是直线上一点，过点A作x轴平行线，与反比例函数交于点B，以为边向下作，点C恰好在轴上，且，，若的面积为，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作DC⊥AB于点D，设DC=m，
∵，AB平行x轴，
∴∠OCA=∠BAC=30°，
∴，
∵，
∴CD=BD=m，
∴，
∴m=2，
∴
∴k=，
故答案为：A
【分析】过点C作DC⊥AB于点D，设DC=m，先根据平行线的性质得到∠OCA=∠BAC=30°，再根据锐角三角函数的定义结合等腰三角形的性质、三角形的面积公式即可得到，进而即可得到m的值，再而即可求解。
5．（2023·嘉兴）如图，已知矩形纸片ABCD，其中，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．
则DH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥BD于点G，
由折叠可得BE=EC=EH=BC=2，
∴△BEH为等腰三角形，
∴BG=GH.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=3，
∴tan∠DBC=，
设EG=3x，则BG=4x.
∵在Rt△BEG中，EG2+BG2=BE2，
∴9x2+16x2=4，
解得x=，
∴BG=4x=，
∴BH=2BG=.
∵BC=4，CD=3，
∴BD==5，
∴DH=BD-BH=5-=.
故答案为：D.
【分析】过点E作EG⊥BD于点G，由折叠可得BE=EC=EH=BC=2，则△BEH为等腰三角形，BG=GH，根据矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD=3，利用勾股定理可得BD的值，根据锐角三角函数的概念可得tan∠DBC=，设EG=3x，则BG=4x，在Rt△BEG中，由勾股定理可得x的值，据此可得BG，然后求出BH，再根据DH=BD-BH进行计算.
6．（2023八下·海南期中）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB==，AC==5，BC==，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
∴sin∠ACB==.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可得AB、AC、BC的值，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠B=90°，利用三角函数的概念求出sin∠ACB的值，据此判断.
7．（2023八下·深圳期末）如图，在矩形ABCD中，.把AD沿AE折叠，使点恰好落在AB边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点.设交AB于点，连接.有如下结论：①；②的长度是；③；④.上述结论中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】 【解答】解：由折叠可知∠D=∠ADE'=90°，AD=AD'. ∴四边形ABCD为正方形，得到：AD'=AD=DE'=DE=，AE=，∠EAD'=AED'=45°，∠AEA'=45°.
.
∴∠AEF=45°+30°=75°，故①正确.
∵D'B=2，∴点F为BD'的中点，DF'=BF=1，得到EF=2.
将△AED′绕点E顺时针旋转α.
∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝a，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，A'F=，故②正确.
∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°.
∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°.
∴∠A'AF＝7.5°，故③正确.
∵D'E＝D''E，EG＝EG.
∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL）.
∴∠D'GE＝∠D''GE.
∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝=75°+30°=105°.
∴∠D'GE＝=52.5°＝∠AA'F.
又∵∠AFA'＝∠EFG.
∴△AFA'∽△EFG，故④正确.
故答案为：D.
【分析】①选项运用图形的折叠知道角相等、线段相等，由题意可知能够得到∠FED的正切值，计算出角AEF的度数，②根据翻折得到线段AE的长度，利用正方形的性质得到AF的长度，③利用正方形的性质与判定，求出其他各个角度，再用角的转化，求出∠A'AF度数④需要证明两个Rt△ED'G≌Rt△ED''G直角三角形全等，角相等，再利用相似三角形的性质得出△AFA'∽△EFG相似.
8．（2023·黄冈）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过R作RK⊥BD于点K，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，∠BCD=90°.
∵CN⊥BM，
∴∠CMB=∠CDN=90°，
∴∠CBM+∠BCM=90°，∠BCM+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BMC∽△CDN，
∴，
∴BM·CN=CD·CB=12.
∵∠BCD=90°，CD=3，BC=4，
∴BD=5.
由作图可得BP平分∠CBD.
∵RK⊥BD，RC⊥BC，
∴RK=RC.
∵S△BCD=S△BDR+S△BCR，
∴×3×4=×5·RK+×4×RC，
∴RC=RK=，
∴BR==.
∵cos∠CBR=，
∴，
∴BM=，
∴CN·BM=12，
∴CN=.
