16.1 二次根式（第1课时）初中数学年级下册第十六章 二次根式 （含答案）

16.1 二次根式(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
二次根式的概念．
2．内容解析
在“有理数”中，学生感受了研究数系扩充(数集的扩大，运算的拓展，运算律的保持)的基本思想．在“实数”中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法；借助， 的几何表示，以及用有理数逼近等方法，学生对实数的概念有了初步体会．这些都为本章的学习打下了基础．二次根式作为一类特殊实数的一般形式，为学生进一步理解实数及其运算提供了载体．同时，二次根式作为一类代数式，研究其性质和运算，既是学习代数式的延续，又为理解代数符号体系及其运算提供了素材．因此，如何使学生在本章的学习中进一步体会代数学的基本思想和基本方法，是本章要考虑的一个核心问题．
本章是在平方根知识的基础上，学习二次根式的概念、性质和运算．
二次根式是表示非负数(包括具体的数和字母表示的数)的算术平方根的一类式子，从平方根的意义出发，得到二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，而且二次根式的值是非负数，这就是二次根式的双重非负性．所以，本节课的教学重点是从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
二、目标及其解析
1．目标
(1)根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由．
(2)能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．
2．目标解析
目标(1)要求学生能从具体数的算术平方根出发，通过字母表示数，把算术平方根的概念推广到被开方数含有字母的情况，并根据算术平方根的概念得到二次根式的概念．能根据算术平方根的意义得出二次根式的被开方数、值为非负数这两个结论．要通过适当方法提示学生避免混淆这两个非负性．如果从函数的观点看，前者与定义域有关，后者与值域有关．
目标(2)要求学生会根据问题情境，利用开平方运算的意义，列出实际问题中的二次根式．
3.教学重、难点
重点:(1)二次根的意义;(2)二次根式中字母的取值范围.
难点:确定二次根式中字母的取值范围.
三、教学问题诊断
由于学生有学习整式、分式的概念和性质的经验，其研究的步骤和方法可以迁移到二次根式的学习中，这不仅有利于本节课的学习，同样适用于本章其它内容的学习．算术平方根主要涉及具体数的开平方，而二次根式包含了对含字母的式子进行开平方运算，比具体数的开平方运算更抽象．由于被开方数含有字母，在研究这类式子时，就往往需要考虑二次根式有意义的条件及取值范围，这是本节课的难点．
四、教学过程设计
(一)创设情境，提出问题
引言： 我们知道，用字母表示数，可以将字母和数一起运算，这种运算离不开运算律．前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算，可以发现，式的运算本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算．例如，两个多项式相乘，就是利用分配律把它化归为单项式乘积之和式来运算，而单项式的乘积则是用乘法的交换律、结合律和指数运算法则来计算．本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子的加、减、乘、除运算．下面一起思考一个问题．
电视塔越高，从塔顶发身的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广．电视塔高h(单位：km)与电视节目信号的传播半径r(单位：km)之间存在近似关系r＝，其中地球半径R≈6 400 km，如果两个电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径比是，你能将这个式子化简吗？
问题1　式子表示什么？公式r＝中的表示什么意义？
师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让他们发现与己学过的整式运算、分式运算一样，式子也是一种运算，这就需要先认识的意义，在此基础上再进一步研究这类式子的性质及运算．
设计意图：回顾已学过的数和式的运算，从数与式运算的完整性角度提出要研究的问题，让学生了解本章将要学习的主要内容，起到先行组织者的作用．
问题2　请思考下列问题：
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2．则它的宽为________m．
(3)一个物体从高处自由落下， 落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系式：h＝5t2，如果用含h的式子表示t， 则t＝________．
师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示相关数量，教师进行适当引导和评价．关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象．
追问1：(1)、(2)中得到，，的依据是什么？它们有什么区别和联系？
师生活动：由学生回答．依据是算术平方根的定义；区别：，分别是数3，65的算术平方根，是字母表示的数的算术平方根；联系：都表示非负数的算术平方根．
追问2：(3)中，当h的值分别为10，15，25时，得到的结果分别是什么？表示的数怎样变化？
师生活动：学生回答．教师指出：含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的新一类式子．
设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例证，同时发展符号意识．通过追问，让学生回顾算术平方根的概念，再次体会字母表示的数可以进行开平方运算，体会字母表示数的一般性和简约性．
(二)抽象概括，形成概念
问题3　上面得到的式子，，，有什么共同特征？
师生活动：教师引导学生得出共同特征，并给出二次根式的定义．
追问1：4， 0，的算术平方根分别是什么？－4有没有算术平方根？
追问2：在二次根式的定义中，为什么要有条件“a≥0”？
师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”．
设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念．
(三) 辨析概念，应用巩固
1．初步应用
例1　当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
师生活动：教师可以通过问题“表示的意义是什么？被开方数是什么？你能根据二次根式的概念得到答案吗？”引导学生从概念出发思考问题．
例2　当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
师生活动：先让学生独立思考，再追问．
设计意图：通过例1、例2，加深对概念的理解．
2．比较辨别，探索性质
问题5　比较与0的大小．
师生活动：先让学生独立思考．学生的第一反应可能是＞0，部分学生能得出≥0这一正确结论．
教师可以引导学生根据概念，或分a＞0和a＝0进行讨论而得到结论．
设计意图：强化对二次根式双重非负性的认识．
(四)综合应用，深化提高
1．学生完成教材第3页的练习．
2．当x是什么实数时，下列各式有意义
(1)；(2)；(3)．
设计意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件．
(五)回顾总结，反思提升
(1)什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
(2)二次根式与算术平方根有什么联系和区别？
(3)我们以前学过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
设计意图：共同回顾本课学习的概念，再次联系算术平方根理解二次根式的概念，提出二次根式应该研究的问题．
布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，6，7，10题．
六、目标检测设计
1．要使有意义x必须满足( )．
A．x≥－ B．x≤－ C．x为任何实数 D．x为非负数
2．一个用电器的电阻为R，消耗的电功率为P，它两端的电压为U，其关系式为：P＝，则U可表示成( )．
A．U＝ B．U＝ C．U＝ D．U＝±
设计意图：用二次根式表示实际问题中的量．
3．使有意义的正整数n为________．
设计意图：考查二次根式有意义的条件．
4．求当二次根式的值等于4时x的值．
设计意图：考查二次根式的概念及其与开平方的关系．
参考答案：
1．A
2．C
3．1，2．
4．解：4x2＝16，x2＝4，x＝±2．
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