故答案为：A.
【分析】过R作RK⊥BD于点K，由矩形的性质可得 AB=CD=3，∠BCD=90°，根据同角的余角相等可得∠CBM=∠DCN，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BMC∽△CDN，根据相似三角形的性质可得BM·CN=CD·CB=12，由勾股定理可得BD=5，由作图可得BP平分∠CBD，则RK=RC，根据S△BCD=S△BDR+S△BCR结合三角形的面积公式可得RC=RK=，由勾股定理可得BR，利用三角函数的概念可得BM，据此求解.
二、填空题
9．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，AB=2，A（1，0），∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边上的高为2×sin60°=，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴C1的坐标为（1-，3）或（1+，-3）.
故答案为：（1-，3）或（1+，-3）.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD=2，根据三角函数的概念可得AB边上的高为2×sin60°=，据此不难得到点C1的坐标.
10．（2023·菏泽）计算： ．
【答案】1
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：1
【分析】根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂进行运算，进而即可求解。
11．（2023·山西）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解： 在中， ，AD∥BC，
∴∠ABC=∠D=60°，
由作图知AB=BE，BP平分∠ABE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABO=∠EBO=30°，
∴AO=BO，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBO=30°，
在Rt△FAO中，∠AFO=30°，
∴tan∠AFO=tan30°==，
∴OF：OE=OF：OA=；
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠D=60°，AD∥BC，结合作图可得∠ABO=∠EBO=30°，AO=BO，由平行线的性质可得∠AFB=∠EBO=30°，根据tan∠AFO=tan30°==即可求解.
12．（2023八下·金平期末）如图，在中，斜边，，的垂直平分线分别交、于点E、点D，连接，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接EM，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°.
∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴BD为∠ABC的平分线，
∴DE=DC.
∵DE=DC，∠ABD=∠DBC=30°，∠DEB=∠C=90°，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BC=BE.
∵BC=BE，∠EBD=∠DBC，BM=BM，
∴△BEM≌△BCM（SAS），
∴CM=EM，
∴CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，
∴EN=BE·sin60°=2×=.
故答案为：.
【分析】连接EM，由内角和定理可得∠ABC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，则∠ABD=∠A=30°，∠ABD=∠DBC=30°，推出BD为∠ABC的平分线，得到DE=DC，利用AAS证明△BED≌△BCD，得到BC=BE，然后利用SAS证明△BEM≌△BCM，得到CM=EM，则CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，接下来根据三角函数的概念计算即可.
13．（2023八下·上虞期末）如图，在中，，点D为边的中点，点E在边上，，将沿BE折叠至，当时，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长C′E交BC的延长线于点F，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCB=∠DBC.
∵C′E∥CD，
∴∠F=∠DCB，
∴∠F=∠DBC.
设CE=x，则AC=x+2.
由折叠得BC′=BC=2，C′E=CE=x，
∵tanF=tan∠ABC，
∴，
∴，
∴CF=，
∴BF=BC+CF=.
∵sinF=，
∴，
∴EF=.
∵CE2+CF2=EF2，
∴x2+()2=()2，
∴x=，
∴BE==.
故答案为：.
【分析】延长C′E交BC的延长线于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=BD，则∠DCB=∠DBC，由平行线的性质可得∠F=∠DCB，则∠F=∠DBC，设CE=x，则AC=x+2，由折叠得BC′=BC=2，C′E=CE=x，根据三角函数的概念可得CF、EF，然后在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x的值，接下来在Rt△BCE中，利用勾股定理就可求出BE的值.
三、解答题
14．（2023·广东模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC ，垂足是点D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
【答案】解：在Rt△ABD中，=
∴BD=AD·×
∴
∴sinC=
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用三角函数的定义，直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值；直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与直角三角形斜边的比值；直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方的和。
15．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
四、综合题
16．（2023八下·德清期末）已知菱形ABCD和等边△CEF，∠ABC=60°，
（1）当E，F分别在CA，CB的延长线上时(如图1)，连结AF，DE.
①求证：AF=DE：
②连结DF，交AB于点N(如图2)，取AE的中点M，连结MN.若AE=4C=3，求MN的长：
（2）当点F在DA的延长线上时(如图3)，连结AE，DE，分别取AE，DF的中点M，N，连结MN.若AC=2，CE=，求MN的长，
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC
∵∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=CD=AD
∵△CEF是等边三角形，
∴∠FCA=∠ECD=60°，FC=EC .
∴△FCA≌△ECD
∴AF=ED
②连结EB，
∵AE=AC=3，CE=CF， CA=CB=AD
∴AD=BF=BC=3， CE=6
∵AD// BC
∴∠DAN=∠FBN，∠ADN=∠BFN
∴△AND≌△BNF
∴AN=BN
∵M是AE中点
∴MN是△EAB的中位线
，
∵△CEF是等边三角形，BF=BC
∴BE⊥FC，
（2）解：过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN，
∵△ACD是等边三角形，
∵∠FCE=∠ACD=60°
∴∠FCA=∠ECD
又∵CA=CD，CF=CE，
∴△FCA≌△ECD
∴AF= DE
∵QM是△EFA的中位线，QN是△EFD的中位线
∴QM=QN
∵∠F4C=∠EDC=180°-∠CAD=120°
∴∠FDE= 120°-∠ADC=60°
∵QN// DE
∴∠FNQ=∠FDE=60°
∵QM// AF
∴∠MQN=∠FNQ=60°
∴△QMN是等边三角形，
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）①由菱形的性质可得AB=BC，则△ABC是等边三角形，AC=BC=CD=AD，∠FCA=∠ECD=60°，FC=EC ，利用SAS证明△FCA≌△ECD，据此可得结论；
②连结EB，易得AD=BF=BC=3， CE=6，由平行线的性质可得∠DAN=∠FBN，∠ADN=∠BFN，利用ASA证明△AND≌△BNF，得到AN=BN，由题意可得MN是△EAB的中位线，则MN=EB，由等边三角形的性质可得BE⊥FC，利用勾股定理可得EB，据此解答；
（2）过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN，由三角函数的概念可得CG、AG，由勾股定理可得FG，利用SAS证明△FCA≌△ECD，得到AF= DE，根据中位线的性质可推出QM=QN，由平行线的性质可得∠FNQ=∠FDE=60°，∠MQN=∠FNQ=60°，推出△QMN是等边三角形，据此求解.
17．（2023八下·龙岗月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个，的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片中，，，．
（1）如图1，将一个与全等的沿较长的直角边重合，拼成一个四边形．
①求证：四边形是平行四边形；
②连接交于点，求的面积；
（2）在（1）的条件下，将一条直角边与重合的等腰直角三角形卡片与四边形拼成如图2所示的平面图形，请求出点到的距离；
（3）一个斜边长度与相等的三角板（，）如图3摆放，将绕点Ａ顺时针旋转，旋转角为，旋转后的三角形记为．在旋转过程中，直线所在的直线与直线，交于，两点，当为等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】（1）解：①由题意可知：，
∴，
∴四边形是平行四边形．
②∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
（2）解：过点C作交于点M，作，交延长线于点N，如图，
∵等腰，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即点E到的距离为：．
（3）解：，或
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3），或．
①当时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
由旋转性质可得：，
即；
②当时，
∵，
∴，
∵∠，
∴，
∵，
∴，
∴．
③当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
④当时，此时，所以不需要讨论．
【分析】）（1）①由题意可知△ABD≌△CDB，则AD=BC，AB=CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
②易得BD=，根据平行四边形的性质可得OD=BD=，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，作EN⊥CM，交MC延长线于点N，由等腰直角三角形的性质可得AC=CE，∠ACE=90°=∠M=∠N，利用AAS证明△ACM≌△CEN，得到AM=CN，易得BM、CM的值，然后求出AB，据此解答；
（3）①当QP=QB时，∠QPB=∠B=30°，∠AQP=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得AE=1，由旋转性质可得AE′=AE=1，然后根据三角函数的概念可得E′Q；②当BQ=BP时，∠2=∠BQP=∠BPQ=15°，∠1=∠2，AD′=QD′=2，据此求解；③当BQ=BP时，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BQP∽△AQD′，则∠BPQ=∠BQP=∠D′QA=∠D′AQ，据此求解.
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